Ecuaciones diferenciales

Variación de parámetros. Resolución de métodos. Derivadas ordinarias. Funciones. Expresiones polinomiales. Coeficientes constantes. Variables reales. Raíces. Operaciones matemáticas

  • Enviado por: Oscar Esime
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 27 páginas

publicidad
cursos destacados
Cálculo Vectorial y de varias Variables
Cálculo Vectorial y de varias Variables
En este curso se estudiarán conceptos relacionados con las funciones de varias variables como una...
Ver más información

Cálculo Integral
Cálculo Integral
Curso básico de cálculo integral de una sola variable. Se parte desde los conceptos básicos como...
Ver más información


'Ecuaciones diferenciales'

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Culhuacán

Ecuaciones Diferenciales

Apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas Con Coeficientes Constantes de orden n

(EDL~HCCC orden n)

Trabajo elaborado por los alumnos:

Zarate García Curicaveri

Ocampo Zavala Oscar

Grupo:

25CM

Turno:

Matutino

Profesora:

Ramírez Castellanos Ernestina

Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas con coeficientes constantes de orden n . (EDLNHCC)

En está sección se estudiaran dos métodos para resolver EDLNHCC; y dichos métodos son:

1.- Operadores Diferenciales.

2.- Variación de parámetros.

Iniciaremos con el Método de Operadores Diferenciales.

Recordemos que la derivada ordinaria de toda función real de variable real puede denotarse como:

,

donde , se llama operador diferencial, porque transforma una función diferenciable en otra función.

Ejemplos:

1.-

2.-

Es también valido, escribir:

1.- .

2.- .

En general, la derivada n-ésima de una función, puede expresarse como:

Las expresiones polinomiales donde interviene , como , , , también son operadores diferenciales.

Definición de E.D.L.N.H.C.C

Una E.D.L.N.H.C.C. de orden n y grado 1 es una ecuación de la forma:

Donde,

son cantidades numéricas reales.

Identificación de E.D.L.N.H.C.C.

1.-

los coeficientes constantes son .

2.-

los coeficientes constantes son .

3.-

el coeficiente constante es 1, y todos los demás valen cero.

Ahora bien empleando la notación de operados diferenciales, * puede también escribirse como:

de donde:

de aquí, se tiene que la expresión:

es una expresión polinomial donde interviene .

La expresión , recibe el nombre de operador diferencial lineal de orden n y se denota mediante el símbolo . Es decir,

Ejemplos:

Encontrar el operador diferencial lineal correspondiente a cada ecuación diferencial.

1.- .

Empleando operadores diferentes la ecuación 1. puede también escribirse como:

, donde

, de orden 2.

2.-

Esta ec. Puede escribirse como:

, donde

, de orden 5.

3.-

, donde

, de orden 4.

Propiedades de

a) puede factorizarse en operadores diferenciales de orden menor.

Ejemplos:

1.-

2.-

3.-

b) Los factores de pueden conmutarse.

Ejemplos:

1.-

2.-

3.-

El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres casos de operadores anuladores, a saber:

Caso A.

Si ; con -constante o bien, si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

.

Caso B.

Si , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

Caso C.

Si , o bien ; o bien si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es:

Ejemplo 1. Encuentre un operador diferencial que anule a

Solución:

es una suma de dos funciones reales de variable real, a saber,

y .

  • La función corresponde al Caso A, ya que , donde , es decir .

Por lo tanto el operador que anula a es:

  • La función corresponde al Caso B, ya que , donde

Por lo tanto el operador que anula a es:

, es decir

.

Como anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:

.

Ejemplo 2. Encuentre el operador diferencial que anule a:

Solución:

es una suma de seis funciones reales de variable real.

Los sumandos de pueden agruparse de la siguiente forma, de acuerdo a los casos A, B y C:

, donde:

  • La función corresponde al Caso A, ya que es una combinación de algunas de ellas; para conocer el operador anulador, se considera la potencia con máximo exponente, a saber,

.

Por tanto, el operador que anula a es:

  • La función corresponde al Caso B, ya que ,

, donde

Por tanto, el operador que anula a es:

, es decir,

  • La función corresponde al Caso C, y solo puede considerarse o , porque:

ambas coinciden en las potencias con base en las , las exponenciales son idénticas y los argumentos de seno y coseno son iguales, o sea:

Por tanto el operador que anula a es:

, es decir,

Como anula a , anula a y anula a , entonces el operador que anula a es:

.

Método de solución para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (E.D.L.N.H.C.C)

Sea:

* , donde

y

Una E.D.L.N.H.C.C de orden n.

La solución general de * es de la forma:

, donde

  • es la solución completa de la E.D.L.H.C.C

.

  • Y es una solución particular de *, la cual deberá ser calculada.

El método de solución se expondrá mediante ejemplos.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación:

Solución:

Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.

*

Paso 2. Encontraremos la ecuación diferencial lineal homogénea asociada a *.

** asociada a *

Paso 3. Resolveremos , mediante su ecuación característica asociada:

entonces:

, es decir

, donde

Paso 4. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:

Paso 5. Encontramos el operador anulador de .

corresponde al Caso A.

donde .

Por lo tanto el operador que anula a es , es decir,

Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .

............***

Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las E.D.L.H.C.C.

su ecuación característica asociada es:

Es decir,

Por lo tanto la solución de *** es de la forma:

.

Es decir,

O sea,

que es la solución general de *.

Paso 8. La ecuación se compara con:

, para identificar .

De , vemos que:

  • (como se obtuvo en el paso 3).

Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.

Entonces:

Sustituyendo y en *, tenemos que:

.

Agrupando los sumandos del primer miembro de acuerdo a los sumandos del segundo miembro,

De donde:

Sustituyendo y en , vemos que la solución general de * es:

.

Ejemplo 2. Resolver:

.

Solución:

Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial.

*

Paso 2. Escribimos la E.D.L.H.C.C asociada a *.

**

Paso 3. Resolveremos **, mediante su ecuación característica asociada:

Calculamos las raíces de:

, ó

Para resolver utilizamos división sintética.

-1

Por lo tanto, las raíces de son:

Por lo tanto, la solución completa de ** es:

Paso 4. Se busca el operador anulador a

.

Para poder emplear los casos A, B y C, se expresa como:

,

que es una suma de tres funciones, a saber:

  • Para ,

el operador que anula a es:

.

  • Para ,

, donde

Por tanto, el operador anulador de es:

.

  • Para

, donde

Por tanto, el operador anulador de es:

.

Como entonces el operador que anula a es:

Paso 5. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue:

Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación .

............***

Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las EDLHCC.

La ecuación característica asociada a *** es:

, de donde

ó

ó

ó

De aquí:

Vemos que:

Por lo tanto la solución de *** es:

.

Paso 8. La ecuación se compara con:

, para identificar .

De , vemos que:

  • .

Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *.

Entonces:

Sustituyendo , , y en *, tenemos que:

De donde:

Sustituyendo y en , vemos que:

que es la solución general de *.

Ejercicios propuestos de la guía correspondientes a E.D.L.N.H.C.C

En los ejercicios 1-11 resuelva la ecuación diferencial dada por el método de operadores diferenciales. Indique el tipo de ecuación diferencial, la variable dependiente e independiente, el orden y el grado; y la forma de la solución general.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

'Ecuaciones diferenciales'

Vídeos relacionados