Análisis matemático

MATEMÁTICO I

Recopilación del concepto de número.

• Los números naturales (N)

• Construcción a partir de N de los números enteros (Z)

• Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)

• Construcción a partir de Q de los números reales (R)

• Construcción a partir de R de los números complejos (C)

• Topología de R

• Sucesiones y series de números reales

Los números naturales N={0, 1, 2, 3, 4,.....}

Los suponemos bien conocidos. Sirven para contar y ordenar conjuntos finitos. En la función de contar está su origen.

Sea f la colección de todos los conjuntos finitos (con finitos elementos), podemos decir que A, B " f son equivalentes cuando se puede establecer una biyección (correspondencia uno a uno) entre ambos.

Esto es una relación de equivalencia en f, es decir, es una relación:

-Reflexiva: " A " f A ~ A (A equivalente A)

-Simétrica: A, B " f , A ~ B ! B ~ A

-Transitiva: A, B, C " f , A ~ B , B ~ C ! A ~ C

Como eso es una relación de equivalencia induce en f una clasificación.

Una clasificación de f es una colección de subconjuntos de f disjuntos dos a dos y cuya unión es todo f, es decir una colección de subconjuntos tales que todo elemento está en uno y sólo en uno.

¿Cuáles son las clases que induce la relación ~?

Cada clase está formada por un conjunto finito y todos los que son equivalentes a él.

Al conjunto de clases se le suele denotar f / ~ (conjunto cociente o de clases de f respec-to a la relación ~)

Así que una clase es la formada por todos los conjuntos con un elemento. Otra clase es la formada por dos elementos. Otra clase es la formada por tres elementos. Etc.

Bien podemos decir que f / ~ = N

Un número natural es lo que tienen en común todos los conjuntos equivalentes a éste.

Sea A un conjunto finito. A la clase a la que pertenece A se le suele denotar cardinal de A (card. A).

El concepto de número natural no tiene nada que ver con el nombre que se den a ese número (uno, dos, tres,.....) (one, two, three,.....) ni con la forma con la que se representan (1, 2, 3,...) (I, II, III, IV,.....).

Decíamos que no sólo conocíamos los números naturales N sino también la estructura algebraica - topológica (N, +, ·, <) (algebraica por las operaciones + y ·, topológica por la relación <)

Diremos que conocemos la adición, la multiplicación y el orden en los números N. Es decir, sabemos que esas “cosas” tienen las siguientes propiedades básicas de las que se derivan otras.

Adición: A1. Asociativa " a, b, c " N (a + b) + c = a + (b +c)

A2. Conmutativa " a, b " N a + b = b + a

A3. Elemento neutro " a " N a + 0 = a

Multiplicación: M1. Asociativa a · (b · c) = (a · b) · c

M2. Conmutativa a · b = b · a

M3. Elemento unidad a · 1 = a

Adición / multiplicación: AM. Distributiva a · (b + c) = a · b + a · c

Ser menor que: O1. Transitiva a < b , b < c ! a < c

O2. Antisimétrica a < b , b < a ! a = b

O3. Es total " a, b " N a " b ! a < b ó b < a

Orden / adición: OA. Compatibilidad del orden / adición a < b a +c < b + c (c " N)

Orden / multiplicación: OM. Compatibilidad del orden / multiplicación a < b, 0 < c ! ac < bc

No hemos dicho:

- Existencia de opuesto para la adición

- Existencia de inverso para la multiplicación

- Y otras referentes al orden.

Haremos una primera extensión de número que nos dará el opuesto. Una segunda nos dará el inverso. Y una tercera nos dará lo no citado ahora del orden.

Sean A y B conjuntos finitos de elementos (A B " "). Cardinal A y cardinal B son dos números naturales (son la clase a la que pertenece A y la clase a la que pertenece B).

Pues bien, card. A + card. B = card. (A U B), de aquí sale la suma o adición.

El concepto de multiplicación sale de: card. A · card. B = card. (A x B) (A x B es el producto cartesiano de A y B, es decir, el conjunto formado por los pares ordenados (a, b) tales que a " A y b " B).

Construcción de los números enteros (Z) a partir de los N

Se trata de construirlos formalmente, pero firmemente anclada la construcción en los problemas de la vida diaria que exigen la existencia de estos nuevos números.

Supongamos que tenemos el siguiente estado de cuenta:

Haber Debe

• 4

• 23

• 1

Los números naturales sirven para escribir el haber y el debe, pero no alcanzan a escribir el haber menos el debe, sólo cuando el deber es menor o igual al haber. Entonces a partir de (N, +, ·, <) creamos una nueva herramienta para expresar el saldo, sin perder nada (sólo ganar).

Consideramos el conjunto N x N de pares ordenados de números naturales.

Definimos en N x N la relación:

(a, b) ~ (c, d) ! a + d = b + c

Queríamos decir a - b = c - d, pero no podemos decir esto porque no siempre se puede restar en N, así que lo que decimos es aquella que es equivalente.

Con lo que sabemos de N vemos inmediatamente que eso es una relación de equivalencia en N x N: es reflexiva " (a, b) " N x N (a, b) ~ (a, b) porque a + b = b + a; es simétrica (a, b) ~ (c, d) ! (c, d) ~ (a, b) porque c + d = b + c ! c + b = d + a; y es transitiva (a, b) ~ (c, d) , (c, d) ~ (e, f) ! (a, b) ~ (e, f) porque a + d = b + c , c +f = d + e ! a + d + c + f = b + c + d +e ! a + f = b + e

Por tanto ~ induce una clasificación, por definición el conjunto de números enteros:

Z = N x N / ~

Un número entero es lo que tienen en común todos los balances con el mismo saldo (tienen en común el saldo):

[(0, 4)] = [(2, 6)] = [(1, 5)] =................

Vamos a ver que podemos dotar a Z de una estructura algebraica - topológica análoga a la que tenía N pero con una propiedad importante más, la estructura anterior además se sumergirá en ésta. Es decir, ocurrirá que hay una aplicación inyectiva de N en Z que:

• i: a" N ! [(a, b)] " Z tal que:

- i (a + b) = i (a) + i (b)

- i (a · b) = i (a) · i (b) Da lo mismo primero sumar y luego sumergir que al revés

- i (a < b) = i (a) < i (b)

Definición de adición, multiplicación y orden en Z:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] [el “truco” (a - b)(c - d) = ac + bd - (ad + bc)]

[(a, b)] < [(c, d)] : ! a + d < b + c

Lo primero que hay que ver es que esas definiciones no dependen de los representantes utilizados para darlas. Es decir que:

(a, b) ~ (a', b') |

(c, d) ~ (c', d') | ! (a + c, b + d) ~ (a' + c', b' + d')

Y esto es cierto porque:

• a + b' = b + a' |

• c + d' = d + c' | ! a +c + b' + d' = b + d +a' + c'

Para el caso de la multiplicación:

(a, b) ~ (a', b') |

(c, d) ~ (c', d') | ! (ac + bd, ad + bc) ~ (a'c' + b'd', a'd' + b'c')

Y esto es porque:

• a - b = a' - b' |

• c - d = c' - d' | ! ac - ad - bc + bd = a'c' - a'd' - b'c' + b'd' !

! ac + bd + a'd' + b'c' = a'c' + b'd' + ad + bc

Para el orden:

(a, b) < (a', b') |

(c, d) < (c', d') | ! a + b' + c + d' < b + a' + d + c'

Esto es porque:

a + b' < b + a' |

c + d' < d + c' | ! a + c + b'+ d' < b + d + a' + c'

Lo segundo que estas definiciones extienden a las de N, es decir, aquello que antes escribíamos i (a + b) = i(a) + i(b) donde i: a " N ! [(a, 0)] " Z

En efecto " a, b " N i(a + b) = [(a + b, 0)]

• i(a) = [(a, 0)]

• i(b) = [(b, 0)]

i(a · b) = [(ab, 0)]

i(a) = [(a, 0)]

i(b) = [(b, 0)]

i(a < b) = a < b

i(a) = [(a, 0)]

i(b) = [(b, 0)]

Lo tercero, es ver las propiedades +, ·, < y ver que tenemos las siguientes propiedades:

- La adición en Z es asociativa: [(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} ! [(a, b)] + [(c + e, d + f)] !

! [(a + (c + e), b + (d + f))] ! [((a + c) + e, (b + d) + f)] !

! [(a + c, b + d)] + [(e, f)] ! {[(a, b)] + [(c, d)]} + [(e, f)]

- La adición en Z es conmutativa: [(a, b)] + [(c, d)] ! [(a + c, b + d)] ! [(c + a, d + b)] !

! [(c, d)] + [(a, b)]

- La adición en Z tiene elemento neutro: [(a, b)] + [(0, 0)] ! [(a, b)]

- La multiplicación en Z es asociativa:[(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} ! [(a, b)] · [(ce + df, cf + de)]

! [(ace + adf + bcf + bde, acf + ade + bce + bdf)] !

