Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Gradiente. Ecuación dimensiones, análisis dimensional. Electrostática, campo eléctrico. Gauss. Circulación. Potencial. Flujo vectorial. Rotacional

  • Enviado por: Moncrash
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 22 páginas
publicidad
cursos destacados
Electrónica Digital
Electrónica Digital
Si estas en la Universidad y tu curso de Electrónica se te hace cuesta arriba,...
Ver más información

PREICFES SABER 11 ¡Completo! Version 2014
PREICFES SABER 11 ¡Completo! Version 2014
NO TE PIERDAS EL MUNDIAL YENDO A UN PREICFES VACACIONAL TRADICIONAL, MEJOR ESTUDIA DESDE TU CELULAR...
Ver más información

publicidad

PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA


INTRODUCCIÓN

UNIDADES

P1. Escribe las siguientes expresiones utilizando los prefijos y abreviaturas adecuadas. Por ejemplo, 10000 metros = 10 km.

a) 12·10-6 Culombios. b) 2430000 Ohmios.

c) 0,000056 Amperios. d) 48,2·10-11 Faradios.

a) para el factor 10-6 se utiliza la abreviatura micro (µ), y para la unidad Culombio la abreviatura C. Por tanto, 12·10-6 Culombios son 12 µC.

b) 2430000 = 2,43·106,Ohmios = ð,

ð 2430000 Ohmios = 2,43 Mð.

c) 0,000056 = 56·10-6,Amperios = A,

ð 0,000056 Amperios = 56 µA.

d) 48,2·10-11 = 482·10-12,Faradios = F,

ð 48,2·10-11 Faradios = 482 pF.

O también es posible expresarlo como: 48,2·10-11 = 0,482·10-9,

ð 48,2·10-11 Faradios = 0,482 nF.

P2. Escribe las siguientes expresiones sin utilizar prefijos. Por ejemplo, 10 km = 10000 metros.

a) 3,12 µF. b) 102 mV. c) 14,8 pC. d) 0,29 kðð

a) El prefijo µ (micro) equivale a10-6, el símbolo F representa "Faradios". Por tanto, 3,12 µF es igual a 3,12·10-6 Faradios.

b) m ð 10-3, V ð Voltioð 102 mV = 102·10 -3 V = 0,102 Voltios.

c) p ð 10 -12, C ð Culombioð 14,8 pC = 14,8·10-12 Culombios.

d) k ð 1000, ð ð Ohmioð 0,29 kð = 0,29·103 ð = 290 Ohmios.

P3. Sea la magnitud física V(x,y,z), que se mide en Voltios (V). ¿En qué unidades se expresa Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
?

El gradiente de la función V(x,y,z) viene dado por:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

donde, la función derivada parcial no tiene dimensiones, los vectores Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, tampoco tienen dimensiones, y x, y, z tienen dimensiones de distancia. Por lo tanto, las dimensiones de Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
serán las de V, dividido por distancia:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y por tanto sus unidades serán V/m (Voltio/metro).

P4. Escribe la ecuación de dimensiones de la magnitud carga eléctrica, y determina cual es su unidad en el Sistema Internacional. Nota: recuerda que en el S.I., la intensidad de corriente es una magnitud fundamental, mientras que la carga eléctrica es una magnitud derivada. Consulta el tema 5, donde se explica la relación entre la intensidad de corriente, y la carga eléctrica.

En el tema 5 se define la intensidad de corriente eléctrica como

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

al igual que en el problema anterior, la función derivada no tiene dimensiones, y por lo tanto,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

A la vista de este resultado, la unidad de la carga eléctrica será la unidad de intensidad de corriente (A), multiplicado por la unidad de tiempo (s), es decir As (amperio por segundo). Dicha unidad recibe el nombre de Culombio (C).

ANÁLISIS DIMENSIONAL

P5. Tomando como magnitudes M, L y T escribe las ecuaciones de dimensiones de las siguientes magnitudes:

a) Fuerza. b) Energía. c) Trabajo. d) Potencia.

e) Densidad volumétrica de masa. f) Densidad volumétrica de carga.

a) Para resolver este tipo de ejercicios, es conveniente recurrir a leyes físicas que relacionen la magnitud física de la cual queremos conocer sus dimensiones con otras magnitudes más sencillas.

