Espacio afin tridimensional

Álgebra. Geometría. Ecuaciones implícitas de planos. Paralelos, coincidentes. Ecuación vectorial. Recta y plano que se cortan. Ángulos y distancias

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ECUACIONES IMPLICITAS

A.-DOS PLANOS

"'Espacio afin tridimensional'
Ax+By+Cz+D=0

"''Espacio afin tridimensional'
A'x+B'y+C'z+D'=0

Ambas ecuaciones forman un sistema que podemos analizar a partir del Teorema de Rouchè.

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

a) h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado , infinitas soluciones , existen infinitos puntos en común luego los planos se cortan en una recta.

b) h=1 h'=2 Sistema incompatible. No tiene solución. No hay puntos en común. Los planos son paralelos.

Condición de paralelismo 'Espacio afin tridimensional'
='Espacio afin tridimensional'
='Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

c)h=h'=1<n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Planos coincidentes.

B.-TRES PLANOS

"'Espacio afin tridimensional'
Ax+By+Cz+D=0

"''Espacio afin tridimensional'
A'x+B'y+C'z+D'=0

"'''Espacio afin tridimensional'
A''x+B''y+C''z+D''=0

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

a) h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Única solución. Se cortan en un punto.

b)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No tiene puntos en común. Los planos se cortan 2 a 2 formando un prisma triangular, o bien 2 son paralelos y el tercero les corta.

c)h=h'=2 <n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones . Luego se cortan en una recta.

d) h=1 h'=2 Sistema incompatible. No tiene solución. Los tres planos son paralelos.

e) h=h'=1<n Sisatema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Los planos son coincidentes.

C.-RECTA Y PLANO

"'Espacio afin tridimensional'
Ax+By+Cz+D=0

r'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

a)h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Solución única. Se cortan en un punto.

b)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No tiene solución. Luego la recta es perpendicular al plano.

c)h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Larecta esta contenida en el plano.

D.-DOS RECTAS

r'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

r'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

a)h=3 h'=4 Sistema incompatible. No hay solución. Las rectas se cruzan.

b)h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Solución unica. Un solo punto en común. Se cortan.

c)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No hay puntos en común. Estan en el mismo plano. Luego son paralelas.

d)h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado. Infinitos puntos en comun. Las rectas son coincidentes.

ECUACIONES VECTORIALES

A.-DOS PLANOS:

"'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

"'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

Formamos la matriz con los cuatro vectores directores y analizamos el rango.

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

a) r[v,w,v',w']=3 Los planos se cortan en una recta.

b) r[v,w,v',w']=2

b.1)r[a-a1,v,w]=3 Los planos son paralelos.

b.2) r[a-a1,v,w]=2 Los planos son coincidentes.

B.-RECTA Y PLANO

"'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

r'Espacio afin tridimensional'

a) r [u,v,w]=3 Se cortan

b) r [u,v,w]=2

b.1) r[a-a1,v,w]=3 La recta y el plano son paralelos.

b.2) r[a-a1,v,w]=2 La recta esta incluida en el plano.

C.-DOS RECTAS

r'Espacio afin tridimensional'

r'Espacio afin tridimensional'

a) r[u,u']=2 Tienen dos posibilidades (cortarse o cruzarse)

a.1) r[ a-a',u,u'] = 3 Se cruzan.

a.2) r[a-a',u,u'] = 2 Se cortan.

b) r [u,u']=1 Otras 2 posibilidades.

b.1) r[a-a',u] = 2 Las rectas son paralelas.

b.2) r[a-a',u] = 1 Las rectas son coincidentes.

ÁNGULOS

A.-FORMADO POR DOS RECTAS

r'Espacio afin tridimensional'

r'Espacio afin tridimensional'

'Espacio afin tridimensional'

B.-FORMADO POR DOS PLANOS

"'Espacio afin tridimensional'
Ax+By+Cz+D=0

"''Espacio afin tridimensional'
A'x+B'y+C'z+D'=0

'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'
'Espacio afin tridimensional'

C.-ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO

r'Espacio afin tridimensional'

"'Espacio afin tridimensional'
Ax+By+Cz+D=0

'Espacio afin tridimensional'

DISTANCIAS

A.-ENTRE DOS PUNTOS

d(AB) = 'Espacio afin tridimensional'

B.-ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO

d(P,")= 'Espacio afin tridimensional'

C.-ENTRE DOS PLANOS

d(","')= 'Espacio afin tridimensional'

D.-DE UN PUNTO A UNA RECTA

d(P,r) ='Espacio afin tridimensional'

E ENTRE DOS RECTAS

d(r,r')='Espacio afin tridimensional'

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