Física

Física matemática. Teoría de campos. Vectores. Divergencia y rotación de campos vectoriales. Teorema de Stokes

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TEMA 1: Utilidades matemáticas en Física

PRODUCTO MIXTO DE 3 VECTORES

[A,B,C]=A·(B˄C). Admite los denominado conmutación circular, esto es:

A·(B˄C)=C·(A˄B)=B·(C˄A)

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

A˄(B˄C)

MOMENTOS DE VECTORES RESPECTO A UN PUNTO

Teorema de Varignon: el momento de la suma de varios vectores concurrentes es igual a la suma de sus momentos.

n n

Mo=Σ OP˄Fi = OP˄Σ Fi

i=1 i=1

MOMENTO DE VECTORES RESPECTO A UN EJE

Dado un vector deslizante el momento del vector es el escalar que resulta de proyectar el momento del vector con respecto a un punto del eje sobre dicho eje.

Me = |OP˄F|·cos(OP,F)

SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

Esta constituido por un conjunto de vectores deslizantes y sus rectas de acción. La resultante general es la suma de los vectores libres equipolentes a los vectores deslizantes de dicho sistema. Se llama momento resultante a la suma geométrica de los momentos.

Teorema fundamental del paso de momentos:

MQ = Mo + QO˄R

INVARIANTES DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTE

Son la variante vectorial R (resultante general) y la invariante escalar determinada por:

MQ·R = Mo + (QO˄R)·RMQ·R = Mo·R

MOMENTO MINIMO RESPECTO EJE CENTRAL

Mmin = M·R/R Si suponemos P y Q los puntos de dicho eje MP = MQ = Mmin =>

PQ | | R

TEMA 2: Introducción a la teoría de campos escalares y vectoriales.

En este tema queremos dar una introducción a la teoría de campos. Se trata de una estructura matemática que permite interpretar de manera cómoda fenómenos de diferentes partes de la Física.

En Física al tratar de describir la interacción entre partículas o cuerpos materiales se puede hacer de dos maneras:

  • Mediante el concepto de acción a distancia utilizado desde la época de de Newton. La acción a distancia implica, como su nombre indica la interacción de una partícula sobre otra sin intervención directa del medio en el que se encuentran.

  • Mediante la perturbación de las propiedades del medio dónde se encuentran las partículas. En esta descripción se supone que una de las partículas produce la perturbación que se traduce en una acción sobre las demás que podemos llamar testigos y que se encuentran en la región perturbada. Este concepto due introducido por Faraday.

Estas dos descripciones son indistinguibles en situaciones estáticas, pero en situaciones dinámicas resulta ventajoso y más comodo, tanto desde el punto de vista físico como matemático, la descripción mediante la introducción del concepto de campo, para caracterizar las perturbación de las propiedades del medio. Conviene resaltar que la acción a distancia presenta ventajas en situaciones estáticas.

CAMPO: si se asigna a acda punto del espacio el valor de una magnitud función unívoca de punto, se dice que este espacio como base o soporte de dicha magnitud, es un campo, si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar si es vectorial hablamos de campo vectorial. En general tanto los campos escalares como vectoriales son función del punto y del tiempo. Cuando los campos no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios.

Los campos escalalares se visualizan mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismo valor. Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: isotermas T(x,y) = cte. Isóbaras P(x,y) = cte.

Los camppos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial A(x,y,z,t). entre estos cabe citar el campo de velocidades en un fluido V(x,y,z,t), el eléctrico… de manera análoga a los compos escalares se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud caracterítica no es función no es función del tiempo, por ejemplo el gravitatorio g(x,y,z).

Entre los cmpos vectoriales son especialmente importantes los cmpos de fuerzas. Se el sentido del ccampo, mediante flechas colocadas en ellos.dice que en una cierta región del espacio existe un compo de fuerzas cuanfo todo un puntode las misma haydefinida una fuerza, que toma un valor diferente para cada punto e instante. A partir de ahora nos referimos a los campos estáticos de fuerzas. Para poner de manifiesto la fuerza hay que colocar en el punto corrrespondiente un agente snsible (testigo) de la naturaleza adecuada de la furza. Por lo que en general F(x,y,z,K), donde K indica que también la fuerza es función de l testigo usado.

