Conjuntos y aplicaciones

Matemáticas. Conceptos básicos. Correspondencias. Aplicaciones. Relaciones de Equivalencia. Descripción canónica de una aplicación. Álgebra de Boole. Relaciones de orden

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CONJUNTOS Y APLICACIONES

• CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos.

DEFINICIÓN: Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
y 'Conjuntos y aplicaciones'
dos conjuntos, entonces se dice que 'Conjuntos y aplicaciones'
es un subconjunto de 'Conjuntos y aplicaciones'
, y se escribe “'Conjuntos y aplicaciones'
”, si para todo elemento de 'Conjuntos y aplicaciones'
se tiene que dicho elemento pertenece a 'Conjuntos y aplicaciones'
. Matematicamente :

'Conjuntos y aplicaciones'

OBSERVACIÓN: Si 'Conjuntos y aplicaciones'
, 'Conjuntos y aplicaciones'
y 'Conjuntos y aplicaciones'
son conjuntos y 'Conjuntos y aplicaciones'
, 'Conjuntos y aplicaciones'
; entonces se verifica que 'Conjuntos y aplicaciones'

DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos 'Conjuntos y aplicaciones'
y 'Conjuntos y aplicaciones'
son iguales si 'Conjuntos y aplicaciones'
y 'Conjuntos y aplicaciones'
.

OBSERVACIÓN: Si 'Conjuntos y aplicaciones'
esta incluido en 'Conjuntos y aplicaciones'
, pero no es igual a 'Conjuntos y aplicaciones'
, lo escribiremos 'Conjuntos y aplicaciones'

DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
un conjunto y 'Conjuntos y aplicaciones'
. Se define el complementario 'Conjuntos y aplicaciones'
en 'Conjuntos y aplicaciones'
, y lo representaremos como 'Conjuntos y aplicaciones'
al conjunto : 'Conjuntos y aplicaciones'

OBSERVACIÓN: 'Conjuntos y aplicaciones'

DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de 'Conjuntos y aplicaciones'
en 'Conjuntos y aplicaciones'
, don de 'Conjuntos y aplicaciones'
es un conjunto. Se representa por : 'Conjuntos y aplicaciones'

OBSERVACIÓN:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es un subconjunto de cualquier conjunto 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es único. Es el mismo para todo conjunto

  • DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de 'Conjuntos y aplicaciones'
    , es representa por : 'Conjuntos y aplicaciones'
    , como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Hay como mínimo dos, 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'

    OBSERVACIÓN:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es el número de elementos de 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es la cantidad de algo.

  • DEFINICIÓN: Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    dos conjuntos. Se define

  • El producto cartesiano de 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y se representa como 'Conjuntos y aplicaciones'
    , al conjunto : 'Conjuntos y aplicaciones'

  • La intersección de 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , que se representa como 'Conjuntos y aplicaciones'
    , al conjunto 'Conjuntos y aplicaciones'

  • La unión de 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , que se escribe como 'Conjuntos y aplicaciones'
    , al conjunto: 'Conjuntos y aplicaciones'

  • OBSERVACIÓN:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • PROPIEDADES: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    subconjuntos de 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Se verifica que:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • • CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES:

    DEFINICIÓN: Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    dos conjuntos, entonces se dice que 'Conjuntos y aplicaciones'
    es un grafo de 'Conjuntos y aplicaciones'
    en 'Conjuntos y aplicaciones'
    si 'Conjuntos y aplicaciones'
    está incluido en 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y si 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Se dice entonces que 'Conjuntos y aplicaciones'
    es una correspondencia de 'Conjuntos y aplicaciones'
    en 'Conjuntos y aplicaciones'
    , siendo 'Conjuntos y aplicaciones'
    el “conjunto de salida” y 'Conjuntos y aplicaciones'
    el “conjunto de llegada” Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Nos indica como se relacionan los conjuntos 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    mediante la correspondencia.

