Ecuaciones diferenciales de orden uno

Ecuación diferencial lineal. Familia de curvas. Derivación, integración. Solución explícita, implícita y paramétrica. Homogéneas. Bernoulli. Ricatti

  • Enviado por: Jose Pepelu
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 19 páginas
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN UNO

INTRODUCCIÓN:

Supongamos una ecuación de la forma:

Ecuaciones diferenciales de orden uno

tal que es derivable Ecuaciones diferenciales de orden uno
veces, es decir, existen:

Ecuaciones diferenciales de orden uno

Entonces a toda ecuación implícita del tipo:

Ecuaciones diferenciales de orden uno

Se le llama ECUACIÓN DIFERENCIAL. En esta asignatura tratamos de encontrar la función Ecuaciones diferenciales de orden uno
que verifica la ecuación diferencial.

CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Dada una ecuación diferencial, definimos su ORDEN como la mayor derivada de la ecuación, y su grado como el máximo grado de la ecuación.

DEFINICIÓN: Como al derivar las constantes desaparecen, nos encontraremos a menudo conque existen infinidad de ecuaciones que verifican una ecuación diferencial, difiriendo entre ellas en una solo constante. A ese conjunto genérico de funciones, que forman una familia de curvas, se le llama SOLUCIÓN GENERAL o INTEGRAL GENERAL de la ecuación diferencial. Si me dan unas ciertas condiciones iniciales, es posible quedarse únicamente con una de ellas, la que verifica dichas condiciones, y a la que se le llama SOLUCIÓN PARTICULAR o INTEGRAL PARTICULAR de la ecuación diferencial. Asimismo, es posible que existan funciones que, sin pertenecer a la familia de curvas, sean solución de la ecuación diferencial. A estas curvas se les llama SOLUCIÓN SINGULAR de la ecuación diferencial. Dichas curvas son las envolventes de la solución general.

OBSERVACIÓN: Cabe preguntarse, dada una ecuación diferencial, si siempre existirá solución para ella, y si en caso de existir, será única. Hay un teorema, cuya demostración y enunciación precisas no entran en la materia de este curso, que así nos lo certifica, dadas las siguientes premisas:

  • Si Ecuaciones diferenciales de orden uno
    es continua en un rectángulo de centro Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , de dimensiones Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , y abierto, entonces, la ecuación tiene solución.

  • Si además, se verifica que la parcial de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    con respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    es continua en un punto del rectángulo anterior, y las condiciones iniciales pertenecen al rectángulo, entonces la solución particular en dicho punto es única.

  • OBSERVACIÓN: Si la ecuación es lineal, es decir, el orden es 1, entonces la primera condición es suficiente para asegurar la unicidad.

    CÁLCULO: La diferencial de una familia de curvas se obtiene derivando la expresión derivando la expresión de la familia tantas veces como parámetros tenga. Mediante las ecuaciones así obtenidas se eliminan los parámetros de la ecuación, consiguiendo así la ecuación diferencial.

    ESQUEMA: La resolución de los problemas de ecuaciones diferenciales se puede resumir un esquema como el de la derecha:

  • Derivar respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y eliminar Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Resolver la ecuación integrando.

  • Derivar respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y eliminar Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Derivar respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y eliminar Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • EJEMPLO:

    Sea la familia de curvas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Consistente en todas las circunferencias de radio Ecuaciones diferenciales de orden uno
    unidades con centro en el eje Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Resolviendo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Que es la expresión diferencial de la familia de curvas, pues cualquier curva de la familia la verifica. Además, existen dos soluciones singulares, que también verifica la ecuación diferencial y son las rectas Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , Ecuaciones diferenciales de orden uno
    .

    TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES:

    OBSERVACIÓN: En este apartado trabajaremos con Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales de variables separables:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Integrando por cuadraturas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es la solución general, dada en forma paramétrica.

  • Ec. Diferenciales homogéneas:

  • Son aquellas en las que todos los sumandos tiene el mismo grado. Un ejemplo sería:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Asimismo, se dice que una ecuación Ecuaciones diferenciales de orden uno
    es homogénea si al hacer el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Queda Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . En tal caso la ecuación es homogénea de grado Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Para resolverlas se separa en dos sumandos, de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Dividiendo arriba y abajo por Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , obtenemos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Haciendo el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Nos queda reducida a variables separadas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Resolviendo y deshaciendo el cambio obtenemos la solución.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Homogénea de grado 1

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Haciendo el cambio:Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Integrando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Deshaciendo el cambio

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales transformables a homogéneas:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    El término de arriba y el de abajo son dos rectas. En función de su posición relativa los métodos cambian:

  • Se cortan en Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • Se tiene que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Se hace el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Y obtenemos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Con lo que conseguimos una ecuación homogénea de grado 1.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Resolviendo el sistema:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Haciendo el cambio de variable:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sustituimos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Con lo que obtenemos una ecuación homogénea de orden 1.

