Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes

Cálculo numérico. Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales de cuarto orden. Método de variación de parámetros

  • Enviado por: Alejandro
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 9 páginas

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Ejercicio 13´, deducir las formulas de u1, u2, u3 ý u4, para una EDL~HCC de orden 4.

  • Sea:

yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = ƒ(x) (∗) EDL~HCV, donde;

v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. Ý ƒ(x)≠0.

  • Se debe de tener en cuenta que para que la EDL~HCC de orden 4 tenga solución por el método de solución de parámetros, la mas alta derivada debe de tener como coeficiente 1(+)

  • La función ƒ(x) debe de estar, en el 2do miembro de la ecuación.

    • La solución de una EDL~HCC por el método de variación de parámetros es:

        • y(x) = yc(x) + yp(x).

        • donde:

          • yc(x) es la solución general de una EDLHCC.

          • yp(x) es la solución particular de una EDL~HCC

    • Para comenzar con la solución, se sabe que una EDL~HCC (∗) tiene asociada una EDLHCC.

    yIV + P(x) y''' + Q(x) y'' + R(x) y' + S(x) y = 0 (∗∗) EDLHCC, donde:

    v. d. y. v.i. x. Grado 1. Orden 2. P(x),Q(x),R(x) ý S(x) Ctes, ý ƒ(x)=0.

    • Solución general para una EDLHCC de 4to orden es:

      • yc(x) = c1y1 + c2y2 + c3y3 + c4y4

      • donde y1, y2, y3, y4, son sol. Particulares de (∗∗) y son L.I. Por que: W(y1, y2, y3, y4) ≠ 0

    • Al decir esto damos a entender que:

        • y1, y2, y3, y4 } satisfacen a la EDLHCC, por que:

        • y1IV + P(x) y1''' + Q(x) y1'' + R(x) y1' + S(x) y1 = 0

          (a)

          y2IV + P(x) y2''' + Q(x) y2'' + R(x) y2' + S(x) y2 = 0

          (b)

          y3IV + P(x) y3''' + Q(x) y3'' + R(x) y3' + S(x) y3 = 0

          (c)

          y4IV + P(x) y4''' + Q(x) y4'' + R(x) y4' + S(x) y4 = 0

          (d)

          • Ahora bien al tener la solución de la EDLHCC (∗∗) se puede determinar yp(x) ya que esta depende de los valores de y1, y2, y3, y4, ya que es de la forma:

            • yp(x) = u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4. (1)

                    • Donde hasta ahora no se conocen los valores de u1, u2, u3 ý u4.

            • Entonces:

          • Comenzamos la deducción de: u1, u2, u3 ý u4.

            • Para poder obtener u1, u2, u3 ý u4 debemos derivar las veces que me nos indique la máxima derivada de la EDLHCC, en este caso 4 veces.

            • Derivamos (1)

              • yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 + u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4.

            • Antes de calcular la 2da derivada, haremos la siguiente igualación.

              • u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0 (2)

                • ya que esta suposición nos será útil más adelante, en un sistema de ecuaciones.

            • Entonces sustituimos (2) en (1), y nos queda yp(x) de esta forma:

              • yp`(x) = u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4 (3)

            • Bien entonces ahora derivamos la ecuación (3)

              • yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 + u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 (4)

            • Ahora haremos que en (4) queden solo las segundas derivadas de (y), entonces se propone:

              • u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0 (5)

            • Sustituimos (5) en (4) y entonces tenemos:

              • yp`'(x) = u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4 (6)

            • Ahora derivamos (6)

              • yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 + u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 (7)

            • Antes de calcular la siguiente derivada (4ta derivada de yp(x)) proponemos.

              • u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0 (8)

                • con el único propósito de tener solamente las 3ras derivadas de (y).