Como hemos indicado , los campos de fuerzas dependenn del agnte sensible. Para salvar esto se puede definir un campo de fuerzas por unidad de agente sensibñe que se denomina intensidad del campo de fuerzas I(x,y,z) = F(x,y,z)/K. Podemos preguntarnos por qué de todas las formas para visualizar el comportamieno de los campos, se ha elegido la más abstracta: los campos son simplemente unas funciones matamáticas de la posición y el tiempo. De esta forma se puede dar una imagen del campo asociando vectores a muchos puntos del espacio, de forma cada uno de ellos indique la intensidad, dirección y sentido en ese punto. Se puede, también visualizar el comportamiento de los campos trazando unas líneas que en todo punto sean tangentes al vector campo definido en el mismo. Estas líneas denominadas de campo, indican el sentido del campo mediante flechas colocadas en ellas. Al hacer esto, se pierde información acerca del modulo de los vectores, pero se puede tener una idea de la magnitud del campo, dibujando las líneas más separadas en las regiones en que es más débil y más juntas en la que es más intenso.

Una forma más general y estricta para caracterizar un campo vectorial A (x,y,z,t) es a trevés de su divergencia y rotacional, , en todos los puntos del espacio dónde se encuentra definido y su comporatamiento en los límites. Esta caracterización constituye la llamada formulación diferencial de las ecuaciones del campo. La divergencia y el rotacional son dos operadores vectoriales diferenciales cuya expresión veremos más adelante.

Otra forma alternativa de caracterizar el campo, que se deduce de la anterior, es conocidaendo el flujo de A a través de su superficie y la circulación de A a lo largo de líneas pequeñas, situadas tanto unas como las otras al alrededor de cada punto del camo. Esta caracterización constituye a formulación integral de las ecuaciones del campo.

Esta caracterización de los campos vectoriales mediante el flujo y la circulación es más frecuente que la de la caracterización mediante el vector intensidad del campo. Aquellas definiciones operacionales, solo se puede establecer para los campos g y E, en el caso del campo magnñetico no se pude dar una definiciñon de la forma de la ecuacion de la intensidad. Por ello es más correcto y general definir al vector característico de un campo mediante su circulación y el flujo.

GRADIENTE DE UN ESCALAR: en la teoría de campos resulta de gran utilidad introducir una operación matemática que indica como varía de unos puntos a otros la magnitud escalar caractrística del campo. Pensamos por ejemplo que la temperatura, presión densidad, potencial… Esta variación debe estar definida mediante un vector, puesto que en general no varía de la misma de la misma manera en todas las direcciones del espacio. Este vector recibe el nombre de gradiente del escalar en cuestién su módulo indica el valor de la variación del escalar en la dirección en que es más rápida, su dirección es perpendicular a la superficie equiescalar que pasa por el punto dónde está definido y su sentido es el de valores crecientes del escalar.

Vamos a justificar las afirmaciones para el caso de coordenadas cartesianas. Sea un campo escalar genérico φ(x,y,z) que es iuna función contínua de las coordenadas, derivable, cuyo valor está perfectamente determinado en cada punto P del espacio. Deseamos conocer como varía esta función en un desplazamiento dr del punto. Si llamamos r al vector de posición del punto P al considerar otro punto Q, tan próximo a P como queramos, de coordenadas (x+dx, y+dy,z+dz) la función φ(x,y,z) experimentará una variación al pasar de P a Q dada por dφ = φ(x+dx, y+dy, z+dz) -φ(x,y,z) que se puede escribir en función de las derivadas parciales:

dφ = φ dx + φ dy + φ dz

∂x ∂y ∂z

Como dr = dxi + dyj + dzk podemos escribir:

dφ = φ i + φ j + φ k · dr

aj ∂x ∂y ∂z 

si llamamos r0 al vector unitario en la direccion de dr tenemos:

dφ = φ i + φ j + φ k · dr r0 derivando respecto a r:

aj ∂x ∂y ∂z 

dφ = φ i + φ j + φ k · r0 siendo el primer miembro la derivada direccional de φ

dr ∂x ∂y ∂z  según la dirección dada por dr dφ/dr nos da la variación del escalar por unidad de longitud. Llamamos entonces gradiente de la función escalar al vector gradφ = ∂φ/∂x i +∂φ/∂y j + ∂φ/∂x k esto implica que el gradiente es la derivada direccional máxima. Osea dφ/dr = gradφ · r0 la derivada direccional es la proyeccion del gradiente en dicha direccion. Si vamos de una superficie de nivel φ1 a otra φ2 la variación de la función escalar es máxima cuando varía según la normal. El módulo del gradiente coincide con la derivada direccional máxima.