  • Son paralelas:

  • Se tiene que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Se hace el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Y obtenemos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Con lo que obtenemos una ecuación de variables separables.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Haciendo el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sustituyendo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Son coincidentes:

  • Se tiene que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales lineales:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    o bien:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    En este tipo de ecuaciones hay que tener en cuenta dos cosas:

  • La ecuación homogénea:

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

    que es de variables separadas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • La ecuación general:

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    El fundamento de este método es el siguiente:

    Tomamos la solución de la ecuación homogénea y la multiplicamos por una función genérica:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos la expresión:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Forzamos a que sea solución de la homogénea:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sacando factor común:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Integrando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Obtenemos así una solución particular de la ecuación general:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Y buscamos ahora la solución general:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego la solución es:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales de Bernoulli:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Para resolverlas se transforman en lineales mediante el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Donde hay que calcular Ecuaciones diferenciales de orden uno
    para que sea lineal

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Interesa que Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Dividiendo entre Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Que es lineal y se calcula por los métodos ya explicados.

  • Ec. Diferenciales de Ricatti:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Este tipo de ecuaciones diferenciales solo se pueden resolver si se conoce alguna solución particular Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Si se conoce dicha solución, entonces se hace el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sustituyendo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Simplificando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Se ha transformado en una ecuación de Bernoulli. Como el cambio de Ricatti a Bernoulli y de Bernoulli a lineal es automático, podemos hacer directamente el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Salta a la vista que una solución particular es Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Haciendo el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sustituyendo nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Deshaciendo el cambio y despejando Ecuaciones diferenciales de orden uno
    .

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales de 1er orden implícitas:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    No pudiéndose despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Solo se pueden resolver si es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    o Ecuaciones diferenciales de orden uno
    .

  • Se puede despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • En tal caso tenemos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    La resolución se efectúa por el llamado método paramétrico:

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    y derivamos respecto de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es decir:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Resolviendo dicha ecuación diferencial obtendremos una solución del tipo

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , entonces la solución del problema es fácil, pues Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Si no es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , la solución se deja en forma paramétrica, con una ecuación implícita y una explícita.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos respecto de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Existe un caso particular de este tipo de ecuaciones, que son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    En tal caso basta hacer el cambio ya explicado, y la ecuación se convierte en variables separadas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos con respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Por tanto:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    No es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , luego la solución dada es paramétrica.

  • Se puede despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • En tal caso tenemos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Para resolverlos hacemos:

    Realizamos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    y derivamos respecto de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Despejando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Al igual que antes obtendremos una solución del tipo Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , entonces la solución del problema es fácil, pues Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Si no es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , la solución se deja en forma paramétrica, con una ecuación implícita y una explícita.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos respecto de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Intercambiando las variables:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es de tipo Bernoulli. Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es de tipo lineal. Usamos la formula:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Deshacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    No es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , luego lo dejamos en función de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Aquí también existe un caso particular, en el que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    En tal caso basta hacer:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivando respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Quedando la solución en forma paramétrica, por norma general.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos con respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    No es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , con lo que la solución queda como:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales de Lagrange:

  • Son de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    con dependencia lineal en Ecuaciones diferenciales de orden uno

    es decir:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Para resolverla hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivando con respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Operando:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Que es lineal, con función desconocida Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y variable independiente Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Se resuelve u nos queda una función Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , y sustituyendo Ecuaciones diferenciales de orden uno
    en la ecuación original nos queda la solución en forma paramétrica:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Se observa que puede ocurrir que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si ello ocurre Ecuaciones diferenciales de orden uno
    sería una constante, y habría que tener en cuenta solamente aquellos valores de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    (Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , Ecuaciones diferenciales de orden uno
    ,...,Ecuaciones diferenciales de orden uno
    ,...) que sean raíces del polinomio Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , que nos darían las soluciones particulares Ecuaciones diferenciales de orden uno
    .