! [((ac + bd) e + (ad + bc) f, (ad + bc) e + (ac + bd) f))]

! [(ac + bd, ad + bc)] · [(e, f)] !

! {[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]

- La multiplicación en Z es conmutativa: [(a, b)] · [(c, d)] ! [(ac + bd, ad + bc)] !

! [(ca + db, da + cb)] ! [(c, d)] + [(a, b)]

- La multiplicación en Z tiene elemento unidad: [(a, b)] · [(1, 0)] ! [(a, b)]

- Los números Z tienen la propiedad distributiva: [(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} !

! [(a, b)] [(c + e, d + f)] !

! [(ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)]

! [(ac + bd, ad + bc)] + [(ae + bf, af + be)]

! [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]

- Transitiva: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(e, f)] ! a + d < b + c , c + f < d + e !

! a + d + c + f < b + c + d + e ! a + f < b + e ! [(a, b)] < [(e, f)]

- Antisimétrica: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(a, b)] ! a + d < b + c , c + b < d + a !

• [(a, b)] = [(c, d)]

- Es Total : [(a, b)] " [(c, d)] ! a + d " b + c ! ó a + d < b + c ó b + c < a +d !

! ó [(a, b)] < [(c, d)] ó [(c, d)] < [(a, b)]

- Orden / adición: [(a, b)] < [(c, d)] ! a + d < b + c

[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ! [(a + e, b + f)] < [(c + e, d + f)] !

! a + e + d + f < b + f + c + e ! a + d < b + c

- Orden / multiplicación: [(a, b)] < [(c, d)] , [(1, 1)] < [(e, f)] ! [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]

[(a, b)] < [(c, d)] , [(1, 1)] > [(e, f)] ! [(a, b)] [(e, f)] > [(c, d)] [(e, f)]

- Existencia de opuesto [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, b + a)] = [(1, 1)]

Con Z hemos conseguido A4 (existencia de opuesto) pero no M4 (existencia de inverso), es decir, " [(a, b)] " [(1, 1)] " [(c, d)] : [(a, b)] · [(c, d)] = [(1, 0)]

Ni que decir tiene que los números Z no se escriben de aquella forma [(a, b)] sino [(3, 31)] = -28. Con lo cual Z = {......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........}

Construcción a partir de Z de los números racionales (Q)

2ª extensión del concepto de número para sin perder nada de lo que tenemos, ganar M4 (existencia de inverso). Los nuevos números son lo racionales.

La no-existencia de inverso es equivalente a imposibilidad, en general, de dividir. La división de enteros sólo es factible cuando el dividendo es múltiplo del divisor. La sustracción de naturales sólo lo era cuando el minuendo es igual o mayor que el sustraendo. Ya hemos resuelto en Z este último problema, “restar” en Z es sumar el opuesto. Lo mismo que dividir en

Q es multiplicar por el inverso.

Para introducir Z nos fijábamos en la relación Haber- deber. Para introducir Q nos fijaremos en repartos dividendo- divisor.

De la necesidad de una herramienta para expresar el saldo de un balance nacieron los enteros.

De la necesidad de una herramienta para expresar la ración de un reparto nacen los racionales.

Consideremos el conjunto Z x (Z -{0}) de pares ordenados de números enteros (el segundo distinto de 0), lo que se reparte entre a quien se reparte ( tartas - niños).

Definimos en Z x (Z -{0}) la siguiente relación:

(a, b) ~ (c, d) ! a · d = b · c

Con lo que sabemos de Z vemos inmediatamente que esto es una relación de equivalencia en Z x (Z -{0}): es reflexiva " (a, b) " Z x (Z -{0}) (a, b) ~ (a, b) porque ab = ba; es simétrica (a, b) ~ (c, d) ! (c, d) ~ (a, b) porque ad = bc ! cb = da; y es transitiva (a, b) ~ (c, d) , (c, d) ~ (e, f) ! (a, b) ~ (e, f) porque ad = bc , cf = de ! adcf = bcde ! af = be.

Por definición lo racionales Q = Z x (Z - {0}) / ~

Un número racional es lo que tienen en común todos los repartos con la misma ración (tener en común la ración).

{(1, 3), (2, 6), (3, 5), (-1, -3), (-2, -6),.....} = [(1, 3)] = [(-2, -6)]

El conjunto Z se sumerge en Q de la siguiente forma: a " Z ! [(a, 1)] " Q

No solo el conjunto Z se sumerge en Q sino que la estructura se sumerge en una nueva estructura más rica (Q, +, ·, <). Es decir una vez definamos en Q, +, ·, < se verificará:

- i(a + b) = i(a) + i(b)

- i(a · b) = i(a) · i(b)

- a < b = i(a) < i(b)

Definamos la adición, multiplicación y orden en Q:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)]

[(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]

[(a, b)] < [(c, d)] = ad < bc

Damos por bien conocida su estructura (Q, +, ·, <) que acabamos de construir a partir de

la (Z, +, ·, <).

Es decir suponemos sabido lo siguiente:

Que la adición en Q tiene las propiedades:

A1 Asociativa: [(a, b)] +{[(c, d)] + [(e, f)]} ! [(a, b)] + [(cf + de, df)] !

! [(adf + bcf + bde, bdf))] ! [(ad + bc, bd)] + [(e, f)] !

! {[(a, b)] + [(c, b)]} + [(e, f)]

A2 Conmutativa: [(a, b)] + [(c, d)] ! [(ad + bc, bd)] ! [(da + cb, db)] !

! [(c, d)] + [(a, b)]

A3 Existe elemento neutro: [(a, b)] + [(0, 1)] ! [(a, b)]

A4 Existe opuesto: [(a, b)] + [(-a, b)] = [(a, b)] + [(a, -b)] = [(0, b)]

Que la multiplicación en Q tiene las propiedades:

M1 Asociativa: [(a, b)] · {[(c, d)] · [(e, f)]} ! [(a, b)] · [(ce, df)] ! [(ace, bdf)]

! [(ac, bd)] · [(e, f)] ! {[(a, b)] · [(c, d)]} · [(e, f)]

M2 Conmutativa: [(a, b)] · [(c, d)] ! [(ac , bd)] ! [(ca, db)] ! [(c, d)] · [(a, b)]

M3 Existe elemento unidad: [(a, b)] · [(1, 1)] ! [(a, b)]

M4 Existe inverso: [(a, b)] · [(a, b)]-1 ! [(a · a-1, b · b-1)] ! [(1, 1)] (Ganancia respecto a Z)

Que el orden es:

O1Transitivo: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(e, f)] ! ad < bc , cf < de ! adcf < bcde !

! af < be ! [(a, b)] < [(e, f)]

O2 Antisimétrico: [(a, b)] < [(c, d)] , [(c, d)] < [(a, b)] ! ad < bc , cb < da !

! [(a, b)] = [(c, d)]

O3 Es Total: [(a, b)] " [(c, d)] ! ad " bc ! ó ad < bc ó bc < ad ! ó [(a, b)] < [(c, d)] ó

ó [(c, d)] < [(a, b)]

AM Distributiva: [(a, b)] · {[(c, d)] + [(e, f)]} ! [(a, b)] · [(cf + de, df)] !

! [(acf + ade, bdf)] ! [(a, b)] · [(c, d)] + [(a, b)] · [(e, f)]

OA Orden / adición: [(a, b)] < [(c, d)] ! ad < bc

[(a, b)] + [(e, f)] < [(c, d)] + [(e, f)] ! [(af + be, bf)] < [(cf + de, df)]

! (af + be) · df < bf · (cf + de) ! afdf < bfcf ! ad < bc

OM Orden / multiplicación: [(a, b)] < [(c, d)] , [(0, 1)] < [(e, f)] !

! [(a, b)] [(e, f)] < [(c, d)] [(e, f)]

Un propiedad más que ya tenían las estructuras anteriores (naturales y enteros), pero que no merecía la pena citar entonces, la propiedad Arquimediana:

" [(a, b)], [(c, d)] " Q [(a, b)] < [(0, 1)] " n " N : [(c, d)] < n [(a, b)]

Dicho con palabras significa que cualquier número racional positivo sumado consigo mismo tantas veces como sea necesario, se “merienda” a cualquier número.

Por las propiedades A1,....., A4 (Q, +) es un grupo conmutativo o abeliano.

Por las propiedades A1,....., A4 M1,....., M4 y AM (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo.

Por las catorce propiedades primeras (Q, +, ·, <) es un cuerpo totalmente ordenado.

Por las 15 propiedades es un cuerpo arquimediano.

Sin embargo, el cuerpo (Q, +, · <) no es completo. (Q, + ·, <) sirve para contar conjuntos finitos (contiene N), para hacer balances (contiene Z). Para expresar raciones de reparto, pero no sirve para medir (expresar el resultado de la medida).

