Ecuaciones diferenciales

Separables. Homogéneas. Racionales. Exactas. Lineales. Familias de curvas. Trayectorias. Ecuación de Euler-Cauchy. Discretización. Colocación. Ponderación

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Ecuaciones diferenciales de primer órden:

Ecuaciones separables (y=y(t)): f(y)*dy=g(t)*dt => int(f(y),dy)=int(g(t),dt)

Ecuaciones homogéneas (y'=f(y/t)): Se resuelve con u=y/t

Ecuaciones racionales: (y'=(A*t+B*y+C)/(D*t+F*y+G) ; A,B,...,G constantes)

- Caso 1: C=G=0

y'=(A*t+B*y)/(D*t+F*y) = (A+B*(y/t))/(D+F*(y/t)) => homogénea

- Caso 2: numerador=0 y denominador=0 no son rectas paralelas.

Se hace el cambio u=y+alfa, v=t+beta, alfa y beta son reales y hay que hallarlas para pasar al caso 1.

- Caso 3: numerador=0 y denominador=0 son rectas paralelas.

Ej: y'=(1+3*t+4*y)/(2+3*t+6*y) = (1+2*(t+2*y))/(2+3*(t+2*y)) => se resuelve con un cambio de variable, en este caso, u=t+2*y

Ecuaciones exactas: (M+N*y'=0 y existe F=F(x,y), es decir, proviene de derivar una función)

M=(dF/dt) ; N=(dF/dy)

Una ecuación es exacta si (dM/dy)=(dN/dt)

Factores integrantes: Una ecuación M+N*y'=0 puede no ser exacta, pero es posible que mu*M+mu*N*y'=0 sí lo sea. (mu=factor integrante)

- Primer tipo: mu=mu(t)

mu*M+mu*N*y'=0 exacta => (d(mu*M)/dy)=(d(mu*N)/dt) => mu*(dM/dy)=(dmu/dt)*N+mu*(dN/dt) => mu*((dM/dy)-(dN/dt))=(dmu/dt)*N =>

=> (((dM/dy)-(dN/dt))/N)*dt=((dmu)/mu)

----------------------------> solo debe depender de t

- Segundo tipo: mu=mu(y)

((dmu)/mu)=(((dN/dt)-(dM/dy))/M)*dy

----------------------------> solo debe depender de y

-Tercer tipo: mu=mu(t,y)

mu=mu(v) ; v=a*t+b*y ; a,b reales

((dmu)/mu)=(((dN/dt)-(dM/dy))/(b*M-a*N))*dv ; a y b tenemos que deducirlas.

****

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer órden:

Familias de curvas: Ej: Circunferencias centradas en el orígen: x^2+y^2=R^2 => 2*x+2*y*y'=0 => x+y*y'=0

Trayectorias ortogonales: Sea y'=f(x,y) la ec. dif., la de la familia con trayectorias ortogonales es y'=(-1)/f(x,y)

Trayectorias oblicuas: Sea y'=f(x,y) la ec. dif., la de la familia de curvas que cortan a la anterior con un ángulo alfa es: y'=(f(x,y)-tan(alfa))/(1+f(x,y)*tan(alfa))

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Ecuaciones lineales de órden n: (Nota: a(n-1)=a sub (n-1))

Son de la forma: y^n+(a(n-1)^t)*y^(n-1)+...+(a(1)^t)*y'+(a(0)^t)*y=b(t)

Si b(t)=0 se dice homogénea.

Ecuación homogénea:

Fuerzo y(x)=exp^(landa*x) => Saco la ecuación característica. Ej: y''+y=0 => landa^2+1=0

Y la solución es: C(1)*exp(landa(1)*t)+....+Cn*exp(landa(n)*t) = y(t) ; C(i) reales.

Raíces complejas: Siempre aparecerá la raíz y su conjugada. Eliminamos la que menos nos guste y trabajamos con la otra realizando el cambio exp(a+i*b)=(exp(a))*(cos(b)+i*sin(b)) para que las soluciones sean reales.

Raíces múltiples: Si landa en raíz de órden k de la ecuación característica, entonces {exp(landa*t), t*exp(landa*t),...., (t^(k-1))*exp(landa*t)} satisfacen la ec. dif.