Para el caso de la fuerza, es posible utilizar la segunda ley de Newton, que dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración:

F = m a

Por tanto, las dimensiones de F serán la dimensión de masa (m), multiplicado por las dimensiones de la aceleración (a):

[F] = [m] [a]

La masa es una magnitud fundamental,

[m] = M

La aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y por tanto sus dimensiones serán:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Por tanto, las dimensiones de Fuerza son:

[F] = [m][a] = M L T-2

La unidad del sistema internacional para medir la magnitud Fuerza se denomina Newton (N).

b) En este caso es posible recurrir a la definición de energía cinética (Ec) de una partícula de masa m, que se mueve a velocidad v:

Ec = ½ mv2

[Ec] = [m][v]2

La velocidad es espacio dividido por tiempo:

[v] = [ x ]/[ t ] = L T-1

[Ec] = M L2T-2

Y en general, las dimensiones de la energía son M L2 T -2.

En el sistema internacional, la unidad de energía se denomina Julio (J).

c) Para una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza constante, el trabajo (W) es el producto escalar de la fuerza (Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
) por el desplazamiento (Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
):

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Las unidades del trabajo son, como en el caso de la energía, Julios (J).

d) La potencia (P) es el trabajo realizado por una fuerza (W), en la unidad de tiempo (t):

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La unidad en el sistema internacional para la potencia es el vatio (W).

e) La densidad volumétrica de masa (d) es igual a la masa (m), dividido por el volumen (v):

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La unidad en el S.I. para la densidad volumétrica de masa será pues Kg/m3.

f) La densidad volumétrica de carga (ρ) es igual a la carga (q), dividido por el volumen (v):

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La unidad en el S.I. para la densidad volumétrica de carga será por tanto C/m3.

P6. Sabiendo que el campo eléctrico  Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
se define como la fuerza por unidad de carga, determina las dimensiones y unidades del campo eléctrico.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Utilizando la primera igualdad de la ecuación anterior, la unidad del campo eléctrico Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
es la unidad de fuerza, dividido por la unidad de carga, es decir, N/C.

P7. La ley de Coulomb dice que la fuerza (Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
) ejercida entre dos cargas eléctricas puntuales, q1 y q2, separadas por una distancia r, viene dada por:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
siendo Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

el vector unitario en la dirección de la línea recta que une las cargas. Determina las dimensiones y unidades de la constante ð 0.

A partir de la expresión de la ley de Coulomb, y teniendo en cuenta que el factor 4ð no tiene dimensiones, y que el vector unitario Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
tampoco las tiene, obtenemos:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

de donde podemos despejar las dimensiones de ð 0:

 Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Utilizando la primera igualdad de la ecuación anterior, las unidades de ð 0 son C2/Nm2.

P8. La fuerza electromotriz de un generador se define como la energía desarrollada, por unidad de carga:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Calcula las dimensiones de la fuerza electromotriz.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

P9. La fuerza electromotriz (ð) inducida en una autoinducción es igual al coeficiente de autoinducción (L) multiplicado por la derivada de la intensidad respecto del tiempo y cambiado de signo:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Determina las dimensiones del coeficiente de autoinducción L.

Las dimensiones de los dos miembros de la ecuación deben ser iguales,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

de donde podemos despejar las dimensiones de L,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

En el sistema internacional, la unidad de la autoinducción es el Henrio (H).

P10. En el proceso de carga de un condensador, la carga almacenada por el condensador en función del tiempo, q(t), viene dada por,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

donde Q es la carga máxima del condensador. Calcula las dimensiones de la constante ð.

El argumento de toda función matemática no debe tener dimensiones. Por tanto, las dimensiones del exponente e deben ser,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

de donde obtenemos que,

[ ð ] = [ t ] = T

P11. El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie dividido por ð o:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Demuestra la homogeneidad de dicha ley.

La homogeneidad de una ley física implica que ambos miembros de la igualdad deben tener las mismas dimensiones.