Veamos un ejemplo, el conocido Teorema de Pitágoras. Consideramos un cuadrado de lado 1. No hay ningún número racional a/b que exprese la longitud de la diagonal. Si lo hubiera, sería ( a/b) 2 = 1+1 = 2.

“Sabemos” que todo nº racional se puede expresar mediante una fracción a/b, tal que a es primo con b, es decir ay b no tienen ningún divisor en común. Así pues tenemos lo siguiente:

• a2 = 2b2 ! a2 es par ! a es par, a2 es múltiplo de 4, es decir, a2 = 4c ! 4c=2b2 !

• 2c = b2 ! b2 es par ! b es par CONTRADICCION

Tampoco es racional la longitud de la circunferencia de diámetro 1 o el área del círculo de radio 1.

El problema más famoso de la matemática era saber qué nº es . Los egipcios  ~ 3,14. A finales del siglo VXIII se probó que  no es racional y a fines del XIX se probó que no es algebraico ( no es raíz de ningún polinomio de cociente razonable ). Es trascendente.

Construcción a partir de ( Q,+,·,<) de los números R.

Como herramienta para la construcción utilizamos el concepto de números racionales, la sucesión de Cauchy.

Sucesión de números racionales :

Una sucesión de números racionales es una aplicación de N en Q x: n " N ! xn " Q.

La sucesión la representaremos por (xn).

Adición de sucesiones: (xn) + (yn) = (xn + yn)

Multiplicación de sucesiones: (xn) · (yn) (xn · yn)

Propiedades de la sucesiones:

Adición: - Asociativa: (xn) + [(yn) + (zn)] = [(xn) + (yn)] + (zn)

- Conmutativa: (xn) + (yn) = (yn) + (xn)

- " Neutro: (xn) + (0) = (xn)

- " Opuesto: (xn) + (-xn) = (0)

Multiplicación: - Asociativa: (xn) · [(yn) · (zn)] = [(xn) · (yn)] · (zn)

- Conmutativa: (xn) · (yn) = (yn) · (xn)

- " Unidad: (xn) · (1) = (xn)

- " Inverso (xn) " 0 / (xn) · (xn)-1 = (1) (Siempre que 0 " (xn))

- Distributiva: (xn) · [(yn) + (zn)] = (xn) · (yn) + (xn) · (zn)

Para la construcción de R, nos vamos a interesar por dos tipos de sucesiones: las sucesiones convergentes y la sucesiones de Cauchy.

Definición: Se verifique (xn) converge a a " R ó tiene por límite a a, a = lim (xn) cuando:

"  > 0, "  " N / n >  ! |xn - a | < 

Decir |xn - a| <  es lo mismo que decir - < xn - a < , a -  < xn < a + . Esta definición dice que cualquiera que sea el intervalo centrado en a (con extremos a - , a + ,  > 0) en el están todos los términos de la sucesión xn salvo, a lo sumo, finitos (los  primeros).

Ejemplo:

(1, ½, 1/3, .....) = (1/n) converge a 0

La sucesión (1, 2, 1, 2, 1, 2,.....) No converge a nada.

Tampoco es convergente (1, 1'4, 1'41, 1'414, 1'4142,.......) que resulta de la aplicación a 2 del algoritmo de la raíz cuadrada.

Para ver que esta sucesión no es convergente, basta con ver que si fuera convergente a un número a " R, entonces a2 = 2 (No hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2).

Definición: Se dice que (xn) es de Cauchy cuando:

"  > 0 , "  " N / p, q >  ! |xp, xq| < 

Esto quiere decir que los términos, salvo finitos, distan entre si tan poco como queramos.

Ejemplo:

(1, ½, 1/3,......) Convergente y de Cauchy.

(1, 1'4, 1'41, 1'414, 1'1412......) No convergente y de Cauchy.

Todos los términos distan entre si menos que 1, menos que 1/10, menos que 1/100, etc...

Proposición:

Toda sucesión convergente es de Cauchy

Demostración:

Supongamos que (xn) es convergente. Esto significa que:

"  < 0 , "  " N / n >  ! |xn - a| < /2

Por consiguiente:

- p, q >  ! |xp - xq| = |xp - a + a - xq| " |xp - a| + |xq - a| < /2 + /2 = 

Nota: Tanto en las definiciones como en las demostraciones se han utilizado el valos absoluto de números racionales. Por definición, dado x " Q:

- x si x " 0

|x| =

- (-x) si x < 0

El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:

" x, y " Q |x + y| " |x| + |y|

|x · y| = |x| · |y|

De estas propiedades se siguen otras:

|-x| = |x| |x-1| = |x|-1 (x " 0)

|x/y| = |x| / |y| (y " 0) |x| - |y| " |x - y| ! | |x| - |y| | " |x ± y|

Sin embargo, hay sucesiones de Cauchy de números racionales que no son convergentes:

{1, 1'4, 1'41,.....} Resulta de aplicar el algoritmo de la raíz cuadrada a 2

Proposición:

Si (xn) es convergente, entonces su límite es único

Demostración:

Supongamos que (xn) converge a a " Q y a b "Q

Llegamos a una contradicción. En efecto, de la definición de sucesión convergente se sigue que:

" 1 " N / n > 1 ! |xn - a| < |a - b| / 3

|a - b| / 3 > 0 ,

" 2 " N / n > 2 ! |xn - b| < |a - b| / 3

Por tanto, para max (1, 2) se tiene que:

|a- b| = |a - xn + xn - b| " |xn - a| + |xn - b| < 2/3 |a - b|

___|______|___

a b

Todos salvo finitos

Definición:

Una sucesión (xn) se dice que es acotada cuando existe M " 0 tal que " n " N |xn| " M, es decir es acotada cuando todos sus términos están dentro de un cierto intervalo.

Proposición:

Toda sucesión de Cauchy (por tanto toda sucesión convergente) es acotada.

Demostración:

Sea (xn) de Cauchy, esto significa que:

(dado 1 > 0) / "  " N / n > 0 ! |xn - x| < 1

Por tanto:

|xn| - |x| " |xn - x| < 1 ! |xn| < 1 + |x|

Luego M = máx. {|x1|, |x2|,........, |x-1|, 1 + |x|} es tal que " n " N , |xn| " M

Proposición:

Si (xn) converge a a e (yn) converge a b, entonces (xn) + (yn) y (xn) · (yn) converge a a + b y a · b, respectivamente.

Demostración:

Para la suma:

|xn + yn - (a + b)| " |xn - a| + |yn - b|

Para la multiplicación:

Sabemos que |xn - a| e |yn - b| son “tan pequeños como queramos” sin más que tomar n “suficientemente grande”.

Queremos ver lo mismo para |xn yn - ab|. La clave de la demostración está en la siguiente desigualdad:

|xn yn - ab| = |xn yn - xn b + xn b - ab| " |xn| |yn - b| + |xn - a| |b|

A la vista de eso aplicamos la hipótesis como más nos convenga. Sabemos que (xn) es acotada, es decir, existe M > 0 tal que |xn| " M

Por tanto:

" 1 " N / n > 1 ! |xn - a| < / 2|b| (Si |b| = 0 esto no se puede escribir, todo es más fácil)

" 3 > 0

" 2 " N / n > 2 ! |yn - b| < /2M

Luego n > máx. (1, 2) ! |xn yn - ab < 

Si denotamos S al conjunto de todas las sucesiones de números racionales.

C al conjunto de las que son de Cauchy.

C0 al conjunto de las que son convergentes.

Tenemos que: (S, +, ·) es un anillo conmutativo y unitario.

(C, +, ·) es un subanillo.

(C0, +, ·) es un subanillo del anterior.

C0 " C " A " S

Con las sucesiones de Cauchy de números racionales como herramienta vamos a definir los números reales.

Definición:

Sean (xn) e (yn) sucesiones de Cauchy de números racionales, se dice que (xn) es equivalente a (yn) ((xn) " (yn)), cuando la sucesión diferencia (xn - yn) converge a 0

Nota: Las sucesiones de Cauchy son sucesiones cuyos términos se encuentran en algún sitio de la recta. Dos de ellos son equivalentes cuando se encuentran en el mismo sitio.

Ejercicio:

! (xn - zn) converge a 0 ! (xn) " (zn)

(xn) " (yn) ! (xn - yn) ! 0 ! (xn) ! a ! a - x = 0 ! x = a ! (yn) ! a

Definición:

R = C / "

Un número real es una clase de sucesiones de Cauchy equivalentes respecto a la sucesión anterior.

Recordemos que un número entero es una clase de pares de números naturales (haber, debe).

Un número racional es una clase de pares de números enteros.

Es número real “no racional” "2 es una clase formada por las sucesiones:

(1, 1'4, 1'41, 1'414,.....)

(2, 1'5, 1'42, 1'415,.....)

(1, 1'5, 1'41, 1'415,.....)