Ecuación lineal no homogénea de coeficientes constantes:

La solución general será la homogénea más una solución particular que vamos a ver cómo se saca.

- Si b(t) es un polinomio de grado k:

- Si el cero no es raíz de la ecuación característica => yp(t)=polinomio de grado k.

- Si el cero es raíz de la ec. caract. de órden r => yp(t)=(t^r)*p(t) ; p(t) polinomio de grado k.

- Si b(t) = K*exp(alfa*t):

- Si alfa no es raíz de la ec. caract. => yp(t)=A*exp(alfa*t)

- Si alfa es raíz de la ec. caract. de órden k => yp(t)=(polinomio de grado k)*exp(alfa*t)

- Si b(t)=C*exp(alfa*t)*sin(beta*t)+D*exp(alfa*t)*cos(beta*t):

- Si alfa+i*beta no es raíz de la ec. caract. => yp(t)=A*exp(alfa*t)*sin(beta*t)+B*exp(alfa*t)*cos(beta*t)

- Si alfa+i*beta es raíz de la ec. caract. de orden k => yp(t)=p(t)*exp(alfa*t)*sin(beta*t)+q(t)*exp(alfa*t)*cos(beta*t) ; p(t), q(t) polinomios de grado k.

- Si b(t) es suma de funciones ya vistas: {yp(1),...,yp(n)} satisface {b1(t),...,bn(t)}, entonces yp(1)+...+yp(n) satisface b1(t)+...+bn(t)

- Si b(t) es arbitrario....chungo, pero aún nos queda el método de variación de parámetros:

Wronskiano de f1,..,fn (n-1) veces derivables: W(f1,..,fn)=det( f1 f2 .... fn )

( f1' f2' .... fn' )

( ............................ )

( f1(n-1) f2(n-1) .... fn(n-1) )

Ejemplo de variación de parámetros: y''+y=f(t) ; y(0)=0 ; y'(0)=0

1) Homogénea: y''+y=0 => landa^2+1=0 => y=C1*sin(t)+C2*cos(t) , Ci reales

2) Se conjetura como slución de la no homogénea: y=C1(t)*sin(t)+C2(t)*cos(t) (amos, las constatnes varibles en la solución de la homogénea) (Ci(t)=Ci variables con t)

Objetivo: Encontrar un sistema lineal de ecuaciones para hallar Ci'(t).

y'=C1'*sin(t)+C1*cos(t)+C2'*cos(t)-C2*sin(t) (derivadas de productos)

|<= C1'*sin(t)+C2'*cos(t)=0 (ecuación 1)

|

|-> y'=C1*cos(t)-C2*sin(t) => y''=C1'*cos(t)-C1*sin(t)-C2'*sin(t)-C2*cos(t)

|<=C1'*cos(t)-C2'*sin(t)=f(t) (Ecuación2. La igualo a f(t) porque es la última que necesito (2 incógnitas, 2 ecuaciones))

|

|-> Y ya monto el sistema de ecuaciones:

(sin(t) cos(t)) (C1') ( 0 ) => C1'=cos(t)*f(t) => C1=int(f(t)*cos(t),dt) => C1=int(0,t,f(s)*cos(s),ds)

(cos(t) -sin(t))*(C2')=(f(t)) => C2'=-sin(t)*f(t) => C2=int(-sin(t)*f(t),dt) => C2=int(0,t,-f(s)*sin(s),ds)

Los límites inferiores de las integrales pueden ser los que quiera. Lo normal es que coincidan con la solución inicial.

3) La solución general: y(t)=C1*sin(t)+C2*cos(t)+sin(t)*int(0,t,f(s)*cos(s),ds)-cos(t)*int(0,t,f(s)*sin(s),ds) ; Ci reales

4) Aplico las condiciones iniciales.

Reducción del órden (coeficientes variables):

y''+a1(t)*y'+a0(t)*y=0

Conocemos una solución s(t)

Realizamos el cambio y=u*s => y'=u'*s+u*s' => y''=u''*s+2*u'*s'+u*s''

0=u''*s+2*u'*s'+u*s''+a1*u'*s+a1+u*s'+a0*u*s=

=u*(s''+a1*s'+a0*s)+u''*s+u'*(2*s'+a1*s)

----------------> cero, ya que cumple la ecuación diferencial.

