Aportaciones de Gauss al Cálculo Integral

Análisis matemático diferencial. Distribución normal. Función densidad-distribución. Teorema Gauss. Flujo, divergencia, superficie. Biografía

  • Enviado por: Jasonmonk
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Carl Friedrich Gauss


 Cuando Gauss tenía diez años de edad, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.


Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años.


Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos dela geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible.


Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quién se demostró un tanto escéptico y le dijo que lo que sugería era imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendo negar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sin embargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su descubrimiento, 30 de Marzo de 1796, fue importante en la historia de las matemáticas. Posteriormente, Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás.


Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Las matemáticas no fueron el único tema que le interesó a este hombre; fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga.


A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números, comprendiendo las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una convergencia de una serie infinita.

Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos.


En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifiliar para medir el magnetismo y, con Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones por lo que toca a los sistemas de lentes.


A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales.

Gauss fue gran admirador de Arquímedes y Newton, a quienes citaba en sus trabajos llamándolos "illustrissimus"; junto con ellos, Gauss es considerado uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos: el Príncipe de las matemáticas.

Distribución normal

(Función densidad/ Función distribución)

Una de las mayores aportaciones al cálculo integral que realizó Gauss, fue la introducción de esta función, conocida más comúnmente como la Campana de Gauss.

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal

  • Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

  • Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.

  • Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

  • Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...

  • Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

  • Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media.

Aquí está la representación gráfica de la función Campana de Gauss:

Aportaciones de Gauss al Cálculo Integral

cuya notación matemática es: G(p) ="e-x2 dx, donde los límites de integración son 0 y p.

Teorema de Gauss

Otra de las contribuciones de Gauss al Cálculo integral fue su famoso teorema, que relacionaba las integrales de superficies con las triples. Su aplicación a la electrostática es la más conocida.

Aportaciones de Gauss al Cálculo Integral

Aportaciones de Gauss al Cálculo Integral

Fórmula de Gauss

En su estudio de la integración, Gauss desarrolló una fórmula matemática, conocida por nosotros como la fórmula de Gauss, que tiene la siguiente expresión:

"""vol u·divV dxdydz = "" V d - """vol grad(u)·V dxdydz

que dedujo a partir de la siguiente igualdad, derivada de las propiedades de los diferenciales:

div(u·V) = grad(u)·V + u divV

Esta fórmula tiene un gran importancia en el desarrollo del cálculo integral debido sobre todo a que su aplicación a una dimensión es la fórmula fundamental del método de integración por partes, tan utilizada como recurso elemental, que permite la simplificación de muchas integrales de cualquier tipo.

Bibliografía

  • Ana María Ugena Mártinez, “Cálculo integral mulivariable”, Servicio de publicaciones E.T.S.I. Telecomunicación, Madrid, 2001

  • Gran Enciclopedia Larousse, Editorial Planeta, Barcelona, 1987

En el desarrollo de este trabajo también se ha complementado la información con la ayuda de la documentación recogida en las siguientes páginas de internet:

Todas ellas con material relacionado con el área del Cálculo Integral.

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