CONJUNTOS Y APLICACIONES
• CONCEPTOS BÁSICOS:
DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos.
DEFINICIÓN: Sean 
y 
dos conjuntos, entonces se dice que 
es un subconjunto de 
, y se escribe “
”, si para todo elemento de 
se tiene que dicho elemento pertenece a 
. Matematicamente :
OBSERVACIÓN: Si 
, 
y 
son conjuntos y 
, 
; entonces se verifica que 
DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos 
y 
son iguales si 
y 
.
OBSERVACIÓN: Si 
esta incluido en 
, pero no es igual a 
, lo escribiremos 
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto y 
. Se define el complementario 
en 
, y lo representaremos como 
al conjunto : 
OBSERVACIÓN: 
DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de 
en 
, don de 
es un conjunto. Se representa por : 
OBSERVACIÓN:
es un subconjunto de cualquier conjunto 
es único. Es el mismo para todo conjunto
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de 
, es representa por : 
, como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de 
. Hay como mínimo dos, 
y 
OBSERVACIÓN:
es el número de elementos de 
es la cantidad de algo.
DEFINICIÓN: Sean 
y 
dos conjuntos. Se define
El producto cartesiano de 
y 
, y se representa como 
, al conjunto : 
La intersección de 
y 
, que se representa como 
, al conjunto 
La unión de 
y 
, que se escribe como 
, al conjunto: 
OBSERVACIÓN:
PROPIEDADES: Sea 
un conjunto y 
, 
y 
subconjuntos de 
. Se verifica que:
• CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES:
DEFINICIÓN: Sean 
y 
dos conjuntos, entonces se dice que 
es un grafo de 
en 
si 
está incluido en 
, y si 
. Se dice entonces que 
es una correspondencia de 
en 
, siendo 
el “conjunto de salida” y 
el “conjunto de llegada” Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de 
. Nos indica como se relacionan los conjuntos 
y 
mediante la correspondencia.
DEFINICIÓN: Sea 
una correspondencia. Se llama conjunto de definición de 
, y se representa por 
, al conjunto 
. Si además 
y 
, entonces:
EJEMPLO:
, 
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto; entonces una relación binaria en 
es una correspondencia de 
en 
OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria 
, entonces se escribe: 
DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto 
en el conjunto 
es una correspondencia 
OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:
DEFINICIÓN: Sea 
una aplicación; entonces se dice que:
Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:
Es suprayectiva si todo elemento de 
es imagen de uno de 
:
Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez.
DEFINICIÓN: Sea 
una aplicación; entonces se define la función inversa de 
, y se representada por 
, como la aplicación :
OBSERVACIÓN: Claramente 
pertenece a las funciones 
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por 
, como la aplicación:
TEOREMA(de la biyección): Si 
es biyectiva, existe una función 
tal que:
Es decir : 
Demostración:
biyectiva 
¿
?
¿
?
¿
biyectiva? 
¿
inyectiva?, ¿
suprayectiva?
¿
inyectiva? 
¿ 
?
Supongamos que 
Luego es inyectiva
¿
suprayectiva? 
¿ 
?
EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva
¿Es inyectiva?
Sean 
, 
¿ 
? 
¿ 
? 
¿ 
? Falso, luego es inyectiva
¿Es suprayectiva? 
¿ 
?
Luego es suprayectiva
Por tanto es biyectiva
• RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto y 
una relación binaria tal que:
Entonces a 
se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento 
, y se representa por 
o 
al conjunto : 
Al elemento 
se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de 
(
). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por 
(
modificado por la relación 
), al conjunto de las clases de equivalencia
EJEMPLO:
Sean 
, 
, y 
. ¿ 
es relación de equivalencia?
Sea 
¿
?
Si, pues 
luego 
Sean 
¿
?
Si, pues 
luego 
Sean 
¿
?
Si, pues 
; 
, luego:
luego 
Por cumplirse las tres condiciones, 
es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:
Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento 
, por coincidir con la del cero.
A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo 
. Se suele escribir : 
En el caso particular de 
:
PROPOSICIÓN: Sea 
una relación de equivalencia en 
. Entonces:
, pues 
Si 
, entonces 
, pues si 
Si 
, entonces 
:
Sea 
Sea 
Luego 
Si 
, entonces 
:
Supongamos 
, lo que es falso
DEFINICIÓN: Sean 
y 
dos conjuntos, y 
una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA APLICACIÓN como la siguiente relación binaria:
Por tanto su conjunto cociente viene dado por:
• DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN:
TEOREMA: Sean dos conjuntos 
y 
, y una aplicación cualquiera 
. Entonces 
se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones: 
Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:
Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.
es aplicación, pues 
y 
es suprayectiva:
Sea 
¿ 
?
Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.
es aplicación, pues 
es inyectiva:
Sean 
¿ 
?
¿
? Si, pues 
es suprayectiva:
Sean 
¿ 
?
es biyectiva
es claramente una aplicación inyectiva.
Sea 
, 
¿ 
?
Luego la descomposición canónica es valida.
EJEMPLO:
Por tanto 
• ALGEBRA DE BOOLE:
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(“ley de composición interna”) a toda aplicación de 
en 
DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna 
, donde 
y “
” y “
” son operaciones binarias en 
si se verifica:
(Conmutatividad)
(Asociatividad)
(Distributividad)
(Idempotencia)
(
)
(
)
(
es el complementario de 
)
(Leyes de Morgan
(Involución)
• RELACIONES DE ORDEN:
DEFINICIÓN: Sea 
, y 
una relación binaria en 
. Entonces 
se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:
DEFINICIÓN: Sea 
, y 
una relación de preorden. Entonces 
se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que:
OBSERVACIÓN:
Si 
es una relación de orden, se suele escribir 
o 
Al par 
se le llama conjunto ordenado.
DEFINICIÓN: Sea 
, y 
una relación de orden. Entonces 
se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:
En tal caso al par 
se la llama conjunto totalmente ordenado.
Analogamente, si 
no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par 
se le llama conjunto parcialmente ordenado.
EJEMPLO:
Sea 
y 
¿Es 
de orden? ¿Es 
sde orden total?
Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:
¿
?. Si, pues 
, y 
, luego 
¿
? 
¿
?
Luego 
Por tanto 
es de preorden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Por tanto 
es de orden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
, 
, 
Por tanto 
es de orden parcial
EJEMPLO:
Sea 
y 
¿Es 
de orden? ¿Es 
de orden total?
Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:
¿
?. Si, pues 
, y 
, luego 
¿
? 
¿
?
Luego 
Por tanto 
es de preorden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Luego 
Por tanto 
es de orden
Comprobamos ahora si es de orden total
¿
?
Por tanto 
es de orden total
• ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO:
DEFINICIÓN: Sea 
un conjunto ordenado, y 
. Entonces se dice que:
es un máximo de 
si 
y 
es un mínimo de 
si 
y 
es una cota superior de 
si 
(Se dice que 
está acotado superiormente)
Análogo para cotas inferiores
El supremo de 
, si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de 
Análogo para ínfimo.
es minimal de 
si 
y 
Análogo para maximal.
OBSERVACIÓN:
Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo.
Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo y minimal.
significa que tan solo existe uno.
Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m
Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única
Conjuntos y aplicaciones
Conjuntos y aplicaciones
Conjuntos y aplicaciones