0=u''*s+u'*(2*s'+a1*s)

|<=v=u'

|

|-> 0=v'*s+v*(2*s'+a1*s) => ((dv)/t)*s=-v*(2*s'+a1*s) => ((dv)/v)=(-2*s'/s-a1)*dt Ecuación de primer orden de variables separables.

Ln(v)=-2*Ln(s)-int(a1(t),dt) => v=(1/s^2)*exp(-int(a1(t),dt)) => u=int(v)

u*s es una solución de la ecuación diferencial cuyas soluciones son: {s(t), u(t)*s(t)}

Ecuación de Euler-Cauchy:

Es del tipo: (t^n)*(((d^n)y)/dt^n)+a(n-1)*t^(n-1)*(((d^(n-1))y)/dt^(n-1))+....+a1*t*(dy/dt)+a0*y=b(t)

lineal, de coeficientes variables. Se resuelve mediante t=exp(x), convirtiéndolaen una ecuación lineal de coeficientes constantes.

El objetivo es cambiar dt por dx:

(dy/dt)=(dy/dx)*(dx/dt)=(1/t)*(dy/dx)

((d^2)y/dt^2)=d(dy/dt)/dt=d(exp(-x)*dy/dt)/dt=exp(-x)*d(exp(-x)*dy/dx)/dx=exp(-x)*[-exp(-x)*dy/dx+exp(-x)*(((d^2)y)/dx^2)]=exp(-2*x)*(((d^2)y/dx^2))-dy/dx)=(1/t^2)*(((d^2)y/dx^2)-dy/dx)

Y así con todo...

d3y/dt3=(1/t^3)*(d3y/dx3-3*d2y/dx2+2*dy/dx)

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Aproximaciones:

Método de discretización:

Resolvemos de forma aproximada a2(t)*y''+a1(t)*y'+a0(t)*y=b(t) mediante:

y'(t) (aprox)= (y(t+h)-y(t))/h

y'(t) (aprox)= (y(t)-y(t-h))/h

y'(t) (aprox)= (y(t+h)-y(t-h))/(2*h)

y''(t) (aprox)= (y(t+h)+y(t-h)-2*y(t))/(h^2)

El número de subintervalos es el de puntos menos uno.

h=(ptofinal - ptoinicial)/numsubintervalos

En los extremos nos fijamos en las condiciones de frontera, y en los internos en la ecuación diferencial.

Método de colocación:

Resolvemos de forma aproximada a2(t)*y''+....+a0(t)*y=b(t) mediante una función.

Ejemplo: 2*((x+1)^2)*y''+y=x+2 ; y(0)=y(3)=2

1) Elegimos el tipo de función aproximante. Por ejemplo, P3.

p(x)=a+b*x+c*x^2+d*x^3

2) Forzamos que p satisfaga las condiciones de frontera:

2=p(0)=a |-> a=2

2=p(3)=a+3*b+9*c+27*d |-> b=-3*c-9*d

3) Calcular el residuo (mide la exactitud -> Si R=0 -> solución exacta -> no suele ocurrir...)

La ecuación diferencial se puede escribir F(x,y,y',y'').

El residuo es R=F(x,p,p',p'')

R=2*((x+1)^2)*[2*c+6*d*x]+[2+(-3*c-9*d)*x+c*x^2+d*x^3]-x-2 (sí, b(t) hay que pasarlo al otro lado, de tal forma que nos quede igualada a cero)

4) Elegimos un número de puntos del intervalo mayor o igual que el número de parámetros libres. Tomamos, por ejemplo, x=0,1,2,3.

5) Forzamos que el residuo se anule en los puntos elegidos:

0=R(0)=4*c

0=R(1) ; 0=R(2) ; 0=R(3)

Y con esto tenemos un sistema de ecuaciones, que si es compatible se resuelve de forma normal, y si no, con mínimos cuadrados.

