Matemáticas

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes

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Ejercicio 13´, deducir las formulas de u1, u2, u3 ý u4, para una EDL~HCC de orden 4.

Sea:

yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = ƒ(x) (∗) EDL~HCV, donde;

v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. Ý ƒ(x)≠0.

Se debe de tener en cuenta que para que la EDL~HCC de orden 4 tenga solución por el método de solución de parámetros, la mas alta derivada debe de tener como coeficiente 1(+)

La función ƒ(x) debe de estar, en el 2do miembro de la ecuación.

La solución de una EDL~HCC por el método de variación de parámetros es:

y(x) = yc(x) + yp(x).
donde:

yc(x) es la solución general de una EDLHCC.
yp(x) es la solución particular de una EDL~HCC

Para comenzar con la solución, se sabe que una EDL~HCC (∗) tiene asociada una EDLHCC.

yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = 0 (∗∗) EDLHCC, donde:

v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. P(x),Q(x),R(x) ý S(x) Ctes, ý ƒ(x)=0.

Solución general para una EDLHCC de 4to orden es:

yc(x) = c1y1 + c2y2 + c3y3 + c4y4
donde y1, y2, y3, y4, son sol. Particulares de (∗∗) y son L.I. Por que: W(y1, y2, y3, y4) ≠ 0

Al decir esto damos a entender que:

y1, y2, y3, y4 } satisfacen a la EDLHCC, por que:

y1IV + P(x) y1''' + Q(x) y1'' + R(x) y1' + S(x) y1 = 0	(a)
y2IV + P(x) y2''' + Q(x) y2'' + R(x) y2' + S(x) y2 = 0	(b)
y3IV + P(x) y3''' + Q(x) y3'' + R(x) y3' + S(x) y3 = 0	(c)
y4IV + P(x) y4''' + Q(x) y4'' + R(x) y4' + S(x) y4 = 0	(d)

Ahora bien al tener la solución de la EDLHCC (∗∗) se puede determinar yp(x) ya que esta depende de los valores de y1, y2, y3, y4, ya que es de la forma:

yp(x) = u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4. (1)

Donde hasta ahora no se conocen los valores de u1, u2, u3 ý u4.

Entonces:

Comenzamos la deducción de: u1, u2, u3 ý u4.

Para poder obtener u1, u2, u3 ý u4 debemos derivar las veces que me nos indique la máxima derivada de la EDLHCC, en este caso 4 veces.
Derivamos (1)

yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 + u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4.

Antes de calcular la 2da derivada, haremos la siguiente igualación.

u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0 (2)

ya que esta suposición nos será útil más adelante, en un sistema de ecuaciones.

Entonces sustituimos (2) en (1), y nos queda yp(x) de esta forma:

yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 (3)

Bien entonces ahora derivamos la ecuación (3)

yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 + u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 (4)

Ahora haremos que en (4) queden solo las segundas derivadas de (y), entonces se propone:

u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0 (5)

Sustituimos (5) en (4) y entonces tenemos:

yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 (6)

Ahora derivamos (6)

yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 + u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 (7)

Antes de calcular la siguiente derivada (4ta derivada de yp(x)) proponemos.

u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0 (8)

con el único propósito de tener solamente las 3ras derivadas de (y).

Entonces sustituimos (8) en (7)

yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 (9)

Derivamos (9), y tenemos:

ypIV(x) = u1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 (10)

Ahora bien tenemos las 4ta derivada de yp(x), y sabemos que yp(x) es la solución general de (∗), y que satisface a la ecuación, es decir:

ypIV + P(x) ypIII + Q(x) ypII + R(x) ypI + S(x) yp = ƒ(x) (A)

Sustituimos: (1), (3), (6), (9) ý (10) en (A), tenemos entonces:

	U1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4	+
P(x) [	u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4	] +
Q(x) [	u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4	] +
R(x) [	u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4	] +
S(x) [	u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4	= ƒ (x)

Realizamos las operaciones:

u1yIV1 + u'1y'''1 + u2yIV2 + u'2y'''2 + u3yIV3 + u'3y'''3 + u4yIV4 + u'4y'''4	+
P(x) u1y'''1 + P(x) u2y'''2 + P(x) u3y'''3+ P(x) u4y'''4	+
Q(x) u1y''1 + Q(x) u2y''2 + Q(x) u3y''3+ Q(x) u4y''4	+
R(x) u1y'1 + R(x) u2y'2 + R(x) u3y'3+ R(x) u4y'4	+
S(x) u1y1 + S(x) u2y2 + S(x) u3y3+ S(x) u4y4	= ƒ (x)

Como se observa en las sumandos marcadas con color distinto tenemos como factores comunes a u1, u2, u3 ý u4, entonces las factorizamos.