Vamos a definir una adición, una multiplicación y una relación “ser menor que” en R, a ver que estas operaciones y relación tienen las mismas propiedades que sus análogas en Q; a ver que (Q, +, ·, <) "> (R, +, ·, <), es decir, es una aplicación inyectiva de Q en R, tal que:

• i(a + b) = i(a) + i(b)

• i(a · b) = i(a) · i(b)

• a < b ! i(a) < i(b)

En esta nueva estructura hay una nueva propiedad que no había en la de partida (una propiedad que no demostramos).

Definición de adición en R:

Si (xn) es una sucesión de Cauchy de números racionales, [(xn)] representa al número real formado por la sucesión y todas su equivalentes:

[(xn)] + [(yn)] = [(xn + yn)]

Veamos que esta definición no depende de los representantes elegidos para darla, es decir, que:

(xn) " (x'n)

! (xn + yn) " (x'n + y'n)

(yn) " (y'n)

Demostración:

Tenemos que (xn - x'n) ! 0, (yn - y'n) ! 0

Queremos ver que ((xn + yn) - (x'n + y'n)) ! 0

Sabemos que |(xn + yn) - (x'n + y'n)| " |xn - x'n| + |yn - y'n|

Por hipótesis:

" 1 " N / n > 1 ! |xn - x'n| < /2

"3 > 0

" 2 " N / n > 2 ! |yn - y'n| < /2

De eso y lo anterior sigue que:

N > máx. (1, 2) ! |xn + yn| - |x'n + y'n| < /2 + /2 = 

Si (xn - x'n) ! 0 , (yn - y'n) ! 0 entonces:

(xn - x'n) + (yn - y'n) = ((xn + yn) - (x'n + y'n)) ! 0

Propiedades de la adición en R:

• Asociativa: [(xn)] + {[(yn)] + [(zn)]} = [(xn)] + [(yn + zn)] = [(xn + yn + zn)] =

= [(xn + yn)] + [(zn)] = {[(xn)] + [(yn)]} + [(zn)]

• Conmutativa: [(xn)] + [(yn)] = [(xn + yn)] = [yn + xn)] = [(yn)] + [(xn)]

• Elem. Neutro: [(xn)] + [(0)] = [(xn + 0)] = [(xn)]

• Elem. Opuesto: [(xn)] + [(-xn)] = [(xn - xn)] = [(0)]

Multiplicación de números reales:

[(xn)] [(yn)] = [(xn yn)]

Sabemos que el producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy. Además por definición no depende de los representantes elegidos para darla, es decir, verifica que:

(xn) " (x'n)

! (xn yn) " (x'n y'n)

(yn) " (y'n)

Propiedades de la multiplicación de números reales:

• Asciativa: [(xn)] {[(yn)] [(zn)]} = [(xn)] [(yn zn)] = [(xn yn zn)] = [(xn yn)] [(zn)] =

= {[(xn)] [(yn)]} [(zn)]

• Conmutativa: [(xn)] [(yn)] = [(xn yn)] = [(yn xn)] = [(yn)] [(xn)]

• Elem. Unidad: [(xn)] [(1)] = [(xn · 1)] = [(xn)]

Además la multiplicación es distributiva respecto de la adición, es decir

[(xn)] {[(yn)] + [(zn)]} = [(xn)] [(yn)] + [(xn)] [(zn)]

No es fácil ver que todo número real no nulo tiene inverso, para eso vamos a utilizar un lema (resultado auxiliar) que también será útil para definir la relación “ser menor que” en R.

Lema:

Si (xn) es una sucesión de Cauchy de números racionales que no converge a cero, entonces existe M > 0,  " N tales que:

ó bien n >  ! xn > M

ó bien n >  ! xn < -M

________|______|______|________

ó bien todos los xn salvo -M 0 M ó bien todos los xn salvo

Finitos están aquí. Finitos están aquí

Demostración:

Que xn no converge a 0, significa que:

|- xn > 

"  > 0 / "  " N , " n > 0 / |xn| "  -|- xn < -

Esto es la negación de:

|- xn < 

"  > 0 , "  " N / n >  ! |xn| <  -|- xn > -

Por otra parte con xn es de Cauchy:

" 0 " N / p, q > ^0^! |xp - xq| < /2

Luego todos los xn salvo finitos están o bien a la derecha de /2 o bien a la izquierda de -/2, es decir, M = /2

En efecto: dado n0 " N tal que n0 > 0 tal que |xn0| >  luego tenemos que o bien xn0 "  o bien xn0 " -

Supongamos xn0 "  tenemos entonces que:

• n > 0 !  - xn " xn0 - xn < /2 ! xn = /2

Corolario:

Si (xn) es de Cauchy, no convergente a 0, entonces la sucesión (1/xn) está bien definida para casi todo n (es decir, xn " 0 " n " N salvo finitos) y además es de Cauchy.

Demostración:

Que xn " 0 está comprobado con el lema anterior.

Veamos que (1/xn) es de Cauchy. La clave de la demostración está en la igualdad:

|(1/xp) - (1/xq)| = |xp - xq| / |xp| |xq|

En efecto, por ser (xn) de Cauchy no convergente a 0

" M > 0 , " 1 " N / |xn| > M (n > 1)

Además:

"  > 0, " 2 " N / p, q > 2 ! |xp - xq| < M2

Por tanto si p, q > máx. (1, 2) ! |(1/xp) - (1/xq)| < M2/M2 = 

Como consecuencia de todo lo anterior tenemos:

Proposición:

Todo número real distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.

Demostración:

Sea [(xn)] un número real distinto de 0. Eso significa que (xn) es de Cauchy, no convergente a 0. Por tanto:

"  " N / xn " 0, (n > ), y la sucesión (1, 1,......., 1 , 1/x+1, 1/xz+2, 1/x+3,........) es de Cauchy. Obviamente [(x1, x2,........, x, x+1, x+2,.........)] ·

· [(1, 1,......., 1, 1/x+1, 1/x+2,........)] = [(x1, x2,..........., x, 1, 1, 1,.......)]

Así que (R, +, ·) es un cuerpo

Definición de la relación “ser menor que” en R:

Supongamos que [(xn)] es un número real distinto de 0, diremos que [(xn)] es positivo (mayor que cero) cuando se de la primera de las dos posibilidades del lema. Es decir, cuando:

" M > 0, "  " N / n >  ! xn > M

Cuando se da la segunda (xn < -M) diremos que el número es negativo (menor que cero)

Por definición [(xn)] < [(yn)] cuando [(yn - xn)] sea positivo.

Ejercicio:

Probar que aquella definición de número real positivo (negativo) no depende de los representantes de número real elegidos para darlo, es decir, si (xn) verifica la primera (segunda) de las propiedades del lema y si (xn) " (yn) entonces (yn) también las verifica, (en general con otras M, ).

Si [(xn)] es positivo por definición:

" M > 0, 0 " N / n >  ! xn > M

Es decir, [(xn)] es mayor que M. ___|_____|____|__

0 M [(xn)]

Y si (xn) " (yn) por definición (xn - yn) ! 0 ___|_____|____|__

[(xn - yn)] M [(xn)]

Por último si (xn) ! [(xn)], (yn) tiene que converger forzosamente a [(xn)] = [(yn)], por lo cual (yn) tiene cumple la propiedad que cumplía (xn), es decir:

" M > 0, " 0 " N / n > 0 ! yn > M

De forma análoga se probaría el caso de (xn) negativo.

Ejercicio:

Probar también que la relación “ser menor que” en R es transitiva, antisimética y total.

• Transitiva [(xn)] < [(yn)], [(yn)] < [(zn)] ! [(yn - xn)] > 0, [(zn - yn)] > 0 !

! [(zn - xn)] > 0 ! [(xn)] < [(zn)]

• Antisimétrica [(xn)] < [(yn)], [(yn)] < [(xn)] ! [(yn - xn)] > 0, [(xn - yn)] > 0 !

! [(xn)] = [(yn)]

• Total "[(xn)], [(yn)], [(xn)] " [(yn)] ! ó [(yn - xn)] > 0 ó [(xn - yn)] > 0 !

! ó [(xn)] < [(yn)] ó [(yn)] < [(xn)]

Ver que el orden es compatible con la adición y multiplicación.

[(xn)] < [(yn)] ! [(yn - xn)] > 0

[(xn)] + [(zn)] < [(yn)] + [(zn)] ! [(yn + zn - xn - zn)] = [(yn - xn)] > 0

[(xn)] [(zn)] < [(yn)] [(zn)] ! [(yn zn - xn zn)] > 0 ([(zn)] > 0)

Ver también, que se verifica la propiedad arquimediana, es decir, que:

" [(xn)], " [(yn)], " k " N / [(yn)] < k [(xn)]

A partir de (Q, +, ·, <) hemos construido (R, +, ·, <). Esta última estructura R tiene las mismas propiedades que la de partida: la adición es asociativa, conmutativa, elemento neutro y opuesto, la multiplicación es asociativa, conmutativa, elemento unidad e inverso, el orden es transitivo, antisimétrico y total, la adición es distributiva respecto de la multiplicación, hay compatibilidad entre el orden y la adición, y compatibilidad entre el orden y la multiplicación.