Método de ponderación:

Sirve para resolver el mismo tipo de problemas que los anteriores.

Funciones características son aquellas que valen 1 dentro del intervalo y cero fuera de él.

1) Nos tienen que dar el tipo de funciones aproximantes.

2) Forzamos que la solución aproximada satisfaga las condiciones de frontera.

3) Calculamos el residuo. (Hasta aquí igual que en el método de colocación)

4) Elegimos un número de funciones test (f1,..,fn) mayor o igual que el número de parámetros libres.

0=<R,f1>=....=<R,fn>

<h,g>=int(a,b,h(x)*g(x),dx) siendo a y b la frontera del intervalo donde está definida la ecuación diferencial.

Y finalmente tenemos un sistema de ecuaciones que se resuelve y ya está.

****

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales:

y1'(t)=a11(t)*y1+....+an1(t)*yn+b1(t)

.....................................

yn'(t)=a1n(t)*y1+....+ann(t)*yn+bn(t)

Se pone de esta manera:

(y1)' ( a11(t) .... an1(t) ) (y1) (b1(t))

(..) = ( .................. ) * (..) + (.....)

(yn) ( a1n(t) .... ann(t) ) (yn) (bn(t))

Y' = A * Y + B(t)

Reducción de una ecuación diferencial lineal de órden n a un sistema:

(y^n)+a(n-1)(t)*(y^(n-1))+....+a1(t)*y'*a0(t)*y=b(t)

Introducimos variables extras:

u1=y | (u1)' ( 0 1 0 ..... 0 ) (u1) ( 0 )

u2=y' | (u2) ( 0 0 1 ..... 0 ) (u2) ( 0 )

.... |=> (..) = (..........................) * (..) + (......)

un=y^(n-1) | (un) (-a0 -a1 -a2 ..... -a(n-1) ) (un) ( b(t) )

un'=y^n=b(t)-a(n-1)(t)*y^(n-1)-....-a1(t)*y'-a0(t)*y

Nota que u1'=y'=u2

Resolución de sistemas homogéneos: Y'=A*Y

- Si A es diagonalizable, posee una base de vectores propios {v1,..,vn} asociados a los valores propios {landa1,...,landan} (es indiferente si son iguales o distintos).

Entonces {exp(landa1*t)*v1,....,exp(landan*t)*vn} forman base del conjunto de soluciones de Y'=A*Y.

Solución= C1*exp(landa1*t)*v1+....+Cn*exp(landan*t)*vn ; Ci reales.

Existe una matriz M(t) cuyas columnas son las soluciones de Y'=A*Y, es decir:

( exp(landa1*t)*v11 .... exp(landan*t)*vn1 ) (C1)

M(t) * C(t) = ( ........................................ ) * (..)

( exp(landa1*t)*v1n .... exp(landan*t)*vnn ) (Cn)

- Si A no es diagonalizable hay que hallar la matriz de Jordan (J):

Un bloque de Jordan asociado a landa (n) (landa real o complejo) tiene la forma:

(n) , (n 1) , (n 1 0) , (n 1 0 0) , etc...

(0 n) (0 n 1) (0 n 1 0)

(0 0 n) (0 0 n 1)

(0 0 0 n)

A=S*J*S^-1 Un bloque de Jordan nunca es diagonalizable, y sus valores propios son el escalar que aparece en la diagonal principal.

J cumple:

1) Es una matriz formada por bloques de Jordan del modo siguiente:

J=(J1 0 0 ... 0 )

(0 J2 0 ... 0 )

(...............)

(0 0 0 ... Jn)

2) El número de bloques de Jordan asociados a landa es la multiplicidad geométrica del vector propio (de A) landa.

3) El número de veces qye está repetido el valor propio landa en la diagonal de J es la multiplicidad algebraica de landa.