El módulo del vector gradiete es igual al valor de la variación del escalar en la dirección en que variación es más rápida para un mismo desplazamiento dr. La dirección del vector gradiente es siempre perpendicular a las superficie de nivelde la curva MN a la integral curvilinea: C = . El sentido es siempre en sentido creciente del escalar, el gradiente es una función vectorial deducida de una función escalar. El gradiente se puede repesentar por ∇φ . ∇se conoce como el operador nabla ∇ = ∂i/∂x + ∂j/∂y + ∂k/∂z.

Formulación integral de un campo vectorial

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL: sea una región del espacio en dónde existe definido un campo de vectores A tomemos una curva cualquiera MN. Por definición se llama circulación C del vector A a lo largo de la curva MN, a la integral

⌠ MN ⌠

curvilinea: C = dl = (Axdx+Aydy+Azdz)

⌡MN ⌡MN

Consideremos el caso particular de que A sea el gradiente, es decir:

⌠ MN ⌠N

curvilinea: C = ∇U·dl = dU = UN-UM

⌡MN ⌡M

Introduzcamos ahora una función escalar V(x,y,z) = -U(x,y,z). se tiene:

⌠ MN ⌠N

curvilinea: C = ∇V·dl = dV = VM-VN

⌡MN ⌡M

Si la curva es cerrada sucede que C = ∫dU = ∫-dV =0 ya que el punto inicial de la curva coincide con el punto final de ella. La funcion V recibe el nombre de potencial de camp de vectores y al campo de vectores que se obtiene a través del gradiente del potencial cambiado de signo se dice que deriva de un potencial así:

  • El campo es igual al gradiente del potencial cambiado de signo: A = ∇U = -∇V

  • La circulación a lo largo de una curva es independiente del camino seguido y sólo depende de los extremos de dicho camino.

  • La circulación a lo largo de una línea cerrada es nula

FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL: toda superficie pude representarse en el espacio mediante un vector de módulo el área de la superficie y dirección normal a ella, con sentido hacia fuera. Consideremos un punto P situado en una superficie en una región con un campo de vectores A. Tomemos una superficie elemental dS en torno a ese punto. Por definición se llama flujo elemental del campo a través de la superficie dS a la expresión:

⌠ ⌠

dΦ = dS; Φ = A·dS = (AxdSx+AydSy+AzdSz)

⌡ s ⌡s

Cuantitativamente el flujo representa el número total de líneas de campo que atraviesan una superficie. Teniendo en cuenta la definición de flujo: dΦ = A·dS = AdS cos θ.

Si la superficie es cerrada y calculamos el flujo total del campo a través de la superficie cerrada, este flujo total podrá ser positivo, negativo o nulo. Si es nulo el número de líneas vectoriales que entran son las mismas que salen. Entonces el flujo puede ser conservativo. Si es positivo el flujo entonces es que en esa zona hay manantiales y si es negativo es que hay sumideros.

Formulación diferencial de un campo vectorial

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL: Se define divergencia de un vector como el límite de su integral de superficie por unidad de volumen a medida que el volumen tiende a 0:

div A = lim s A·dS = dΦ = A·dS

τ→0 τ dτ dτ

TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA

⌠ ⌠

a φ A·dS =  div A

⌡s ⌡τ

div A = ∇·A = Ax + Ay + Az

∂x ∂y ∂z

Si la divergencia en un punto es positiva esos puntos se consideran manantiales, si es negativa se consideran sumideros. Si es 0 en TODOS los puntos del campo el campo es solenoidal, como el campo magnético. Esto implica que el flujo vale 0. la divergencia nos indica la densidad volúmica de la magnitud activa.

Sea τ un volumen donde el campo está definido y τi subvolúmenes cuya divergencia no vale 0, es decir zonas no solenoidales.