            • Entonces sustituimos (8) en (7)

              • yp`''(x) = u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4 (9)

            • Derivamos (9), y tenemos:

              • ypIV(x) = u1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 (10)

            • Ahora bien tenemos las 4ta derivada de yp(x), y sabemos que yp(x) es la solución general de (∗), y que satisface a la ecuación, es decir:

              • ypIV + P(x) ypIII + Q(x) ypII + R(x) ypI + S(x) yp = ƒ(x) (A)

            • Sustituimos: (1), (3), (6), (9) ý (10) en (A), tenemos entonces:

          U1yIV1 + u2yIV2 + u3yIV3 + u4yIV4 + u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4

          +

          P(x) [

          u1y'''1 + u2y'''2 + u3y'''3 + u4y'''4

          ] +

          Q(x) [

          u1y''1 + u2y''2 + u3y''3 + u4y''4

          ] +

          R(x) [

          u1y'1 + u2y'2 + u3y'3 + u4y'4

          ] +

          S(x) [

          u1y1 + u2y2 + u3y3 + u4y4

          = ƒ (x)

            • Realizamos las operaciones:

            • u1yIV1 + u'1y'''1 + u2yIV2 + u'2y'''2 + u3yIV3 + u'3y'''3 + u4yIV4 + u'4y'''4

              +

              P(x) u1y'''1 + P(x) u2y'''2 + P(x) u3y'''3+ P(x) u4y'''4

              +

              Q(x) u1y''1 + Q(x) u2y''2 + Q(x) u3y''3+ Q(x) u4y''4

              +

              R(x) u1y'1 + R(x) u2y'2 + R(x) u3y'3+ R(x) u4y'4

              +

              S(x) u1y1 + S(x) u2y2 + S(x) u3y3+ S(x) u4y4

              = ƒ (x)

                • Como se observa en las sumandos marcadas con color distinto tenemos como factores comunes a u1, u2, u3 ý u4, entonces las factorizamos.

                • u1 [

                  yIV1 + P(x)y'''1 + Q(x)y''1 + R(x) y'1 + S(x)y1

                  ]+

                  u2 [

                  yIV2+ P(x)y'''2 + Q(x)y''2 + R(x)y'2 + S(x)y2

                  ]+

                  u3 [

                  yIV3+ P(x)y'''3 + Q(x)y''3+ R(x)y'3 + S(x)y3

                  ]+

                  u4 [

                  yIV4+ P(x)y'''4 +Q(x)y''4 + R(x)y'4 + S(x)y4

                  ]+

                  u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4

                  =ƒ(x)

                  (11)

                    • Si sustituimos (a), (b), (c), ý (d) en (11) tenemos:

                      • u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =ƒ(x) (12)

                    • De las ecuaciones (2), (5), (8) ý (12) tenemos el siguiente sistema de 4 ecuaciones:

                    • u'1y1 + u'2y2 + u'3y'3 + u'4y4 =0

                      } I

                      u'1y'1 + u'2y'2 + u'3y'3 + u'4y'4 = 0

                      u'1y''1 + u'2y''2 + u'3y''3 + u'4y''4 = 0

                      u'1y'''1 + u'2y'''2 + u'3y'''3 + u'4y'''4 =ƒ(x)

                        • Como se puede ver este sistema no es homogéneo, por que sabemos que la ƒ(x)≠0, pero a la vez se sabe que si tiene solución, porque: un sistema de n-ecuaciones no homogéneo tiene solución <=> el determinante de este es ≠ 0, decimos que si tiene solución, por que el determinante de y1, y2, y3, ý y4 (W(y1, y2, y3, y4) ≠ 0)

                        • representación matricial del sistema I.

                        • y1

                          y2

                          y3

                          y4

                          u'1

                          0

                          y'1

                          y'2

                          y'3

                          y'4

                          u'2

                          0

                          y''1

                          y''2

                          y''3

                          y''4

                          u'3

                          0

                          y'''1

                          y'''2

                          y'''3

                          y'''4

                          u'4

                          ƒ(x)

                          C V T

                          • Entonces calcularemos u1, u2, u3 ý u4 por regla de Cramer.