La ganancia que hemos obtenido con los R se puede expresar de bastantes formas, pero nos fijaremos en una, que es el teorema fundamental del orden (TFO).

Teorema fundamental del orden:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente (inferiormente) de números reales tiene supremo (ínfimo).

Definición: Sea A " R, se dice que A está acotado superiormente (inferiormente) cuando existe M " R tal que " x " A, x " M (respectivamente M " x). De M se dice que es cota superior (inferior) de A.

Definición: Sea A un conjunto acotado superiormente de números reales. Se dice que  " R es supremo de A cuando:

•  es cota superior de A

• Si  es otra cota superior de A !  < 

Es decir, cuando es la menor de todas las cotas superiores de A. ( = sup. A)

Se dice que  es ínfimo, cuando  es la mayor de las cotas inferiores  = inf. A.

El conjunto " está acotado superiormente, puesto que todo número real es una cota superior, ya que cualquier número es mayor que la “nada”. Pero no tiene supremo, puesto que dado un número real siempre se hay otro menor que él.

Proposición:

El TFO no es cierto en Q. Para verlo basta poner un ejemplo.

El conjunto A = {x " Q / x2 < 2} es acotado superiormente (ej: 2 es una cota superior) y no vacío (1 " A), pero no tiene supremo en Q.

Supongamos que lo tuviera, que sup. A =  " Q

Sabemos que 2 " 2

Con Q es totalmente ordenado, ó 2 < 2 ó 2 > 2.

Veamos que no puede darse ninguna de estas propiedades, y que por lo tanto no existe, en Q, supremo de A.

Supongamos que 2 < 2. Encontraremos un elemento de A más grande que , con lo que  no puede ser supremo de A (no es cota superior).

 es mayor o igual que 1

2 < ( + 1/n)2 = 2 + 2/n + 1/n2 = 2 + 1/n (2 + 1/n) < 2 + 1/n (2 + 1)

2 <  ( + 1/n)

0 < 1/n !  <  + 1/n !  ( + 1/n) < ( + 1/n)2 ! (transitiva) 2 < ( + 1/n)2

Ahora bien, como 2 - 2 > 0, por la propiedad arquimediana, existe n "N tal que 2 + 1 < n (2 - 2), luego ese n, 2 + 1/n (2 + 1) < 2.

Es decir,  + 1/n " A !  no es cota superior.

Ejercicio: Ver lo anterior para el caso de 2 > 2

Como se sumerge la estructura (Q,+, ·, <) en la (R, +, · <). Dicha inmersión la establece la aplicación inyectiva:

- f: x " Q ! [(x)] " R

[(x)] clase formada por las sucesiones {(x, x, x,.......)}, {(x+1, x+½,......)} que convergen a x.

Ejercicio: Ver que eso es una aplicación inyectiva, es decir, cada elemento de Q tiene una y sólo una imagen en R (ser aplicación de Q en R).

• x " y ! [(x)] " [(y)] (puntos distintos tienen imágenes distintas)

• x " Q y " Q

• f(x) = [(x)] f(y) = [(y)]

• x = y ! [(x)] = [(y)] ! f(x) = f(y)

Además, no es sobreyectiva (hay elementos de R que no son imagen de ningún Q). Ejemplo: {(1, 1'4, 1'41, 1'414,........)} que resulta de la aplicación a 2 del algoritmo de la raíz cuadrada, (la demostración está relacionada con lo que vimos de que el conjunto {x "Q /x2 < 2} no tiene supremo en Q.

Ver que, " x, y " Q:

• i (x + y) = [(x + y)] = [(x)] + [(y)] = i (x) + i (y)

• i (x · y) = [(x · y)] = [(x)] · [(y)] = i (x) · i (y)

• x < y ! [(x)] < [(y)] ! i (x) < i (y)

Estos hechos nos permiten decir que i (Q) es un subcuerpo del cuerpo ordenado - arquimediano (R, +, ·, <).

Habitualmente se identifica i (Q) con Q y se dice, simplemente que Q es subcuerpo de R.

Para acabar con la construcción de R falta probar el TFO que dice:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente de números reales tiene supremo.

Demostración:

Supongamos que A " R es no vacío y acotado superiormente.

Es fácil ver (consecuencia de la propiedad arquimediana) que entonces existen a, b en Q tales que b es cota superior de A y a no lo es.

a b

_____|___________|______|___|_|_|_____

x1

x2

x3

A b lo llamamos x1, dividimos por la mitad el [a, b]. Uno de los intervalos que resultan verifica lo mismo que [a, b] (extremo izq. no es cota superior de A, extremos der. si lo es)

Llamaremos x2 al extremo derecho de éste, lo dividimos por la mitad, un de los dos intervalos que resultan verifica de nuevo lo de [a, b]. Llamamos x3 a su extremo derecho, haciendo de nuevo la misma operación.

De esta forma obtenemos un sucesión de Cauchy de números racionales (xn), es de Cauchy porque:

• p, q >  ! |xp - xq| < (b-a)/2

• "  > 0 , "  " N ! (b-a)/2 < 

Veamos que el número real xn es precisamente el supremo de A. Hay que ver:

1.- Que es cota superior de A

Supongamos que xn no es cota superior de A, es decir, que existe [(yn)] " A / [(xn)] < [(yn)].

Significa que:

" M > 0, "  " N /n >  ! yn - xn > M

Por otra parte como (yn) es de Cauchy:

" ' " N / p, q > ' ! |yp - yq| < M/2

Fijemos m > máx. (, ') ! n > máx. (, ') ! yn - xm = yn -ym + ym - xm > M/2 !

! xm = [(xm, xm, xm,.......)] no es cota superior de A porque es menor que [(yn)], contra la hipótesis.

2.- Que si [(zn)] es otra cota superior de A entonces: [(xn)] < [(zn)] (Véase)

(R, +, ·, <) será en lo que sigue un conjunto de cosas (nos reales) que verifica las 16 propiedades. Es decir, es un conjunto ordenado, arquimediano y completo.

Ejercicio: Demostrar que todo nº real positivo tiene una y sólo una raíz real positiva de cualquier otra, es decir, " a " R+ , " n " N, "* b " R+ / bn = a (b = a1/n)

Esto ya sabemos que no es cierto en Q: b "Q / b2 = 2

Para demostrar esto utilizaremos una técnica que ya utilizamos cuando vimos que sup. {x " R / x2 < 2} = b, tal que b2 = 2

Es decir, " a " R+, " n " N el TFO afirma que existe b = sup. {x " R+ / xn < a}

Ver que en efecto, ese conjunto es no vacío y es acotado superiormente.

Ver que no puede ser bn < a ni bn > a (! bn = a)

Suponiendo que bn < a ver que existe m " N / bn < (b + 1/m)n < a con lo que b no sería cota superior del conjunto.

bn < (b + 1/m)n

bn < bn-1(b + 1/m)

0 < 1/m ! b < b + 1/m ! bn-1(b + 1/m) < (b + 1/m)n ! bn < (b + 1/m)n

Como (b + 1/m)n < a ! bn no es cota superior.

Construcción a partir de R de los números complejos (C)

¿Por qué esta nueva extensión? El polinomio x-3 tiene raíz en N (el 3), pero x+3 no. Si la tiene en Z (el -3). El polinomio 2x-3 no tiene raíz en Z pero si en Q (el -3/2). El polinomio x2-2 no tiene raíces en Q, pero sí en R (el ±"2). El polinomio x2+2 no tiene raíces en R (" a " R, a2 > 0, puesto que a < 0 ! a·a > a·0 ! a2 > 0 y si a > 0 ! a·a > 0·a ! a2 > 0). Este el fallo de R.

En la nueva extensión del concepto de número que vamos a hacer (números complejos) se verifica el siguiente teorema fundamental del álgebra.

Todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en C.

Esta última extensión del conjunto de números halla aquella ganancia (TFA) pero también una pérdida importante, la del orden.

El cuerpo de los números complejos es simplemente el conjunto R x R de pares ordenados de números reales, dotado de las operaciones:

Adición: (a, b) + (c, d) = (a+b, c+d)

Multiplicación: (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

La adición es asociativa, conmutativa, con neutro y opuesto.

• Asociativa (a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a, b) + (c+e, d+f) = (a+c+e, b+d+f) =

= (a+c, b+d) + (e, f) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f)

• Conmutativa: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) = (c+a, d+b) = (c, d) + (a,b)

• Neutro: (a, b) + (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b)

• Opuesto: (a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = (0, 0)

La multiplicación es asociativa, conmutativa, con unidad e inverso.