Las dimensiones del primer miembro de la ley de Gauss son:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Y las dimensiones del segundo miembro de la ley de Gauss son:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Como se ve, las dimensiones de ambos miembros de la ley de Gauss son iguales, y por tanto la ley de Gauss es homogénea.

P12. La característica tensión-corriente de un generador viene dada por la expresión,

ð I = r I2 + (VA -VB) I

donde ð representa la fuerza electromotriz, r la resistencia, I la intensidad, y VA - VB la diferencia de potencial. Comprueba que dicha ecuación es homogénea.

Primeramente, para simplificar el problema, podemos dividir la ecuación completa por I, obteniendo:

ð = r I + (VA -VB)

y ahora hay que comprobar que las dimensiones de cada uno de los miembros de dicha ecuación son las mismas.

Las dimensiones de la fuerza electromotriz son,

[ ð ] = M L2T-3I-1

Puesto que la diferencia de potencial entre dos puntos (tema 3) es,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

sus dimensiones son,

[ VA - VB ] = [E][I] = M L2T-3I-1

Las dimensiones de la resistencia r las podemos determinar a partir de la ley de Ohm,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y multiplicándolo por I,

[rI] = [r][I] = M L2T-3I-2I = M L2T-3I-1

Con lo cual vemos que cada uno de los miembros de la ecuación tiene las mismas dimensiones, y por tanto la ecuación es homogénea.

P13. Suponiendo que la energía almacenada por un condensador (W) depende de la carga que almacena (Q) y de su capacidad (C), determina mediante análisis dimensional la expresión de la energía almacenada por un condensador en función de estas variables.

Si la energía almacenada por un condensador (W) depende de la carga (Q) y de la capacidad (C), esto quiere decir que W será una función de Q y C, es decir,

W = K Qx Cy

donde K es una constante numérica sin dimensiones que no se puede determinar mediante análisis dimensional, y x e y son los exponentes que tenemos que determinar mediante análisis dimensional.

Como toda ley física debe ser homogénea, tenemos que

[W] = [K] [Q]x [C]y = [Q]x [C]y

Las dimensiones de W, Q y C son conocidas de otros ejercicios (ver problema propuesto número 6 para el caso de la capacidad),

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

ML2T-2 = Ix+2y Tx+4y M-y L-2y

para que esa igualdad sea cierta, los exponentes de M, I, T y L deben ser iguales en ambos miembros:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Por tanto,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La constante K no se puede determinar mediante el análisis dimensional. (En el tema 4 se muestra que K=1/2).

P14. Suponiendo que la potencia disipada (P) por una resistencia eléctrica depende de la intensidad (I) que circula por ella, y el valor de la resistencia (R), determina por análisis dimensional la expresión de la potencia disipada por una resistencia en función de estas variables.

Suponiendo que P es una función de I y R, tenemos,

P = K Ix Ry

y aplicando homogeneidad,

[P] = [I]x [R]y = Ix(ML2T-3I-2)y = Ix-2y My L2y T-3y

[P] = ML2T-3

igualando los exponentes en ambas ecuaciones,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y por tanto,

P = KI2R

siendo K una constante que no se puede determinar por análisis dimensional. En el tema 5 se ve que K=1.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

P1. Calcula la derivada direccional de la función U = x2y2z + 3xz2 en el punto P(1,-2,-1) y en la dirección del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
.

La derivada direccional de la función U en la dirección dada por el vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
viene dada por la expresión Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, que nos da la variación de la función por unidad de longitud en esa dirección.

Así, el vector unitario en la dirección y sentido del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, es:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y el vector gradiente:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

luego la expresión de la derivada direccional en la dirección y sentido pedido es:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y en el punto P(1,-2,-1), sustituyendo las coordenadas del punto en la expresión anterior, tenemos:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Resultado que se expresaría en las unidades de la magnitud U por unidad de longitud.

