Ecuaciones diferenciales de Orden uno

Técnicas de Integración. Bernoulli. Ecuaciones homogéneas. Ricatti. Lagrange. Clairaut. Cálculo de Trayectorias. Trayectorias ortogonales, oblicuas

  • Enviado por: Pepelu
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN UNO

1. INTRODUCCIÓN:

Supongamos una ecuación de la forma:

'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

tal que es derivable veces, es decir, existen:

'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

Entonces a toda ecuación implícita del tipo:

'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

Se le llama ECUACIÓN DIFERENCIAL. En esta asignatura tratamos de encontrar la función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
que verifica la ecuación diferencial.

2. CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Dada una ecuación diferencial, definimos su ORDEN como la mayor derivada de la ecuación, y su grado como el máximo grado de la ecuación.

DEFINICIÓN: Como al derivar las constantes desaparecen, nos encontraremos a menudo conque existen infinidad de ecuaciones que verifican una ecuación diferencial, difiriendo entre ellas en una solo constante. A ese conjunto genérico de funciones, que forman una familia de curvas, se le llama SOLUCIÓN GENERAL o INTEGRAL GENERAL de la ecuación diferencial. Si me dan unas ciertas condiciones iniciales, es posible quedarse únicamente con una de ellas, la que verifica dichas condiciones, y a la que se le llama SOLUCIÓN PARTICULAR o INTEGRAL PARTICULAR de la ecuación diferencial. Asimismo, es posible que existan funciones que, sin pertenecer a la familia de curvas, sean solución de la ecuación diferencial. A estas curvas se les llama SOLUCIÓN SINGULAR de la ecuación diferencial. Dichas curvas son las envolventes de la solución general.

OBSERVACIÓN: Cabe preguntarse, dada una ecuación diferencial, si siempre existirá solución para ella, y si en caso de existir, será única. Hay un teorema, cuya demostración y enunciación precisas no entran en la materia de este curso, que así nos lo certifica, dadas las siguientes premisas:

  • Si 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    es continua en un rectángulo de centro 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , de dimensiones 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , y abierto, entonces, la ecuación tiene solución.

  • Si además, se verifica que la parcial de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    con respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    es continua en un punto del rectángulo anterior, y las condiciones iniciales pertenecen al rectángulo, entonces la solución particular en dicho punto es única.

  • OBSERVACIÓN: Si la ecuación es lineal, es decir, el orden es 1, entonces la primera condición es suficiente para asegurar la unicidad.

    CÁLCULO: La ecuación diferencial de una familia de curvas se obtiene derivando la expresión de la familia tantas veces como parámetros tenga. Mediante las ecuaciones así obtenidas se eliminan los parámetros de la ecuación, consiguiendo así la ecuación diferencial.

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    ESQUEMA: La resolución de los problemas de ecuaciones diferenciales se puede resumir un esquema como el de la derecha:

  • Derivar respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y eliminar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Resolver la ecuación integrando.

  • Derivar respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y eliminar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Derivar respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y eliminar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • SOLUCIÓN: La solución de la ecuación diferencial puede quedar de tres formas distintas, entre las cuales no siempre se puede cambiar.

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Explícita

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Paramétrica

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Implícita

    EJEMPLO:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Sea la familia de curvas consistente en todas las circunferencias de radio 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    unidades con centro en el eje 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Que es la expresión diferencial de la familia de curvas, pues cualquier curva de la familia la verifica. Además, existen dos soluciones singulares, que también verifica la ecuación diferencial y son las rectas 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    .

    3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES:

    OBSERVACIÓN: En este apartado trabajaremos con 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales de variables separables:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Integrando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales homogéneas:

  • Son aquellas en las que todos los sumandos tiene el mismo grado. Un ejemplo sería:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Asimismo, se dice que una ecuación 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    es homogénea si al hacer el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Queda 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . En tal caso la ecuación es homogénea de grado 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Para resolverlas se separa en dos sumandos, de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Dividiendo arriba y abajo por 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , obtenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Haciendo el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Nos queda reducida a variables separadas:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Resolviendo y deshaciendo el cambio obtenemos la solución.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Homogénea de grado 1

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Haciendo el cambio:'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Integrando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Deshaciendo el cambio

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales transformables a homogéneas:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    El término de arriba y el de abajo son dos rectas. En función de su posición relativa los métodos cambian:

  • Se cortan en 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • Se tiene que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Se hace el cambio:

    Y obtenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Con lo que conseguimos una ecuación homogénea de grado 1.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Resolviendo el sistema:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Haciendo el cambio de variable:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sustituimos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Con lo que obtenemos una ecuación homogénea de orden 1.