• Asociativa: (a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) (ce - df, cf + de) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) =

= [(a, b) (c, d)] (e, f)

- Conmutativa: (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

• Con unidad: (a, b) (1,0) = (a·1 - b·0, a·0 + b·1) = (a, b)

• Con inverso: (a, b) · (a, b)-1 = (1, 0)

• Distributiva: (a, b) [(c, d) + (e, f)] = (a, b) (c+e, d+f) =

= (a(c+e) - b(d+f), a(d+f) + b(c+e)) = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be)=

=(a, b) (c, d) + (a, b) (e, f)

(C, + ·) es un cuerpo en el que se sumerge el cuerpo (R, +, ·):

x " R ! (x, 0) " C

Ver que:

• j(x+y) = (x+y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = j(x) + j(y)

• j(xy) = (xy, 0) = (x, 0) (y, 0) = j(x) j(y)

Para obtener el inverso (a, b)-1 basta resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resulta de (a, d) (x, y) = (1, 0)

• ax - by = 1

• bx + ay = 0

| a -b |

Tiene una única solución si sólo si | b a | = a2 - b2 " 0, es decir, si sólo si (a, b) " (0,0)

Ver que si estamos en cuerpo ordenado como R (14 propiedades), se verifican estas cosas:

a < b, c < 0 ! ac < bc

a < 0 ! a + (-a) < 0 + (-a) ! 0 < -a

0 < 1

" a " 0, a2 > 0

Suponiendo eso, veamos que C no puede darse un orden que sea compatible con las operaciones (C no es un cuerpo ordenable).

Supongamos que < fuera un orden en C compatible con las operaciones. Entonces: (0,1)2 > (0, 0), pero (0, 1)2 = (-1, 0) = -(1, 0) > (0,0) ! (1, 0) < (0, 0) (unidad menor que neutro).

En C pueden definirse relaciones de orden, incluso todas (antisimétrica, transitiva, total), pero ninguna de ellas es compatible con las operaciones.

Ejemplo: El orden lexicográfico (el de los diccionarios)

(a, b) < (c, d) :! a < c ó a = c , b < d

Ejercicio: Ver que esa relación es transitiva, antisimétrica, total ¿Con cuál de las operaciones no es compatible?

Transitiva:(a, b) < (c, d), (c, d) < (e, f) ! (a, b) < (e, f)

Antisimétrica: (a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b) ! (a, b) = (c, d)

Total: (a, b) " (c, d) ! (a, b) < (c, d) ó (c, d) < (a, b)

No es compatible con la multiplicación:

(1, 2) < (1, 3) pero (1, 2) (2, 3)=(2-6, 3+4) = (-4, 7) > (1, 3) (2, 3) = (2-9, 3+6) = (-7, 9)

Lo mismo que el racional [(1, 2)] no suele denotarse de esa forma, sino ½. El complejo (a, b) tampoco suele denotarse de esta forma, sino a + bi. Entonces las operaciones entre complejos se hacen como si los complejos a + bi, c + di fueran polinomios de grado uno en la indeterminada i, con el convenio añadido de que i2 = -1

En el complejo (a, b) ó a +bi, de a se dice que es la parte real y de b se dice que es la parte imaginaria.

Re (a +bi) = a

Im (a + bi) = b

(C, +, ·) es algebraicamente cerrado, es decir, se verrifica el teorema fundamental del álgebra (todo polinomio con coeficientes en C tiene alguna raíz en él).

Módulo de un número complejo:

Por definición se llama módulo de a + bi al número real no negativo:

|a + bi| = "(a2 + b2)

Sabemos que todo número real no negativo tiene una y sólo una raíz real.

Ejercicio:

|z1+z2| = |a+bi + c+di| = |(a+c) + (b+d)i| " |a| + |c| + |b|i + |d|i = |a+bi| + |c+di| = |z1| + |z2|

|z1 z2| = |(a+bi) (c+di)| = |a+bi| |c+di| =|z1| |z2|

|z-1| = |z|-1

|-z| = |z|

La notación para el módulo en C es la misma que la de valor absoluto en R, por la sencilla razón de que: " x " R, |x| = |x + 0i|

El módulo extiende a C el valor absoluto que teníamos en R, se llama argumento del complejo a + bi " 0 al ángulo que forma su afijo con el semieje positivo de abcisas, medido en el sentido directo.

 = arccos a/"(a2+b2) = arcsen b/"(a2+b2)

|a+bi| = 

a+bi = (cos  + i sen )

Multiplicación de números complejos:

`a+bi = (cos  + i sen )

`c+di = (cos '+ i seno ')

(a+bi)(c+di)= (ac-bd) + (ad+bc)i = '[cos cos'-sen sen' + i(cossen'+sencos')

El producto del complejo de módulo  y argumento  por el complejo de módulo ' y argumento ', es el complejo de módulo ' y argumento +'

Luego de lo anterior obtenemos:

 (cos + i sen)n = (cos n + i sen n)

De ahí obtenemos inmediatamente que todo número complejo distinto de 0 tiene exactamente n raíces distintas de orden n.

1/n(cos /n + i sen /n)

1/n(cos (+2)/n + i sen (+2)/n)

1/n(cos (+4)/n + i sen (+4)/n)

1/n(cos (+2k)/n + i sen (+2k)/n) (K=0, 1, 2,.....) FORMULA DE MOIVRE

Geométricamente:

Para n=5. Pentágono regular de radio 1/n inscrito en una circunferencia.

___

Nos falta decir que es el conjugado de un número complejo: a+bi = a-bi

Expresión decimal de los números reales:

Suponemos conocida la forma “decimal” (en vez de cómo “quebrado” de enteros) de expresar los números racionales. Y también que una expresión decimal a' b1b2b3.... es de un número racional si sólo si es periódica.

La expresión decimal periódica del número 3/7 la da el algoritmo de la división: 3/7 = 0'428571........

El periodo puede ser 0, en cuyo caso el número es “exacto”. Sin embargo, es fácil razonar que todo número racional exacto (con periodo 0) admite otra expresión equivalente con periodo 9.

38'263 = 38'262999....

Hemos recordado como obtener la expresión decimal de un número racional dado como “quebrado” (par de números enteros)

Recíprocamente sabemos como se obtiene, dada la expresión decimal periódica, el “quebrado” al que representa.

23'97253 = 23 + 97253/99900

Hay una relación entre la fracciones y la expresiones decimales periódicas.

Naturalmente, dado un número real x existe el mayor entero " , también el mayor racional exacto con una cifra decimal " , también el mayor racional exacto con dos cifras decimales, etc.

Al primero lo llamamos a, al segundo a'b1,.......

Así obtenemos en sucesión de Cauchy de números racionales (a, a'b1, a'b1b2, a'b1b2b3,..) que es fácil ver que representa a , es decir,  = [(a, a'b1, a'b1b2, a'b1b2b3,....)]. La expresión decimal de  es a'b1b2b3....... y sabemos que es periódica si sólo si  el racional.

Definición: Sea A un conjunto infinito (con infinitos elementos)

Se dice que A es numerable cuando se puede establecer una biyacción entre A y el conjunto N de los números naturales.

Ejemplo:

El conjunto P, de los números pares positivos es numerable.

N ! P

• 2

• 4

• 6

n 2n

Nótese que cuando se trata de conjuntos finitos es imposible establecer una biyección entre el todo y la parte.

El conjunto Z de los número enteros es numerable

N ! Z

• 0

• 1 (n+1)/2 si n impar

• -1

• 2 n " N

• -2

• 3 -n/2 si n par

• -3

El conjunto Q de los números racionales es numerable:

Q

-1/3 -1/2 -1/1 1/1 ½ 1/3

-2/3 -2/2 -2/1 2/1 2/2 2/3

-3/3 -3/2 -3/1 3/1 3/2 3/3

N ! Q

• 0

• 1/1

• 2/1 Proceso diagonal de Cantor.

• -2/1

• -1/1

• ½

• 3/2

¿Hay algún conjunto intermedio entre Q y R tal que se pueda establecer una biyección entre Q y él ni entre él y R.

El conjunto R de los números reales no es numerable, es decir, no se puede establecer ninguna aplicación 1 a 1 entre N y R. Bastará ver que ninguna aplicación:

N ! R

• a1'b11b12b13......

• a2'b21b22b23......

• a3'b31b32b33......

.................................

.................................

En el conjunto imagen de esta aplicación no está el número real c'd1d2d3.... donde: dk=1 si bkk"1, dk=3 si bkk=1

Tenemos N " Z " Q " R donde N; Z; Q son numerables y R no es numerable

¿Existirá A, Q " A " R tal que no exista biyección entre A y Q ni entre A y R?

Si se supone que si existe tal A no se llega a contradicción.

Si se supone que no existe, tampoco se llega a contradicción.

En otras palabras, es imposible encontrar tal A, es imposible probar que no existe.

Ejercicio:

1.- Ver que la unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable:

Indicación: Si A1, A2,..... , son numerables entonces se puede escribir:

A1 = {a11, a12, a13,.......}

A2 = {a21, a22, a23,.......}

A3 = {a31, a32, a33,.......}

....................................