                          • Calculo de u1:

                          • +

                            -

                            +

                            -

                            +

                            0

                            y2

                            y3

                            y4

                            -

                            0

                            y'2

                            y'3

                            y'4

                            +

                            0

                            y''2

                            y''3

                            y''4

                            u'1=

                            -

                            ƒ(x)

                            y'''2

                            y'''3

                            y'''4

                            W(y1, y2, y3, y4)

                            y2

                            y3

                            y4

                            y2

                            y3

                            y'2

                            y'3

                            y'4

                            y'2

                            y'3

                            u'1=

                            - ƒ (x)

                            y''2

                            y''3

                            y''4

                            y''2

                            y''3

                            W(y1, y2, y3, y4)

                            • Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

                            u1=

                            ƒ (x)

                            [y2y'3y''4 + y3y'4y''2 + y4y'2y''3 − y''2y'3y4 − y''3y'4y2 - y''4y'2y3 ] dx

                            W(y1, y2, y3, y4)

                            • Calculo de u2:

                            • +

                              -

                              +

                              -

                              y1

                              -

                              0

                              y3

                              y4

                              y'1

                              +

                              0

                              y'3

                              y'4

                              y''1

                              -

                              0

                              y''3

                              y''4

                              u'2=

                              y'''1

                              +

                              ƒ(x)

                              y'''3

                              y'''4

                              W(y1, y2, y3, y4)

                              y1

                              y3

                              y4

                              y1

                              y3

                              y'1

                              y'3

                              y'4

                              y'1

                              y'3

                              u'2=

                              ƒ (x)

                              y''1

                              y''3

                              y''4

                              y''1

                              y''3

                              W(y1, y2, y3, y4)

                              • Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

                              u1=

                              ƒ (x)

                              [y1y'3y''4 + y3y'4y''1 + y4y'1y''3 − y''1y'3y4 − y''3y'4y1 - y''4y'1y3 ] dx

                              W(y1, y2, y3, y4)

                              • Calculo de u3:

                              • +

                                -

                                +

                                -

                                y1

                                y2

                                +

                                0

                                y4

                                y'1

                                y'2

                                -

                                0

                                y'4

                                y''1

                                y''2

                                +

                                0

                                y''4

                                u'3=

                                y'''1

                                y'''2

                                -

                                ƒ(x)

                                y'''4

                                W(y1, y2, y3, y4)

                                y1

                                y2

                                y4

                                y1

                                y2

                                y'1

                                y'2

                                y'4

                                y'1

                                y'2

                                u'3=

                                - ƒ (x)

                                y''1

                                y''2

                                y''4

                                y''1

                                y''2

                                W(y1, y2, y3, y4)

                                • Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

                                u3=

                                ƒ (x)

                                [y1y'2y''4 + y2y'4y''1 + y4y'1y''2 − y''1y'2y4 − y''2y'4y1 - y''4y'1y2 ] dx

                                W(y1, y2, y3, y4)

                                • Calculo de u4:

                                • +

                                  -

                                  +

                                  -

                                  y1

                                  y2

                                  y3

                                  0

                                  -

                                  y'1

                                  y'2

                                  y'3

                                  0

                                  +

                                  y''1

                                  y''2

                                  y''3

                                  0

                                  -

                                  u'1=

                                  y'''1

                                  y'''2

                                  y'''3

                                  ƒ(x)

                                  +

                                  W(y1, y2, y3, y4)

                                  y1

                                  y2

                                  y3

                                  y1

                                  y2

                                  y'1

                                  y'2

                                  y'3

                                  y'1

                                  y'2

                                  u'1=

                                  ƒ (x)

                                  y''1

                                  y''2

                                  y''3

                                  y''1

                                  y''2

                                  W(y1, y2, y3, y4)

                                  • Realizamos las operaciones, separamos diferenciales e integramos ambas partes ∴tenemos:

                                  u1=

                                  ƒ (x)

                                  [y1y'2y''3 + y2y'3y''1 + y3y'1y''2 − y''1y'2y3 − y''2y'3y1 - y''3y'1y2 ] dx

                                  W(y1, y2, y3, y4)

                                  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales No Homogeneas con Coeficientes Constentes. . .

                                  • Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

                                  • Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.

                                  • Diagonales Azules (+)

                                  • Diagonales Rojas (−)

                                  • Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

                                  • Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.

                                  • Diagonales Azules (+)

                                  • Diagonales Rojas (−)

                                  • Fijamos la columna donde se ubiquen más ceros, y vamos cancelando renglones.

                                  • Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.

                                  • Diagonales Azules (+)

                                  • Diagonales Rojas (−)

                                  • Para poder obtener solución, le aumentamos a la matriz los 2 primeros renglones a la derecha.

                                  • Diagonales Azules (+)

                                  • Diagonales Rojas (−)

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