    También puede ocurrir que el denominador Ecuaciones diferenciales de orden uno
    sea idénticamente nulo, situación que nos lleva a la ecuación de Clairaut, que estudiaremos a continuación.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos el cambio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Operamos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    La resolvemos mediante la formula de la lineal:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Con lo que nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Como Ecuaciones diferenciales de orden uno
    no es idénticamente nulo no hace falta ir a Clairaut. Sin embargo, hay que tener en cuenta las raíces del polinomio:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sustituyendo tenemos dos soluciones particulares, que son rectas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Ec. Diferenciales de Clairaut:

  • En ellas se verifica:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivando con respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es decir:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Aquí hay dos posibles soluciones:

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Solución general

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Solución paramétrica singular

  • Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Hacemos Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos respecto a Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , entonces Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , que es la solución general.

    SiEcuaciones diferenciales de orden uno
    entonces Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , que es la solución paramétrica singular.

  • Ec. Diferenciales Exactas:

  • Sea una ecuación diferencial de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Nos interesa hallar una función Ecuaciones diferenciales de orden uno
    tal que se cumpla que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ya que dicha función Ecuaciones diferenciales de orden uno
    es solución de la ecuación diferencial. Para ello nos aprovecharemos de que el Teorema de Schwarz nos asegura que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Por ello:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego si la ecuación verifica que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Entonces se puede asegurar que existirá dicha función Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Para encontrarla haremos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    y como:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    En donde el único término desconocido es Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . Por tanto podemos identificar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y determinar Ecuaciones diferenciales de orden uno

    La función es una función potencial, con una constante arbitraria. Al ponerla como solución de la ecuación diferencial adoptaremos la constante como nula.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Es una ecuación diferencial exacta. Vamos a hallar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego la solución de la ecuación diferencial es:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • Factor integrante:

  • Sea una ecuación diferencial de la forma:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    tal que no sea diferencial exacta, es decir:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Entonces existe un teorema matemático que nos asegura la existencia de una función Ecuaciones diferenciales de orden uno
    tal que se verifique que :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Sea diferencial exacta. La dificultad reside en el cálculo de dicha función, llamada factor integrante.

    Dicha función ha de verificar que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    A menudo es imposible resolver dicha ecuación diferencial, debido a su complejidad. Sin embargo, si conocemos el argumento de la ecuación es más fácil. Distinguiremos cinco casos:

  • De la forma Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • En tal caso se verifica que:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Pero esto será cierto si la expresión resultante solo depende de Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • De la forma Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • De la forma Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • De la forma Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

  • De la forma Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

  • Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    No es diferencial exacta.

    Supongamos Ecuaciones diferenciales de orden uno
    :

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Nos queda:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Si es diferencial exacta

    CÁLCULO DE TRAYECTORIAS:

    TRAYECTORIAS ORTOGONALES:

    Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortan perpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.

    Para ello partimos de la ecuación diferencial:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    nos da una relación entre las coordenadas de un punto y la tangente en dicho punto de la curva solución.

    Supongamos que es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    . En tal caso:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Y por tanto la ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales es:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    En el caso de partir de la solución general, se debe derivar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    respecto de Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y eliminar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    entre ambas ecuaciones.

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Operamos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Luego la trayectoria ortogonal es:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si dibujamos en azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

    Hay que recordar que si no es posible despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    siempre podemos cambiar Ecuaciones diferenciales de orden uno
    por Ecuaciones diferenciales de orden uno
    e intentar despejar Ecuaciones diferenciales de orden uno

    TRAYECTORIAS OBLICUAS:

    También puede suceder que lo que nos interese sea hallar la familia de curvas que cortan a una dada con un determinado ángulo. En tal caso hay que recurrir a la formula de suma de tangentes:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Si Ecuaciones diferenciales de orden uno
    entonces el proceso para resolver el problema es:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ejemplo:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Derivamos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Operamos:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Que es homogénea.

    Si solo hay una variable independiente (Ecuaciones diferenciales de orden uno
    ) la ecuación diferencial es ordinaria. Si no es así, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales.

    Hay que tener en cuenta que las soluciones pueden venir dada en tres formas distintas:

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Explícita

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Paramétrica

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Implícita

    Ecuaciones diferenciales de orden uno
    es el grado de la ecuación.

    Llamado "Método de Variación de Constantes"

    La solución de la ecuación general es la suma de la solución de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación general

    Pues por ser Ecuaciones diferenciales de orden uno
    solución particular se verifica que: Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Pues siempre se verifica que Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Los ejercicios correspondientes a este apartado se sitúan bajo el rótulo “General Paramétrico”

    Descartamos que Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , ya que eso haría: Ecuaciones diferenciales de orden uno
    , que no es solución.

    Por sencillez obviaremos el término Ecuaciones diferenciales de orden uno
    y representaremos las derivadas respecto de una variable por la función subindicada con la variable.

    Solo estudiaremos el proceso de uno de los casos.

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    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno

    Ecuaciones diferenciales de orden uno