Funciones cónicas

Lugares geométricos. Elipse. Hipérbola. Parábola. Aplicaciones

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Hallar el ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene por focos:

  • F(2,0) , F´ (-2,0) y suma de distancias 5

  • Calculamos los parámetros de la elipse:

    2a =5, d donde a es igual a 2,5, y de aquí a2=6,25

    c = 2

    b2= a2 - c2= 6,25- 4 =6,25 - 4=2,25

    Por lo tanto, la ecuación reducida es:Funciones cónicas

  • F( 0,2) F´(0,-2) y suma de distancias 5

  • Calculamos los parámetros de la elipse:

    2a =5, d donde a es igual a 2,5, y de aquí a2=6,25

    c = 2

    b2= a2 - c2= 6,25- 4 =6,25 - 4=2,25

    Por lo tanto, la ecuación reducida es:Funciones cónicas

    Halla la ecuación reducida de la elipse conociendo:

  • a(10,0) a´(-10,0) y la excentricidad es E(0,2)

  • Calculamos los parámetros de la elipse:

    a = 10 de donde a2=100

    Funciones cónicas
    de donde c = 2

    b2 = a2 - c2 = 100 - 4 = 96

    Por lo tanto la ecuación reducida es : Funciones cónicas

  • B (0,4) B´(0, -4) y excentricidad e = (0,5)

  • Calculamos los parámetros de la elipse:

    b = 4 de donde B2= 16

    Funciones cónicas
    de donde c = 0,5 a

    16 = a2 - 0,25 a2 = 0,75 a2

    a2 = 64 / 3

    Funciones cónicas

    Por lo tanto la ecuación reducida es : Funciones cónicas

    Hallar la ecuación de la elipse conociendo 2 puntos

  • C(0,0) F (0,2) a = 4

  • Calculamos los parámetros de la elipse:

    a = 4 de donde a2 = 16

    c = 2 de donde c2 = 4

    b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12

    La ecuación reducida de la elipse vertical es Funciones cónicas

  • C (0,0) F(-3,0) a = 5

  • Calculamos los parámetros de la elipse

    a = 5 de donde a2= 25

    c = 3 de donde c2 = 9

    b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16

    La ecuación reducida de la elipse es Funciones cónicas

  • C(0,2) F(0,0) a = 3

  • El centro C es el punto medio del segmento que determinan los focos, luego las coordenadas del F´ son (0,4)

    Aplicando la definición de elipse tenemos :

    Funciones cónicas

    Desarrollando y racionalizando se obtiene 9x2 + 5y2 -20y -25 = 0

  • C(-3,0) F(-3,-2) a = 4

  • El centro C es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del F´ (-3,2)

    Aplicando la definición de elipse, tenemos

    Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    Desarrollando obtenemos 256x2+ 192y2 +1537x + 208y + 727 =0

  • C (2,2 ) F (-1,2 ) a = Funciones cónicas

  • El centro C es el punto medio del segmento que determina los focos, luego las coordenadas del F´ (5,2)

    Aplicando la definición de elipse, tenemos

    Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    Desarrollando obtenemos x2+ 10y2- 4x- 40y+ 34=0

    También podemos hacerlo trasladando los ejes. Los parámetros son:

    A2 = 10

    C2 = 9

    De donde B = 1

    Por tanto: Funciones cónicas

    Si reducimos a común denominador y efectuamos las operaciones coinciden con la ecuación de arriba.

    Hallar la ecuación reducida de la elipse que tiene :

  • un vértice en a (6,0) y su distancia focal es 10

  • Calculamos los parámetros de la elipse

    a = 6 de donde a2= 36

    c = 5 de donde c2= 25

    b2= a2 -c2 = 36 - 25 = 11

    La ecuación reducida es Funciones cónicas

  • Un vértice en B (0,4) y su distancia focal es 10

  • Calculamos los parámetros de la elipse

    b = 4 de donde b2=162

    c = 5 de donde c2 =25

    a2+ b2 + c2 = 16 + 25 =41

    La ecuación reducida es Funciones cónicas

    El problema n° 20 se hace por derivadas.

    Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la elipse cuya ecuación es :

  • x2 +y2 = 9

  • Esta ecuación podemos escribirla de forma reducida Funciones cónicas

    Por lo tanto a2 = b2 = 9

    Luego a y b es = Funciones cónicas
    = 3

    a2 = b2 + c2

    9= 9 + c2

    Luego c = 0

    Si c es 0 su excentricidad es 0

    Por lo tanto es una circunferencia

  • 16x2 +9y2 = 144

  • Seguimos los mismos pasos de la anterior

    Funciones cónicas

    Es una elipse vertical, por tanto :

    b2 = 16 luego b =Funciones cónicas
    = 4

    a2 = 9 luego a = Funciones cónicas
    = 3

    a2 = B2 + C2

    9 = 16 + C2

    c2 = 7

    c = Funciones cónicas

    Como la excentricidad es c/ a esto es = Funciones cónicas

    Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que tiene por focos:

  • F (3,0) F´(-3,0) y diferencia de distancias 4

  • Calculamos por parámetros de la hipérbola: 2a = 4

    a = 2

    a2= 4

    c = 3

    c2 = 9

    b2 = c2 - a2 = 9 - 4 = 5

    Ecuación reducida Funciones cónicas

    B) F (0,6) F´(0,-6) y diferencia de distancias 2

    2a = 2

    a2= 1

    c = 6

    c2 = 36

    b2 = c2 - a2 = 36 -1 =35

    Ecuación reducida Funciones cónicas

    Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que tiene por focos

  • F (1,3) F´(4,2) y diferencia de distancias 6

  • Aplicando la definición e la hipérbola

    Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    Desarrollando resulta 27x2+ 35y2+ 6xy - 150x -190y + 191 =0

  • F (0,0) F´(0,8) y diferencia de distancias 6

  • Aplicando la definición e la hipérbola

    Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    Desarrollando resulta 9x2+ 7y2+ 56y - 49 =0

    Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo q tiene por vértices :

  • a (10,0) a´(-10,0) e = 2

  • Calculamos por parámetros de la hipérbola: a = 10

    a2= 100

    2 = Funciones cónicas

    c = 20

    c2 = 400

    b2 = c2 - a2 = 400 - 100 = 300

    Ecuación reducida Funciones cónicas

  • B (0,4) B´(0,-4) e = 2

  • Calculamos los parámetros de la hipérbola:

    b = 4

    b2 = 16

    2 = Funciones cónicas

    c = a

    b2 = c2 - a2 = Funciones cónicas

    Sustituyendo nos queda a2 = 16 / 3

    Ecuación reducida Funciones cónicas

    Hallar la ecuación reducida de la hipérbola sabiendo que:

  • Semieje mayor es 3 y la semidistancia focal 5

  • Calculamos los parámetros de la hipérbola:

    a = 3

    a2 = 9

    c = 5

    b2 = c2 - a2 = 25 - 9 =16

    Ecuación reducida Funciones cónicas

  • El semieje menor es 6 y la semidistancia focal es 10

  • Los parámetros de la hipérbola son;

    b= 6

    b2 = 36

    c = 10

    a2 = b2 - c2 =100 - 36 = 64

    La ecuación reducida es : Funciones cónicas

    Hallar la ecuación de la tangente y la normal a :

  • 36 x2 - 12 y2 = 216 en el punto P (3, -3 )

  • Se hace por derivadas

    Hallar los semiejes, semidistancia focal y excentricidad de la hipérbola cuya ecuación es :

  • x2 - y2 = 9

  • La ecuación la podemos escribir en la forma reducida Funciones cónicas
    :

    Por tanto a2 = b2 = 9 , luego a y b es la raíz cuadrada de 9 es decir a = b = 3

    Como c2 = a2 + b2 sustituimos y tenemos 9 + 9 = 18 luego c = Funciones cónicas
    = Funciones cónicas

    E= c / a = Funciones cónicas

  • 16x2 - 9y2 = 144

  • La ecuación la podemos escribir en la forma reducida Funciones cónicas
    :

    a2 = 9

    a = 3

    b2 = 16

    b = 4

    c2= a2 + b2 = 9 + 16 = 25

    c = 5

    E= c / a = Funciones cónicas

    Calcular los parámetros y vértices de las siguientes hipérbolas equiláteras

  • xy = 2

  • La ecuación de la hipérbola referida a sus asuntotas es xy = a2 / 2

    a partir de la definición de hipérbola obtenemos:

    Parámetros a2 = 2xy

    a = B

    C = aFunciones cónicas

    Focos F´ (- 2,- 2) F (2,2)

    Vértices A Funciones cónicas
    , Funciones cónicas
    ) A´(-Funciones cónicas
    -Funciones cónicas
    )

    B (-Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    ) B´(Funciones cónicas
    -Funciones cónicas
    ))

  • xy = 8

  • Parámetros a2 = 2xy = 16

    a = b = 4

    c = 4Funciones cónicas

    Focos F´ (- 4,- 4) F(4,4)

    Vértices A (2,2) A´(-2,-2)

    B (-2,2) B´(2,-2)

  • xy = 4

  • Parámetros a2 = 2xy = 8

    a = b = Funciones cónicas

    c = 4

    Focos F´ Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    ) F Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    )

    Vértices A (Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    ) A´(-Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    )

    B (-Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    ) B´(Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    )

  • xy = Funciones cónicas

  • Parámetros a2 = 2xy = 20

    a = b = Funciones cónicas

    c = Funciones cónicas

    Focos F´ Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    ) F (Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    )

    Vértices A (Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    ) A´(-Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    )

    B (-Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    ) B´(Funciones cónicas
    , -Funciones cónicas
    )

    Representar las parábolas

    Están en hoja adjunta.

    Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x + 4 = 0 y del punto P (3,0).

    Sea x (xy) un punto cualquiera de lugar geométrico que nos han pedido

    Entonces d (x, r) = d ( x,p)

    d (x, r) = Funciones cónicas
    x + 4

    d (x, p) = Funciones cónicas

    Igualamos las distancias x + 4 = Funciones cónicas

    Racionalizamos y nos queda x2 + 8x + 16 = x2 - 6x + 9 + y2

    Simplificamos, realizamos operaciones y nos queda que y2 = 14x + 7, también podemos poner la formula de la siguiente forma y2 = 2 * 7 (x +Funciones cónicas
    ), porque la parábola es de la forma y2 = 2p (x - x0) .

    P es la distancia del foco a la directriz p = 7, y x0 es la distancia del vértice V (-Funciones cónicas
    , 0)

    Hallar la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta y + 5 =0 y por foco el punto p (0,5)

    Solución: El vértice es el origen Y, la parábola tiene de parámetro p = 10, su ecuación es x2 = 2 py, es decir, x2 = 20y

    Halla el valor del parámetro p de modo que la parábola de ecuación y2= 2px pase por el punto p (3,-1)

    Solución: Para que esto se cumpla, tenemos que sustituir los valores en la ecuación

    (-1)2 = 2p * 3

    1 = 6p

    p =Funciones cónicas

    Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de abcisas sabiendo que su vértice es el punto V (1, -2) y que pasa por el punto P (4,1).

    Solución: La ecuación de la parábola será de la forma (y + 2)2 = 2p (x - 1).

    Al pasar por el punto p lo sustituimos en la ecuación y nos queda (1 + 2)2 = 2p (4 - 1)

    9 = 6p

    p = Funciones cónicas

    La ecuación de la parábola, es (y + 2)2 = 2 Funciones cónicas
    ( x - 1)

    (y + 2)2 = 3( x-1)

    Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes de la tangente a la parábola y = x2 + 7x - 10 en el punto de abcisa x = 3.

    Solución: Sustituimos x = 3 en la ecuación y nos da que y = 9 + 21 -10 = 20, luego el punto será (3,20).

    Para lo de más se necesitarían derivadas.

    Sea P un punto del plano que dista 15 m del centro de una circunferencia de radio 9 m .por p trazamos una secante a la circunferencia que corta esta en los puntos a y B. Calcular AB sabiendo que PB mide 16m.

    PA . PB = d2 - r2

    (16 -AB) . 16 = 152 - 92

    256 -16 AB = 225 - 81

    256 +144 = 16 AB

    AB = 400/16

    En uno de los lados de un ángulo, y a partir del vértice tomamos dos longitudes OA = 6 m y Ob = 8 m y en el otro lado la longitud OC = 4 m . Si hacemos pasar una circunferencia por los tres puntos A,B,C, ¡Cuánto medirá el segmento OD, siendo D el punto en el que corta esa circunferencia al lado en que esta C

    OA .OB = OC .OD

    6 . 8 = 4 . OD

    OD = 48/ 4

    OD = 12

    Los puntos a(-2,0) b(2,0) son vértices de un triangulo ABC cuyo vértice C recorre la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 6y = 0. Hallar la ecuación del lugar geométrico del baricentro del triangulo ABC al variar C sobre la circunferencia dada

    La circunferencia tiene como centro el punto (o,3),

    Como el baricentro se encuentra a 1/3 del lado AB y a 2/3 del vértice C, a medida que el punto c recorre la circunferencia, el baricentro recorre un circunferencia de centro O y razón 1/3 Por tanto el centro estar en el punto C' (0,1) y el radio será r Funciones cónicas
    , luego el lugar geométrico pedido , es la circunferencia de ecuación x2 + ( y -1)2 = 1.

    x2 + y2 - 2y + 1 = 1

    x2 + y2 - 2y = 0

    La máxima distancia de la Tierra al Sol es 94,56 millones de millas y su distancia mínima es 91,45 millones de millas.¡Cual es la excentricidad de la orbita y cuales son los diámetros mayor y menor ¿