u1 [	yIV1 + P(x)y'''1 + Q(x)y''1 + R(x) y'1 + S(x)y1	]+
u2 [	yIV2+ P(x)y'''2 + Q(x)y''2 + R(x)y'2 + S(x)y2	]+
u3 [	yIV3+ P(x)y'''3 + Q(x)y''3+ R(x)y'3 + S(x)y3	]+
u4 [	yIV4+ P(x)y'''4 +Q(x)y''4 + R(x)y'4 + S(x)y4	]+
	u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4	=ƒ(x)	(11)

Si sustituimos (a), (b), (c), ý (d) en (11) tenemos:

u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =ƒ(x) (12)

De las ecuaciones (2), (5), (8) ý (12) tenemos el siguiente sistema de 4 ecuaciones:

u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0	} I
u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0
u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0
u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =ƒ(x)

Como se puede ver este sistema no es homogéneo, por que sabemos que la ƒ(x)≠0, pero a la vez se sabe que si tiene solución, porque: un sistema de n-ecuaciones no homogéneo tiene solución <=> el determinante de este es ≠ 0, decimos que si tiene solución, por que el determinante de y1, y2, y3, ý y4 (W(y1, y2, y3, y4) ≠ 0)
representación matricial del sistema I.

y1	y2	y3	y4	u'1	0
y'1	y'2	y'3	y'4	u'2	0
y''1	y''2	y''3	y''4	u'3	0
y'''1	y'''2	y'''3	y'''4	u'4	ƒ(x)

C V T

Entonces calcularemos u1, u2, u3 ý u4 por regla de Cramer.

Calculo de u1:

		+	-	+	-
	+	0	y2	y3	y4
	-	0	y'2	y'3	y'4
	+	0	y''2	y''3	y''4
u'1=	-	ƒ(x)	y'''2	y'''3	y'''4
u'1=			W(y1, y2, y3, y4)

		y2	y3	y4	y2	y3
		y'2	y'3	y'4	y'2	y'3
u'1=	- ƒ (x)	y''2	y''3	y''4	y''2	y''3
u'1=		W(y1, y2, y3, y4)

Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

u1=

−

∫

ƒ (x)

[y2y'3y''4 + y3y'4y''2 + y4y'2y''3 − y''2y'3y4 − y''3y'4y2 - y''4y'2y3 ] dx

W(y1, y2, y3, y4)

Calculo de u2:

	+		-	+	-
	y1	-	0	y3	y4
	y'1	+	0	y'3	y'4
	y''1	-	0	y''3	y''4
u'2=	y'''1	+	ƒ(x)	y'''3	y'''4
u'2=			W(y1, y2, y3, y4)

		y1	y3	y4	y1	y3
		y'1	y'3	y'4	y'1	y'3
u'2=	ƒ (x)	y''1	y''3	y''4	y''1	y''3
u'2=		W(y1, y2, y3, y4)

Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

u1=	∫
		ƒ (x)	[y1y'3y''4 + y3y'4y''1 + y4y'1y''3 − y''1y'3y4 − y''3y'4y1 - y''4y'1y3 ] dx
		W(y1, y2, y3, y4)

Calculo de u3:

	+	-		+	-
	y1	y2	+	0	y4
	y'1	y'2	-	0	y'4
	y''1	y''2	+	0	y''4
u'3=	y'''1	y'''2	-	ƒ(x)	y'''4
u'3=			W(y1, y2, y3, y4)

		y1	y2	y4	y1	y2
		y'1	y'2	y'4	y'1	y'2
u'3=	- ƒ (x)	y''1	y''2	y''4	y''1	y''2
u'3=		W(y1, y2, y3, y4)

Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

u3=

−

∫

ƒ (x)

[y1y'2y''4 + y2y'4y''1 + y4y'1y''2 − y''1y'2y4 − y''2y'4y1 - y''4y'1y2 ] dx

W(y1, y2, y3, y4)

Calculo de u4:

	+	-	+	-
	y1	y2	y3	0	-
	y'1	y'2	y'3	0	+
	y''1	y''2	y''3	0	-
u'1=	y'''1	y'''2	y'''3	ƒ(x)	+
u'1=		W(y1, y2, y3, y4)

		y1	y2	y3	y1	y2
		y'1	y'2	y'3	y'1	y'2
u'1=	ƒ (x)	y''1	y''2	y''3	y''1	y''2
u'1=		W(y1, y2, y3, y4)

Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

u1=	∫
		ƒ (x)	[y1y'2y''3 + y2y'3y''1 + y3y'1y''2 − y''1y'2y3 − y''2y'3y1 - y''3y'1y2 ] dx
		W(y1, y2, y3, y4)

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales No Homogeneas con Coeficientes Constentes. . .

Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
Diagonales Azules (+)
Diagonales Rojas (−)

Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
Diagonales Azules (+)
Diagonales Rojas (−)

Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
Diagonales Azules (+)
Diagonales Rojas (−)

Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.
Diagonales Azules (+)
Diagonales Rojas (−)

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Enviado por:	Alejandro
Idioma:	castellano
País:	México

Palabras clave:

Cálculo numérico Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de cuarto orden Método de variación de parámetros

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