P2. El campo de temperaturas creado por un foco esférico caliente tiene por expresión T=100/r (ºC), con r>0.1 m, donde r es la distancia al foco medida en metros. Si fijamos el origen de coordenadas en el foco. Determina:

a) Las superficies de nivel.

b) Vector gradiente en el punto (0,1,0) m.

c) Derivada direccional en la dirección del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
y en el punto (0,1,0) m.

d) ¿En qué dirección en torno al punto (0,1,0) es nula la derivada direccional?.

a) Las superficies de nivel serán de la forma T=cte, es decir,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

que corresponden a superficies esféricas centradas en el origen y radio mayor de 0,1 m.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

b) El gradiente viene dado por:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

calculando las tres componentes del vector, resulta,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La máxima variación de temperatura se da en dirección radial, aumentando al aproximarnos al foco de calor, o sea, en sentido contrario al del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
.

En el punto pedido (0,1,0), resulta:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

A este resultado podríamos haber llegado más fácilmente sabiendo que T = T (x,y,z), presenta simetría radial, por lo que:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

c) La derivada direccional en la dirección del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, en el punto (0,1,0) se obtiene a partir de la expresión:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
siendo, Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

resultando,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

d) La derivada direccional será nula cuando nos desplacemos sobre una superficie de nivel, o lo que es lo mismo, en sentido perpendicular al vector gradiente. Si llamamos Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

al vector que indica nuestro desplazamiento, este vector debe cumplir:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

en el punto (0,1,0):

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

La derivada direccional entorno al punto (0,1,0) es nula en las direcciones dadas por vectores de la forma: Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, pudiendo adoptar dx y dz cualquier valor.

Este apartado se podría haber resuelto gráficamente, conocida la superficie de nivel que pasa por (0,1,0), el desplazamiento se realizaría en el plano y=1 (plano paralelo al XZ que pasa por el punto (0,1,0)).

P3. Comprueba que el campo Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
deriva de un potencial y halla la función U que lo representa.

Las condiciones para que el campo Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
derive de un potencial, son:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

luego el campo Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
sí deriva de una función potencial.

Para encontrar la función potencial, se procede de la siguiente forma.

La función escalar U = U(x,y,z) de la cual deriva el campo vectorial Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, ha de cumplir que Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
De este modo establecemos la igualdad entre las componentes de ambos vectores,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Ahora, la función escalar U = U(x,y,z), la obtenemos integrando las expresiones anteriores. Así, de la primera componente del vector, se obtiene,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Al resolver esta integral, las variables y, z son constantes, ya que la variable de integración es la x. La constante de integración K(y,z) es entonces un sumando que agrupa todos los términos de la función escalar que no dependen de x.

A partir de la segunda igualdad entre las componentes de los vectores, y teniendo en cuenta el resultado obtenido para la función U = U(x,y,z)   resulta,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

luego,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

recogiendo ahora el sumando K(z), los términos que sólo dependen de la variable z.

La función U = U(x,y,z) queda ahora,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Por último, aplicando la tercera igualdad entre componentes vectoriales, y arrastrando el valor obtenido para U,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

es decir,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

En definitiva, resulta para la función U:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

siendo C una constante de integración que se obtendría conociendo el valor de U en algún punto del espacio.

P4. Dada la f.e.p. U=5x2+18. Calcula:

a)Ñ U

b) La circulación de Ñ U entre los puntos A y B a lo largo de la curva indicada en la figura y en el sentido señalado.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

a) El gradiente de una función escalar viene dado por la expresión:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

que aplicada a nuestra función nos da como resultado:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

b) La circulación del gradiente de una función escalar, la podemos escribir como:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

o sea que la circulación del gradiente entre los puntos A y B sobre la curva es igual al valor de la función U en B, menos el valor de la función U en A, y por tanto dicha circulación no depende del camino o curva que una ambos puntos sino únicamente de los valores de la función U en ambos puntos.

De esta forma obtenemos:

UB= U(2,1)=38 ; UA=U(0,0)=18

luego,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL

P5. Calcula la circulación de Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
entre los puntos A(1,0,0) y B(1,1,1):

a) a lo largo del segmento que une A y B

b) a lo largo de la curva x=1, y=t, z=t2

c) comprueba si la función deriva de potencial.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

a) La circulación de un campo vectorial Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

a lo largo del tramo finito de la curva AB viene dada por la integral curvilínea:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

que desarrollada es,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

donde Fx, Fy, Fz son las componentes del campo vectorial, y dx, dy, dz las correspondientes componentes del vector Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
.