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    una correspondencia. Se llama conjunto de definición de 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y se representa por 'Conjuntos y aplicaciones'
    , al conjunto 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Si además 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , entonces:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    EJEMPLO:

    'Conjuntos y aplicaciones'
    'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto; entonces una relación binaria en 'Conjuntos y aplicaciones'
    es una correspondencia de 'Conjuntos y aplicaciones'
    en 'Conjuntos y aplicaciones'

    OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria 'Conjuntos y aplicaciones'
    , entonces se escribe: 'Conjuntos y aplicaciones'

    DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto 'Conjuntos y aplicaciones'
    en el conjunto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es una correspondencia 'Conjuntos y aplicaciones'

    OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    una aplicación; entonces se dice que:

  • Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Es suprayectiva si todo elemento de 'Conjuntos y aplicaciones'
    es imagen de uno de 'Conjuntos y aplicaciones'
    :

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez.

  • DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    una aplicación; entonces se define la función inversa de 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y se representada por 'Conjuntos y aplicaciones'
    , como la aplicación :

    'Conjuntos y aplicaciones'

    OBSERVACIÓN: Claramente 'Conjuntos y aplicaciones'
    pertenece a las funciones 'Conjuntos y aplicaciones'

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por 'Conjuntos y aplicaciones'
    , como la aplicación:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    TEOREMA(de la biyección): Si 'Conjuntos y aplicaciones'
    es biyectiva, existe una función 'Conjuntos y aplicaciones'
    tal que:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Es decir : 'Conjuntos y aplicaciones'

    Demostración:

    'Conjuntos y aplicaciones'
    biyectiva 'Conjuntos y aplicaciones'

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    biyectiva? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    inyectiva?, ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    suprayectiva?

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    inyectiva? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • Supongamos que 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Luego es inyectiva

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    suprayectiva? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

    EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva

    'Conjuntos y aplicaciones'

  • ¿Es inyectiva?

  • Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'

    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ? Falso, luego es inyectiva

  • ¿Es suprayectiva? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

    Luego es suprayectiva

    Por tanto es biyectiva

    • RELACIONES DE EQUIVALENCIA:

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto y 'Conjuntos y aplicaciones'
    una relación binaria tal que:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Entonces a 'Conjuntos y aplicaciones'
    se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y se representa por 'Conjuntos y aplicaciones'
    o 'Conjuntos y aplicaciones'
    al conjunto : 'Conjuntos y aplicaciones'

    Al elemento 'Conjuntos y aplicaciones'
    se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de 'Conjuntos y aplicaciones'
    ('Conjuntos y aplicaciones'
    ). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por 'Conjuntos y aplicaciones'
    ('Conjuntos y aplicaciones'
    modificado por la relación 'Conjuntos y aplicaciones'
    ), al conjunto de las clases de equivalencia

    EJEMPLO:

    Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    . ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    es relación de equivalencia?

  • Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    luego 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    luego 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    ; 'Conjuntos y aplicaciones'
    , luego:

    'Conjuntos y aplicaciones'
    luego 'Conjuntos y aplicaciones'

    Por cumplirse las tres condiciones, 'Conjuntos y aplicaciones'
    es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento 'Conjuntos y aplicaciones'
    , por coincidir con la del cero.

    A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Se suele escribir : 'Conjuntos y aplicaciones'

    En el caso particular de 'Conjuntos y aplicaciones'
    :

    'Conjuntos y aplicaciones'

    PROPOSICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    una relación de equivalencia en 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Entonces:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    , pues 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Si 'Conjuntos y aplicaciones'
    , entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    , pues si 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Si 'Conjuntos y aplicaciones'
    , entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    :

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'

    Luego 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Si 'Conjuntos y aplicaciones'
    , entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    :

  • Supongamos 'Conjuntos y aplicaciones'
    , lo que es falso

    DEFINICIÓN: Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    dos conjuntos, y 'Conjuntos y aplicaciones'
    una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA APLICACIÓN como la siguiente relación binaria:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto su conjunto cociente viene dado por:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    • DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN:

    TEOREMA: Sean dos conjuntos 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y una aplicación cualquiera 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones: 'Conjuntos y aplicaciones'

    Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:

    'Conjuntos y aplicaciones'
    Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es aplicación, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es suprayectiva:

    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es aplicación, pues 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es inyectiva:

    Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ? Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es suprayectiva:

    Sean 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es biyectiva

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    es claramente una aplicación inyectiva.