    El sol ocupa uno de los focos

    Calculamos los parámetros 2ª = 94,56 + 91,45

    2a = 186,01

    a = 93,005

    2c = 94,56 - 91,45

    2c = 3,11

    c = 1,555

    b2 = a2 - c2

    b2 = 8649,93 - 2,42

    b2 = 8647,51

    b = 92,97

    2b = 185,94

    e = Funciones cónicas

    La orbita del cometa Kohoutek es una elipse con una excentricidad e = 0,999925 y con el Sol en uno de sus focos. Si su distancia mínima al Sol es 0,13 UA ¡Cual es su máxima distancia al sol ¿

    Del enunciado obtenemos los siguiente sistemas de ecuaciones

    Funciones cónicas

    a - c =0,13

    De este sistema sacamos que c = 0,999925 a, y que 0,000075 a es = 0,13 lo cual deducimos que a = 1733,33 y c = 1733,20

    La distancia máxima es a + c = 1733,33 + 1733,20 =3476,53 UA

    La luna recorre una trayectoria elíptica donde la Tierra esta en uno de los focos. Si la distancia máxima de la Tierra a la luna es de 405500Km y la mínima distancia es de 363300 Km. ¡Cual es la excentricidad de su orbita,?

    T a´ = 405500 Km

    T a =363300 Km

    a´ T´ + T´ O + O T = 405500

    a´ T´+ 2 O T = 405500

    Sustituimos y obtenemos

    363600 + 2 O T = 405500

    2 O T = 405500 - 363300

    O T = Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    O T = 21100 Km.

    Entonces tenemos que a = 21100 +30063300 =384400 Km.

    C = 21100

    E = C / a = 0,0515

    Hallar la tangente del ángulo bajo el cual se cortan las parábolas de las ecuaciones y2= 2x , x2 =2y

    Calculamos el punto de corte de esas parábolas

    Y2 = 2x

    x2 = 2y

    Resolviendo tenemos:

    Funciones cónicas

    Funciones cónicas

    Funciones cónicas

    Funciones cónicas

    Sacamos factor común x y tenemos

    x (x3-8) = 0

    Luego las soluciones son:

    x = 0

    x3 = 8

    x = 2

    Por tanto para x = 0 , y = 0 , luego O (0,0)

    Para x = 2, y = 2 luego a (2,2)

    Se necesita hacer derivadas para poder solucionarlo

    Dada la recta 3x+ y - m = 0 y la parábola y = x2 - 7x + 12 , a fin de que la recta sea tangente a la curva.

    Para que la recta sea tangente a la parábola, a ep tener 1 solo punto de corte, para ello resolvemos el sistema formado por sus ecuaciones:

    Y = m - 3x

    Y = x2 - 7x + 12

    Operando nos queda, x2 - 4x + 12 - m = 0

    Hacemos el discriminante = 0 para que la ecuación de 2° grado solo tenga una sola solución.

    (4)2 - 4 (12 - m) = 0

    16 - 48 + 4m = 0

    m = 8

    Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y = x2+ x +1 que distan 3 unidades del eje de las abcisas,

    Sea P (x, x2 + x + 1) un punto genérico de la parábola

    La distancia de P al eje de abcisas es la ecuación, entonces, la igualamos a la distancia que es 3, operamos y nos queda la ecuación de la siguiente forma:

    x2 + x - 2 = 0

    Resolvemos esta ecuación y los valores obtenidos para x son x = -2 y x = 1

    Para x = -2 lo sustituimos en la ecuación y nos queda (-2 )2 + (-2) + 1 = 3

    Luego el punto a (-2,3) lo mismo hacemos para x = 1 y nos queda 12 + 1 + 1 =3 , luego el punto B (1,3)

    Hallar los puntos de la parábola x = y2 - 5y + 6 que equidistan de los puntos (-3,-2)y (7,4)

    Un punto cualquiera de la parábola tiene de coordenadas (y2 - 5y +6,y) como tenemos los puntos. Hallamos distancia entre P y a y P y B.

    d (P,A) = Funciones cónicas

    d (P,B) = Funciones cónicas

    Como ambas distancias son iguales eliminamos raíces y Funciones cónicas

    Operando nos queda 5 y2 - 22 y + 17 =0.

    Resolvemos la ecuación de 2° Grado y los valores obtenidos para y son 1 y Funciones cónicas
    Funciones cónicas

    Sustituyendo cada uno de los valores obtenidos en y2 - 5y + 6 obtenemos los siguientes puntos.

    Para y = 1 x = 2

    Para y = Funciones cónicas
    x =Funciones cónicas

    Luego los puntos pedidos son:

    (2,1) y (Funciones cónicas
    ,Funciones cónicas
    )

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