Teniendo en cuenta que, por un lado, la ecuación de la curva (recta) en forma paramétrica es:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y sus diferenciales se pueden expresar como,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y por otro lado, las componentes del campo vectorial también las expresamos en función del parámetro t, al sustituir x, y, z por sus valores sobre la curva:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

quedándonos para la circulación una integral inmediata que depende exclusivamente del parámetro t,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Observa que los límites de integración los obtenemos al ver los valores que toma el parámetro t en los puntos correspondientes A y B. Así, t(A)=0 y t(B)=1.

b) Procediendo de igual forma, en este caso tenemos:

Ecuaciones paramétricas: Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y como límites de integración: t(A)=0; t(B)=1

Ahora Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
la podemos expresar en función del parámetro t, como:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y para la circulación obtenemos:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Este resultado, el mismo que el del apartado anterior, no nos debe confundir respecto a que la circulación no dependa del camino elegido. El que los dos valores hayan sido iguales por caminos diferentes ha sido circunstancial, y no implica que la función Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
derive de un potencial, como podemos comprobar en el siguiente apartado.

c) Comprobamos si la función Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
deriva de un potencial, mediante la regla de las derivadas cruzadas,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
; Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
;Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

De este modo, tenemos:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

con lo cual vemos que Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
no deriva de potencial.

P6. Calcula la circulación de Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
entre los puntos A(1,1,1) y B(2,4,8):

a) A lo largo de la curva x=t, y=t2, z=t3 entre los puntos A y B.

b) Comprueba si la función deriva de un potencial.

a) La circulación del campo vectorial Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, viene dada por:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

siendo:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y expresando x, y, z en función del parámetro t:

Ecuaciones paramétricas: Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

nos queda:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

y para la circulación, teniendo en cuenta los límites de la integral curvilínea, para A(1,1,1) ð t(A)=1 y para B(2,4,8) ð t(B)=2, resulta:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

b) Comprobamos si la función Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
deriva de un potencial, mediante la regla de las derivadas cruzadas,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
; Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
;Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

De este modo, tenemos para Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

con lo cual vemos que Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
no deriva de potencial.

FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL

P7. Calcula el flujo del campo vectorial Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
a través de la superficie rectangular de la figura, situada sobre el plano YZ, con un lado de longitud a sobre el eje OY, y el otro, de longitud b, sobre el eje OZ.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

El flujo de una función vectorial a través de una superficie, viene dado por:

 Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Como la función solo depende de y tomamos el Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
de la figura, en el cual:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Así, sustituyendo en la expresión del flujo e integrando entre 0 y a, límites entre los que varía dy en el rectángulo, obtenemos:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

P8. Calcula el flujo del campo vectorial Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
a través de la superficie triangular de la figura, situada sobre el plano YZ, con un cateto de longitud a sobre el eje OY, y otro, de longitud b, sobre el eje OZ.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

El flujo de un función vectorial a través de una superficie viene dado por:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Dado que la función depende solo de y, como diferencial de superficie elegimos el de la figura. La variable z la ponemos en función de y, teniendo en cuenta la relación de proporcionalidad entre catetos existente en el triángulo,

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Así, sustituyendo en la expresión del flujo e integrando entre 0 y a, límites de integración de la variable y, resulta:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

P9. Calcula el flujo de la función vectorial de punto Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
a través de la superficie plana de la figura.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

El flujo del campo Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
viene dado por la expresión:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

El vector que define la superficie será normal a dicha superficie, de módulo a·b y sentido el que queramos (al no ser una superficie cerrada, es indistinto el sentido que tomemos para el vector que la define, aunque cambia el signo del flujo). Dibujamos la figura en el plano XY, y resulta para el flujo:

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

podríamos haber resuelto el problema realizando el producto escalar Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales
, obteniendo el mismo resultado.

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales

Análisis dimensional. Electricidad. Campos escalares y vectoriales