....................................

A1 U A2 U ...........= {a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41,..........}

Esto es el proceso diagonal:

a11, a12, a13,....... N ! A1 U A2 U.......

a21, a22, a23,....... 1 a11

a31, a32, a33,....... 2 a12

3 a21

4 a13

2.- El producto finito de conjuntos numerables es numerable:

Para dos conjuntos: A = {a1, a2, a3,.........}

B = {b`1, b2, b3,........}

A x B: (a1, b1) (a1, b2) (a1, b3).............

(a2, b1) (a2, b2) (a2, b3).............

(a3, b1) (a3, b2) (a3, b3).............

N ! A N ! B

1 a1 1 b1

2 a2 2 b3

3 a3 3 b3

N ! A x B

• (a1, b1)

• (a1, b2)

• (a2, b1)

• (a1, b3)

Definición:

Un número real se dice que es algebraico si es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales (equivalente enteros).

2/3 x2 - ½ x + 1 " 4x2 - 3x + 6

Ejemplo: Todos los números racionales son algebraicos.

A/b es raíz de x - a/b

También es algebraico todo real de la forma

n"a con n "N y a " Q+ es raíz de x - a

Se puede probar que  y e no son algebraicos. Los números reales que no son algebraicos se llaman transcendentes ( y e son transcendentes).

Ejercicio:

3.- Ver que el conjunto A " R de los números reales algebraicos es numerables.

La demostración se hace teniendo en cuenta lo siguiente:

La Topología de R

Conceptos básicos: para el estudio de dicha topología son necesarios lo concepto de:

- Intervalo: dado a, b " R con a < b:

Intervalo cerrado a, b es [a, b] = {x " R/ a " x " b},

Intervalo abierto: ]a, b[ = {x " R/ a < x < b}

- Valor absoluto: Por definición, dado x " R, |x| = x si x " 0 ó -x si x < 0.

Ejercicio:

Ver que d(x, y) " R x R ! d(x, y) = |x - y| " R es una métrica en R

x = y ! x - y = 0 ! |x - y| = 0 ! d(x, y) = 0

|x - y| = |y - x|

|x - y| " |x - z| + |z - y|

La topología de R que vamos a estudiar es la inducida por esta métrica. Ocurre que dados a, b " R, a < b:

• [a, b] = B [(a+b)/2, (a-b)/2]

• ]a, b[ = B ](a+b)/2, (b-a)/2[

Es también, es topología, “la topología del orden (<)”.

Conceptos importantes:

• a es interior de A cuando, " r > 0/ ]a-r, a+r[ " A

• a es adherente a A cuando, " r > 0, ]a-r, a+r[ A " "

• a es acumulación de A cuando " r > 0, (]a-r, a+r[ \ {a}) A " "

• a es un punto aislado de A cuando, " r > 0 / ]a-r, a+r[ A = {a}

• a es frontera de A cuando " r > 0: ]a-r, a+r[ A " ", ]a-r, a+r[ Ac " "

Denotaremos:

= {x " R / x es interior a A} interior de A

= {x " R / x es adherente a A} adherencia o clausura de A

A'= {x " R / x es de acumulación de A} derivado

ais A = {x "R / x es aislado de A}

Af = {x " R / x es frontera de A} frontera de A

Ejemplo:

N " R

Int N = " aisN = N

Adhe. N = N Nf = N

N' = "

- A = [0, 1]

= ]0, 1[

= [0,1]

A'= [0,1)

ais A= "

f A = [0, 1]

Definición:

Se dice que A " R es abierto cuando sus puntos son interiores, es decir, cuando A = .

Ejercicio:

Ver que el conjunto de los abiertos de R es una topología en R.

Es decir, Q, R son abiertos.

La unión de abiertos es abierto.

La intersección finita de abiertos es abierto.

La intersección infinita de abiertos no es, en general, abierto. Por ejemplo:

]-1/n, 1/n[ = {0} no es abierto.

Definición:

Un conjunto A " R es cerrado cuando su complementario, Ac, es abierto.

Ejercicio:

Ver que A " R es cerrado si sólo si A =

!)Si A cerrado ! Ac abierto ! Ac = ! Con lo cual en A hay finitos elementos de A

! A = A-

!) A = A-

Equivalentemente A' " A

Equivalentemente fr A " A

Ejercicio:

Ver que A es abierto ! es unión de intervalos abiertos.

!) A abierto ! A = ! ]a-r, a+r[ " A ! U ]a-r, a+r[ " A

!) Implicaciones al revés.

Debido a esto, el conjunto de los intervalos abiertos es una base de la toplogía de R.

Ejercicio:

Ver que A es abierto ! A fr A = "

!) Si A es abierto ! A = ! A es un intervalo abierto ]a-r, a+r[! fr A = {a-r, a+r} pero a-r , a+r " A

!) Si A fr. A = " ! Los puntos de A son interiores ! A es abierto.

Proposición:

" a, b " R, a < b, " q " Q, p " Q / a < p < b

a < q < b

Entre dos números reales cualesquiera existen siempre números racionales e irracionales (los racionales e irracionales están “en todos los sitios” en R)

Demostración:

Supongamos 0 < a < b

Por la propiedad arquimediana, dado c > 0 (racional (1) o irracional ()) existe n " N tal que c < n (b-a) = c/n < b-a

Por la propiedad arquimediana, también, existe m " N tal que b < m c/n

Con lo que existe k " N, k < m tal que a < k c/n < b, esto es cierto por que la distancia de “a” a “b” es mayor que |c| (c/n < b-a)

Si c " Q, k c/n " Q

Si c " Q, k c/n " Q

Si a " 0 < b todo es más simple, pues el propio c/n estaría entre a y b.

Si a < b " 0, todo sería análogo al primer caso.

Supuesto lo anterior, nos preguntamos por

Qº = "

Q- = R porque en todo intervalo centrado en a " R hay x " Q

Q' = R

Fr Q = R porque todo intervalo centrado en a " R hay x " Q y x' " I.

Ais. Q = " porque todo intervalo centrado tiene irracionales.

Por verificarse que la adherencia de Q es igual a R (Q-=R) se dice que Q es denso en R.

Definición:

Un conjunto A " R es denso en otro B " R cuando A " B " A-

Definición:

a " R es punto de acumulación de A " R cuando en todo intervalo centrado en a hay algún punto de A que no es a, es decir, " r > 0 (]a-r, a+r[ \ {a}) A " ")

Ejercicio:

Ver que si a es punto de acumulación de A, entonces en todo intervalo centrado en a hay infinitos puntos de A.

Si en un intervalo centrado en a existe un punto de A que no es a, bastaría coger un siguiente intervalo con extremo en ese nuevo punto de A, con lo cual se encontraría otro punto de A en ese nuevo intervalo, si repetimos este proceso infinitas veces nos dará como resultado que existen infinito puntos en un intervalo centrado en a de A, siempre que éste sea un punto de acumulación.

Teorema de Bolzano:

Todo conjunto infinito (con infinitos elementos) y acotado de números reales tiene algún punto de acumulación.

Demostración:

Sea A " R infinito y acotado, esto último significa que A " [a, b]. Consideramos el conjunto C = {x " " / hay infinitos elementos de A mayores que x}. C es no vacio, a " C, C es acotado superiormente, b es cota superior de C. Por el TFO esxiste p = sup C.

Vamos a ver que p es punto de acumulación de A.

En efecto, si en ]p-r, p+r[ (con r > 0), solo hubiera finitos elementos de A, p-r sería una cota superior de C más pequeña que p, con lo que p no sería supremo de C

Nótese que a la derecha de p+r sólo puede haber finitos elemento de A, o p no sería cota superior de C.

Otra demostración:

A " [a, b]

Dividimos [a, b] por la mitad y llamamos [x1, y1] al intervalo de los que tiene infinitos elementos de A (a lo sumo son los dos y llamamos [x1, y1] a un de ellos)

Dividimos [x1, y1] por la mitad y llamamos [x2, y2] al intervalo de los dos que tenga infinitos elementos. Repetimos indefinidamente este proceso.

No es difícil ver que  =sup {xn / n " N} = inf. {yn / n " N}, qi que x es punto de acumulación de A.

Ejemplos:

- Ese teorema es falso en Q. Por ejemplo el conjunto infinito acotado {1, 1'4, 1'41, 1'414,....} de números racionales no tiene en Q ningún punto de acumulación (tampoco tenía supremo).

En R es conjunto si tiene punto de acumulación, "2

- El conjunto N es infinito pero no acotado. No tiene ningún punto de acumulación.

Definición:

Diremos que {Gi / i " I} es un recubrimiento de A " R, cuando A " U Gi

Se dice que es un recubrimiento abierto cuando todos los Gi son abiertos.