  • Son paralelas:

  • Se tiene que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Se hace el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Y obtenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Con lo que obtenemos una ecuación de variables separables.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Haciendo el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sustituyendo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Son coincidentes:

  • Se tiene que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales lineales:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    o bien:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    En este tipo de ecuaciones hay que tener en cuenta dos cosas:

  • La ecuación homogénea:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    que es de variables separadas:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • La ecuación general:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    El fundamento de este método es el siguiente:

    Tomamos la solución de la ecuación homogénea y la multiplicamos por una función genérica:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos la expresión:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Forzamos a que sea solución de la homogénea:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sacando factor común:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Integrando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Obtenemos así una solución particular de la ecuación general:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Y buscamos ahora la solución general:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego la solución es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales de Bernoulli:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Para resolverlas se transforman en lineales mediante el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Donde hay que calcular 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    para que sea lineal

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Interesa que 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Dividiendo entre 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Que es lineal y se calcula por los métodos ya explicados.

  • Ec. Diferenciales de Ricatti:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Este tipo de ecuaciones diferenciales solo se pueden resolver si se conoce alguna solución particular 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Si se conoce dicha solución, entonces se hace el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sustituyendo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Simplificando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Se ha transformado en una ecuación de Bernoulli. Como el cambio de Ricatti a Bernoulli y de Bernoulli a lineal es automático, podemos hacer directamente el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Salta a la vista que una solución particular es 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Haciendo el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sustituyendo nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Deshaciendo el cambio y despejando 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    .

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales de 1er orden implícitas:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    No pudiéndose despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Solo se pueden resolver si es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    o 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    .

  • Se puede despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • En tal caso tenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    La resolución se efectúa por el llamado método paramétrico:

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    y derivamos respecto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Es decir:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Resolviendo dicha ecuación diferencial obtendremos una solución del tipo

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Si es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , entonces la solución del problema es fácil, pues 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Si no es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , la solución se deja en forma paramétrica, con una ecuación implícita y una explícita.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos respecto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Existe un caso particular de este tipo de ecuaciones, que son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    En tal caso basta hacer el cambio ya explicado, y la ecuación se convierte en variables separadas:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos con respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Por tanto:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    No es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , luego la solución dada es paramétrica.

  • Se puede despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • En tal caso tenemos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Para resolverlos hacemos:

    Realizamos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    y derivamos respecto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Despejando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Al igual que antes obtendremos una solución del tipo 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Si es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , entonces la solución del problema es fácil, pues 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Si no es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , la solución se deja en forma paramétrica, con una ecuación implícita y una explícita.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos respecto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Intercambiando las variables:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Es de tipo Bernoulli. Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Es de tipo lineal. Usamos la formula:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Deshacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    No es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , luego lo dejamos en función de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Aquí también existe un caso particular, en el que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    En tal caso basta hacer:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivando respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Quedando la solución en forma paramétrica, por norma general.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos con respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    No es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , con lo que la solución queda como:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales de Lagrange:

  • Son de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    con dependencia lineal en 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , es decir:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Para resolverla hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivando con respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Operando:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Que es lineal, con función desconocida 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y variable independiente 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Se resuelve u nos queda una función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , y sustituyendo 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    en la ecuación original nos queda la solución en forma paramétrica:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Se observa que puede ocurrir que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Si ello ocurre 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    sería una constante, y habría que tener en cuenta solamente aquellos valores de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    ('Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    ,...,'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    ,...) que sean raíces del polinomio 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , que nos darían las soluciones particulares 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    .