⌠ ⌠ (*) n ⌠

Φ = div A·dτ = div A·dτ + ∑ div

⌡τ ⌡τ-∑τi i=1⌡τi

Hay que notar que (*) vale 0 puesto que el subíndice de la integral muestra que se toman los volúmenes solenoidales por lo que la divergencia vale 0 y entonces el valor de la integral es 0.

n ⌠ n ⌠ n

Φ = ∑ div dτ = ∑ φ A·dS = ∑ Φi

i=1⌡τi i=1 ⌡si i=1

el flujo total a través de S resulta ser igual a la suma de los flujos del campo vectorial a través de todas las superficies ello ocurre con total independencia de la forma y tamaño de las superficies siempre y cuando siga conservando en su interior las mismas regiones no solenoidales del campo así que podemos decir que: el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada no depende de la forma y tamaño de la superficie, depende únicamente de las regiones no solenoidales de su interior. Dado que las líneas vectoriales han de surgir o terminar en dichas regiones no solenoidales es posible introducir la imagen física de que el campo vectorial ha sido debido a una alteración de las propiedades de homogeneidad del espacio por el hecho de haber situado en dichas regiones no solenoidales y rellenándolas totalmente un agente denominado magnitud activa creadora del campo cuyo valor en cada una de las regiones coincide con su correspondiente flujo total. Así se mide la magnitud activa existente en una región no solenoidal i por la relación va a ser el flujo:

n n

Mi = Φτi ⇒ M = ∑Mi = ∑Φτi

i=1 i=1

Dentro de cada región no solenoidal puede haber una distribución uniforme o no de magnitud activa. Definimos la densidad volúmica de magnitud activa por la expresión:

⌠ ⌠

ρ = dM/dτ ⇒ M = ρ dτ (y por otro lado) M = Φ =  div dτ ⇒ ρ = div A

⌡τ ⌡τ

Es lo llamado ecuación de continuidad.

Si suponemos que el campo A es una función potencial a través del gradiente:

A = ∇V ⇒ div ∇V = ρ ⇒ -∇2V = ρ Es lo llamado ecuación de Poisson

Es una ecuación diferencial que permite obtener la función potencial V del campo si es conocida la distribución en las regiones solenoidales se deduce la ecuación de Laplace:

-∇2V = 0 donde se cumple la ecuación de Laplace se dice que el potencial es harmónico.

ROTACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL consideremos una región dónde definimos un campo de vectores y supongamos una superficie S limitada por una línea cerrada. Dividamos S en una serie de n superficies parciales tan pequeñas como queramos. La circulación total C a lo largo de la línea contorno es igual a la suma de de las circulaciones Ci a lo largo de los contornos que limitan las correspondientes superficies Si.

n

C = ∑Ci

i=1

Disminuyendo el tamaño de las superficies parciales llegará un momento en que contengan un solo punto. Por definición la componente del rotacional (rot A) de la dirección del vector unitario n normal a la superficie es el límite de la integral de línea por unidad de área cuando el área tiende a 0.

rot A·n = lim A·dr = dC = A·dr

S→0 S dS dS

rot A · dS · n = A · dr

TEOREMA DE STOKES: “El flujo del rotacionala través de una superficie es igual a la circulación de A a lo largo de la línea contorno que limita dicha superficie”.

⌠ ⌠

 rot A·dS = φ A dr

⌡s ⌡c

Podemos definir analíticamente el rotacional de A como: rot A = ∇^A.

Si el rotacional del campo es 0 en todos los puntos del campo entonces es irrotacional.

Un campo conservativo es aquel que deriva de un potencial a través de su gradiente teniendo en cuenta que el rotacional del gradiente de V siempre es 0. Así todo campo irrotacional es conservativo. Es decir no depende del camino seguido, por ello sólo tiene sentido hablar de potencial en campos conservativos.

- rot grad V = 0

div rot A = 0

DETERMINAR LA FUNCIÓN POTENCIAL DEL CAMPO:

Dado A 6xy i + (3x2 + 4yz2) j + (4y2z+3z2) k.

rot A = ∇^A = 0 por lo que es conservativo y se puede hablar de potencial.

-V = 6xy

∂x

-V = 3x2 + 4yz2

∂y

-V= 4y2z+3z2

∂z

-V = 3x2y + f(y,z) = 3x2y+ f(y,z) = 3x2y+2y2z2+ f(z)= 3x2y+2y2z2+ z3+C

f(y,z) = 2y2z2 +f(z); f(z)= z3+C

7

φ (x+dx,y+dy,z+dz)

φ (x,y,z)

r + dr

r

dr