Determinante

Álgebra. Aplicaciones lineales. Cálculo matricial. Geometría analítica. Evalunación. Aplicaciones

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DETERMINANTE

Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, por separado, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales.


El símbolo Determinante
es un determinante de segundo orden, pues es una tabla con dos filas y dos columnas; su valor es, por definición, a11a22 - a12a21. Un determinante de orden n-ésimo es una tabla cuadrada con n filas y n columnas como se muestra en la figura:

Determinante

El adjunto menor, Mij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el determinante formado por los elementos restantes al eliminar la fila i y la columna j en las que aparece el elemento aij. El cofactor, Aij, de un elemento aij es igual a (-1)i+jMij.

EVALUNACION DE UN DETERMINANTE

El valor de un determinante se puede expresar usando los elementos de una fila (o columna) y sus respectivos cofactores; la suma de estos productos es el valor del determinante. Formalmente, esto se expresa como

Determinante

si el desarrollo se hace en función de la fila i, o

Determinante

si se hace en función de la columna j. De esta manera, para calcular el valor de un determinante de tercer orden utilizando los elementos de la primera columna

Determinante

Estos términos se evalúan a su vez utilizando la definición dada anteriormente para el determinante de segundo orden.


Para determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para los determinantes formados por los adjuntos menores, hasta llegar a determinantes que puedan desarrollarse fácilmente.

Este método de cálculo del valor de un determinante puede ser bastante laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes para reducir la cantidad de cálculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos las siguientes:

1) Un determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila (o columna) son idénticos, o proporcionales, a los elementos de otra fila (o columna).


2) Si todos los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un factor dado, el determinante queda multiplicado por dicho factor.

3) El valor de un determinante no se altera si se añade a cada elemento de una fila (o columna) el elemento correspondiente de otra fila (o columna) multiplicado por un factor constante.

APLICACIONES

Una aplicación de los determinantes en la geometría analítica se muestra en el siguiente ejemplo: Si P1(x1, y1), P2(x2, y2), y P3(x3, y3) son tres puntos distintos en un plano de coordenadas cartesianas, el área A del triángulo P1P2P3, ignorando el signo algebraico, está dada por

Determinante

Si los tres puntos son colineales, el valor del determinante es cero.

Los determinantes se utilizan también para resolver sistemas de ecuaciones de la siguiente manera. Las n ecuaciones a resolver se representan algebraicamente como

Determinante

Se construye un determinante, Ä, utilizando estos coeficientes, y siendo Äk el determinante que se obtiene al eliminar la columna k y sustituirla por la columna de las constantes b1, b2, ... bn. Si Ä " 0 las ecuaciones son consistentes y es posible encontrar una solución. Ésta está dada por

Determinante

Si Ä = 0, es necesario investigar las razones para averiguar el número y la naturaleza de las soluciones.


Este es un ejemplo numérico. Dados:2x1 + 3x2 + 4x3 = 6, x1 + x2 + x3 = 3 y x1 - x2 + x3 = -1, entonces tenemos que x1 = Ä1 / Ä = 2. Si construimos Ä 2 y Ä3 el resultado es x2 = 2 y x3 = -1.

Bibliografia

  • "Determinante." Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

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