    También puede ocurrir que el denominador 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    sea idénticamente nulo, situación que nos lleva a la ecuación de Clairaut, que estudiaremos a continuación.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos el cambio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Operamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    La resolvemos mediante la formula de la lineal:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Con lo que nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Como 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    no es idénticamente nulo no hace falta ir a Clairaut. Sin embargo, hay que tener en cuenta las raíces del polinomio:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sustituyendo tenemos dos soluciones particulares, que son rectas:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Ec. Diferenciales de Clairaut:

  • En ellas se verifica:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivando con respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Es decir:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Aquí hay dos posibles soluciones:

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Solución general

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Solución paramétrica singular

  • Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Hacemos 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos respecto a 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Si 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , entonces 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , que es la solución general.

    Si'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    entonces 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , que es la solución paramétrica singular.

  • Ec. Diferenciales Exactas:

  • Sea una ecuación diferencial de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Nos interesa hallar una función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    tal que se cumpla que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ya que dicha función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    es solución de la ecuación diferencial. Para ello nos aprovecharemos de que el Teorema de Schwarz nos asegura que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Por ello:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego si la ecuación verifica que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Entonces se puede asegurar que existirá dicha función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Para encontrarla haremos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    y como:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    En donde el único término desconocido es 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . Por tanto podemos identificar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y determinar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    La función es una función potencial, con una constante arbitraria. Al ponerla como solución de la ecuación diferencial adoptaremos la constante como nula.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Es una ecuación diferencial exacta. Vamos a hallar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego la solución de la ecuación diferencial es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • Factor integrante:

  • Sea una ecuación diferencial de la forma:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    tal que no sea diferencial exacta, es decir:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Entonces existe un teorema matemático que nos asegura la existencia de una función 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    tal que se verifique que :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Sea diferencial exacta. La dificultad reside en el cálculo de dicha función, llamada factor integrante. Dicha función ha de verificar que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    A menudo es imposible resolver dicha ecuación diferencial, debido a su complejidad. Sin embargo, si conocemos el argumento de la ecuación es más fácil. Distinguiremos cinco casos:

  • De la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • En tal caso se verifica que:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Pero esto será cierto si la expresión resultante solo depende de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • De la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • De la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • De la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

  • De la forma 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

  • 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    No es diferencial exacta.

    Supongamos 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    :

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Nos queda:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Si es diferencial exacta

    4. CÁLCULO DE TRAYECTORIAS:

    4.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortan perpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.

    Para ello partimos de la ecuación diferencial:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    nos da una relación entre las coordenadas de un punto y la tangente en dicho punto de la curva solución. Supongamos que es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    . En tal caso:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Y por tanto la ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    En el caso de partir de la solución general, se debe derivar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    respecto de 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y eliminar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    entre ambas ecuaciones.

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Operamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Luego la trayectoria ortogonal es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Si dibujamos en azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

    Hay que recordar que si no es posible despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    siempre podemos cambiar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    por 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    e intentar despejar 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    4.2. TRAYECTORIAS OBLICUAS:

    También puede suceder que lo que nos interese sea hallar la familia de curvas que cortan a una dada con un determinado ángulo. En tal caso hay que recurrir a la formula de suma de tangentes:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Si 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    entonces el proceso para resolver el problema es:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Ejemplo:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Derivamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Operamos:

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    Que es homogénea.

    Si solo hay una variable independiente ('Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    ) la ecuación diferencial es ordinaria. Si no es así, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales.

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    es el grado de la ecuación.

    Llamado "Método de Variación de Constantes"

    La solución de la ecuación general es la suma de la solución de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación general

    Pues por ser 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    solución particular se verifica que: 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Pues siempre se verifica que 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    Los ejercicios correspondientes a este apartado se sitúan bajo el rótulo “General Paramétrico”

    Descartamos que 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , ya que eso haría: 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    , que no es solución.

    Por sencillez obviaremos el término 'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'
    y representaremos las derivadas respecto de una variable por la función subindicada con la variable.

    Solo estudiaremos el proceso de uno de los casos.

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'

    'Ecuaciones diferenciales de Orden uno'