    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿ 'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Luego la descomposición canónica es valida.

    EJEMPLO:

    'Conjuntos y aplicaciones'
    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    • ALGEBRA DE BOOLE:

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(“ley de composición interna”) a toda aplicación de 'Conjuntos y aplicaciones'
    en 'Conjuntos y aplicaciones'

    DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna 'Conjuntos y aplicaciones'
    , donde 'Conjuntos y aplicaciones'
    y “'Conjuntos y aplicaciones'
    ” y “'Conjuntos y aplicaciones'
    ” son operaciones binarias en 'Conjuntos y aplicaciones'
    si se verifica:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Conmutatividad)

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Asociatividad)

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Distributividad)

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Idempotencia)

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    ('Conjuntos y aplicaciones'
    )

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    ('Conjuntos y aplicaciones'
    )

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    ('Conjuntos y aplicaciones'
    es el complementario de 'Conjuntos y aplicaciones'
    )

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Leyes de Morgan

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Involución)

  • • RELACIONES DE ORDEN:

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    una relación binaria en 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'

  • DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    una relación de preorden. Entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    OBSERVACIÓN:

  • Si 'Conjuntos y aplicaciones'
    es una relación de orden, se suele escribir 'Conjuntos y aplicaciones'
    o 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Al par 'Conjuntos y aplicaciones'
    se le llama conjunto ordenado.

  • DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    una relación de orden. Entonces 'Conjuntos y aplicaciones'
    se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:

    'Conjuntos y aplicaciones'

    En tal caso al par 'Conjuntos y aplicaciones'
    se la llama conjunto totalmente ordenado.

    Analogamente, si 'Conjuntos y aplicaciones'
    no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par 'Conjuntos y aplicaciones'
    se le llama conjunto parcialmente ordenado.

    EJEMPLO:

    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿Es 'Conjuntos y aplicaciones'
    de orden? ¿Es 'Conjuntos y aplicaciones'
    sde orden total?

    Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?. Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , luego 'Conjuntos y aplicaciones'

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    Luego 'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de preorden

    Comprobamos ahora si es de orden total

    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de orden

    Comprobamos ahora si es de orden total

    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'
    , 'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de orden parcial

    EJEMPLO:

    Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿Es 'Conjuntos y aplicaciones'
    de orden? ¿Es 'Conjuntos y aplicaciones'
    de orden total?

    Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?. Si, pues 'Conjuntos y aplicaciones'
    , y 'Conjuntos y aplicaciones'
    , luego 'Conjuntos y aplicaciones'

  • ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ? 'Conjuntos y aplicaciones'
    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    Luego 'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de preorden

    Comprobamos ahora si es de orden total

    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'
    Luego 'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de orden

    Comprobamos ahora si es de orden total

    ¿'Conjuntos y aplicaciones'
    ?

    'Conjuntos y aplicaciones'

    Por tanto 'Conjuntos y aplicaciones'
    es de orden total

    • ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO:

    DEFINICIÓN: Sea 'Conjuntos y aplicaciones'
    un conjunto ordenado, y 'Conjuntos y aplicaciones'
    . Entonces se dice que:

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es un máximo de 'Conjuntos y aplicaciones'
    si 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es un mínimo de 'Conjuntos y aplicaciones'
    si 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es una cota superior de 'Conjuntos y aplicaciones'
    si 'Conjuntos y aplicaciones'
    (Se dice que 'Conjuntos y aplicaciones'
    está acotado superiormente)

  • Análogo para cotas inferiores

  • El supremo de 'Conjuntos y aplicaciones'
    , si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Análogo para ínfimo.

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    es minimal de 'Conjuntos y aplicaciones'
    si 'Conjuntos y aplicaciones'
    y 'Conjuntos y aplicaciones'

  • Análogo para maximal.

  • OBSERVACIÓN:

  • Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo.

  • Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo y minimal.

  • 'Conjuntos y aplicaciones'
    significa que tan solo existe uno.

    Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m

    Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

    'Conjuntos y aplicaciones'

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