A=S*J*S^-1 => A*S=S*J => A*[v1,....,vn]=[v1,....,vn]*J

Siendo {v1,...,vn} una cadena de Jordan asociada a landa para la matriz A, entonces:

y1(t)=exp(landa1*t)*v1 (los landas pueden ser iguales si tienen multiplicidad algebraica mayor que 1)

y2(t)=exp(landa2*t)*v2 + t*exp(landa2*t)*v1

y3(t)=exp(landa3*t)*v3 + t*exp(landa3*t)*v2 + (t^2)/2*exp(landa3*t)*v1

......................................................................

yn(t)=exp(landan*t)*vn + t*exp(landan*t)*v(n-1) +....+ ((t^(n-1))/((n-1)!))*exp(landan*t)*v1

cumplen Y'=A*Y

Resolución de sistemas no homogéneos: Y'=A*Y+B(t)

La solución de este sistema es la solución del sistema homogéneo más una solución particular.

El sistema homogéneo ya sabemos resolverlo, centrémonos en la solución particular:

- Método de variación de parámetros (B(t) arbitrario):

Sea C1*y1 +...+ Cn*yn la solución homogénea de Y'=A*Y

(y1,..,yn)*(C1) = M(t) * C

(..)

(Cn)

M(t) es invertible y M'=A*M

Conjeturamos como solución particular de Y'=A*Y+B la función Yp=M(t)*c(t) ; C(t) es una función vectorial desconocida.

Y'(t) = M(t)'*C(t) + M(t) * C(t)' = A*M(t)*C(t)+B(t)

|<= M'=A*M

V

M(t)*C(t)'=B(t) => C(t)'=(M^-1)(t)*B(t)

C(t)=int((M^-1)(t)*B(t),dt) => Yp=M(t)*int((M^-1)(t)*B(t),dt)

- Método de coeficientes indeterminados (B(t) concretos):

- B(t) polinomio de grado k: B(t)=v0+t*v1+..+(t^k)*vk

- Cero no es valor propio de A: conjeturamos Yp polinomio de grado k.

- Cero es vp con m.a.=r : conjeturamos Yp polinomio de grado k+r.

- B(t)=exp(alfa*t)*v

- Alfa no es vp de A: Yp(t)=exp(alfa*t)*w ; w vector real.

- Alfa es vp con m.a.=r: Yp(t)=exp(alfa*t)*(w0+t*w1+...+(t^r)*wr)

----------------------> Polinomio de grado r.

- B(t)=exp(alfa*t)+(v1*sin(beta*t) + v2*cos(beta*t)) ; vi reales

- Alfa+i*beta no es vp de A: Yp=exp(alfa*t)*(w1*sin(beta*t) + w2*cos(beta*t))

- Alfa+i*beta es vp de A con m.a.=r: Yp=exp(alfa*t)*(p(t)*sin(beta*t) + q(t)*cos(beta*t))

p(t), q(t) polinomios de grado r.

- B(t) suma de funciones ya vistas:

Se hace algo parecido a cuando solo había una ecuación solo que ahora todo a la vez.

Ejemplo: Tenemos t y exp(t), pues ponemos B(t)=Yp(t)+Yp(exp(t)) y se resuelve igualando semejantes, 1, t, exp(x),...

Sistemas de ecuaciones diferenciales de órden mayor de 1:

Esto lo mejor es verlo con un ejemplo:

x'''+2*y''+x'+y'+2*y-y=1+t

y''+x''-y+2*x=2+exp(t)

El truco está en añadir variables auxiliares para disminuir el grado de derivación aún a costa de aumentar el tamaño:

u=x' ; v=x'' ; w=y'

Y tenemos un sistema de ecuaciones así:

v'+2*w'+u+w+2*x-y=1+t

w'+v-y+2*x =2+exp(t)

x'=u

u'=v

y'=w

Que representado matricialmente es así:

(0 0 0 1 2) (x)' ( -2 1 -1 0 -1 ) (x) ( 1+t )

(0 0 0 0 1) (y) ( -2 1 0 -1 0 ) (y) ( 2+exp(t) )

(1 0 0 0 0) * (u) = ( 0 0 1 0 0 ) * (u) + ( 0 )

(0 0 1 0 0) (v) ( 0 0 0 1 0 ) (v) ( 0 )

(0 1 0 0 0) (w) ( 0 0 0 0 1 ) (w) ( 0 )

Entonces, si existe M^-1, M*Y'=N*Y+B(t) => Y'=((M^-1)*N)*Y + (M^-1)*B

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