Proposición: (Lindelof)

Cualquiera que sea el conjunto A " R y cualquiera que el recubrimiento abierto, infinito no numerable {Gi / i " I} de A, existen i1, i2,....... " I (finitos numerables índices) tales que

{Gik / k = 1, 2,.....} es también recubrimiento de A. En otras palabras, de todo recubrimiento abierto (infinito no numerable) de A, se puede extraer un subrecubrimiento finito numerable.

Ejemplo:

{{x} / x "R} es recubrimiento (no abierto) de R, que es no numerable (R no es numera-ble) y del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento (ni numerable ni no), no se puede quitar ni uno, so pena de que deje de ser numerable.

R " U {x}

Demostración:

Sea {Gi / i " I} un recubrimiento abierto, infinito no numerable de A. Entonces, " x " A existe ix " I tal que x "Gix. Como Gix es abierto, existe rx > 0 tal que ]x-rx, x+rx[ " Gix Como Q es denso en R existen px, qx "Q tal que x-rx < px < x < qx < x+rx

px qx

_____|___|___|___|___|_____

x-rx x x+rx

Evidentemente {]px, qx[ / x "A} que es finito o numerable (Q x Q lo es) recubre a A. Basta asociar a cada ]px, qx[ uno de los Gi que lo contiene para obtener el recubrimiento buscado

Ejercicio:

Sabemos que un conjunto es abierto si sólo si es unión de intervalos abiertos (los intervalos abiertos son la base de la topología de R). Ver que todo abierto se puede obtener como unión de intervalos abiertos de la forma ]a, b[, con a, b " Q, a < b. Como el conjunto de esos intervalos es numerable (Q x Q), resulta que todo R se puede obtener como unión de intervalos abiertos.

Definición:

Un conjunto A " R se dice compacto cuando de todo recubrimiento abierto de él se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Ejemplos de conjuntos no compactos:

Un recubrimiento de N del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es:

{]n-½, n+½[ / n " N} Basta quitar uno para que deje de ser recubrimiento.

{]n-7, n+7[ / n " N} podríamos quitar bastantes, pero finitos de ellos no recubren.

{]-1, n[ / n " N} podemos quitar todos los que queramos, dejando infinitos sigue siendo

un recubrimiento, pero finitos de ellos no son recubrimiento.

Un ejemplo de conjuntos compactos son los conjuntos finitos.

A = {1/n / n " N} no es compacto

Un recubrimiento abierto de él, del que se puede extraer un subrecubrimiento finito es, por ejemplo:

{]1/n, 2[ / n " N} _|_|_|__|____|________|____

0 ¼ ½ 1 2

Nótese que si quitamos los que sean (finitos o infinitos), pero dejando infinitos, eso sigue siendo un recubrimiento. Pero si dejamos sólo finitos, deja de ser recubrimiento.

Un recubrimiento del que no se puede quitar ninguno es por ejemplo:

{]1/n-1/2n(n+1), 1/n+1/2n(n+1)[ / n " N}

Si es compacto, sin embargo, el conjunto {1/n / n " N} U {0}, es compacto porque si {Gi / i "I} es un recubrimiento de él, entonces existe i0 tal que 0 " Gi0.

Pues bien, como la sucesión (1/n) es convergente a 0 y Gi0 es abierto, es decir, contiene algún intervalo de la forma ]-, [, con  > 0, resulta que están “todos salvo finitos” lo xn's. UN subrecubrimiento finito viene dado, entonces por Gio y una “boina” para cada uno de sus finitos.

Teorema: (Bolzano-Weierstrass, Heine-Bozel-Lebesgre)

Sea A" R. Son equivalentes las siguientes proposiciones:

Hemos tomado la propiedad de Heine-Bozel-Lebesgre (la más complicada de las tres) como definición de conjunto compacto porque esa es la definición usual en espacios topológicos generales. Nuestro teorema dice que las tres son equivalentes en el espacio topológico concreto que estamos estudiando.

Se verá en la asignatura de topología que 3 ! 2 ! A cerrado

En particular, en los espacios métricos particulares (espacio topológico cuya topología está inducida por una métrica) 3 ! 2 ! 1.

Demostración:

Vamos a ver que 1 ! 2 ! 3 ! 1

(1 ! 2) no es sencillo, pero ya lo sabemos, es particularmente el teorema de Bolzano.

En efecto, sea A cerrado y acotado (si A es finito, no hay nada que ver). Como es acota-do, por el teorema de Bolzano, toda parte infinita de él tiene algún punto de acumulación (punto de acumulación de todo A, por tanto) y, como es cerrado, partenece a él.

(2 ! 3) Por el teorema de Lindelof: cualquiera que sea A, de todo recubrimiento abierto (no numerable) de A se puede extraer un subrecubrimiento numerable. Podemos suponer que el recubrimiento que tenemos de A es numerable, de la forma {Gn / n " N}. Se trata de ver que si A verifica (2) entonces se puede extraer de él un subrecubrimiento finito.

Si G1 deja fuera finitos elementos de A, ya está (no quedamos con G1 y un Gn (el que sea) para cada uno de los finitos de fuera).

En otro caso, tenemos x1 " A \ G1. Si G1 U G2 deja fuera finitos de A ya está.

En otro caso, tomamos x2 " A \ (G1 U G2) , x2 " x1. Si G1 U G2 U G3 deja fuera finitos de A, ya está.

En otro caso, tomamos x3 " A \ (G1 U G2 U G3) , x3 " x1 , x3 " x2, etc.....

Si el conjunto así construido {x1, x2,......} es finito, ya está. Si es infinito entonces, por 2 tiene un punto de acumulación a " A. Por tanto, existe m " N / a " Gm. Por ser Gm abierto y a punto de acumulación de {xn / n " N} en Gm están infinitos elementos de {xn / n " N}en contradicción con la forma en que se han obtenido los xn; en Gm están, a lo sumo, x1, x2, ...., xm-1

Luego el conjunto {x1, x2,......} es finito (tal vez vacío). Como queríamos demostrar.

(3 ! 1) o lo que es lo mismo (contrarrecíproco) no 1 ! no 3

(no 1) es no cerrado ó no acotado

Así que, lo que tenemos que ver es que: no cerrado ! no compacto.

no acotado ! no compacto.

Supongamos que A no es cerrado. Esto significa que existe a punto de acumulación de A, tal que a " A (a " A' \ A)

Pues bien, un recubrimiento abierto de A, del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es por ejemplo:

{[a-1/n, a+1/n]c / n " N}

A " U {[a-1/n, a+1/n]c / n " N} = R \ {a} __|______|______|__

a-1 a a+1

Si A no es acotado entonces un recubrimiento abierto de A del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es por ejemplo:

{]-n, n[ / n " N}

A " U ]-n, n[ = R __|_|_|_|_|_|_|_|_|__

-3 -2 -1 0 1 2 3

Corolario:

Si A es compacto y no vacío entonces inf. A, sup. A " A.

Demostración:

Por ser A acotado y no vacío existen, por el TFO, inf. A y sup. A.

Si inf. A ó sup. A es punto aislado de A, por supuesto que pertenece a A.

Si inf. A y sup. A no fueran de A, si no son puntos aislados entonces es fácil ver que son puntos de acumulación de A y por ser cerrado, pertenecen a él

__________|*_|_|______ Si  no es de A y aquí* no hay puntos

x  = sup. A de A entonces x es cota superior de A

más pequeña que .

Sucesiones y series de números reales:

Una sucesión de números reales es, formalmente, una aplicación x: n " N ! xn " R, la representaremos como (xn), (xn)n " N, {x1, x2,.....}

En el conjunto  de las sucesiones de números reales se definen las operaciones:

• Adición: (xn) + (yn) = (xn + yn)

• Multiplicación: (xn) (yn) = (xn yn)

• Multiplicación por escalares: (xn) = (xn)

(, +, ·, ·esc) es en álgebra sobre R conmutativo y unitario con divisores de 0, es decir, hay elementos que no son el 0 cuyo producto es 0.

Por ejemplo: (1, 0, 1, 0, 1, 0,.........) (0, 3, 0, 3, 0, 3,..........) = (0, 0, 0, 0, 0, 0,.........)

La adición es asociativa, conmutativa, neutro y opuesto.

La multiplicación es asociativa, conmutativa y con unidad

La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

[(xn)] = [] (xn)

[(xn) + (yn)] = (xn) + (yn)

[ + ] (xn) = (xn) + (yn)

1 (xn) = (xn)

[(xn) (yn)] = [(xn)] (yn)

(, +) Es un grupo abeliano

(, +, ·) es anillo conmutativo y unitario |

(, +, esc) espacio vectorial sobre R | + la prop. 14 álgebra conmutativa y unitaria

sobre R.

Definición:

(xn) es convergente a “a”, lim (xn) = a cuando:

"  > 0, "  " N / n >  ! |xn - a| < 

Definición:

(xn) es de Cauchy cuando:

"  > 0 "  " N / p, q >  ! |xp - xq| < 

Vimos para las sucesiones en Q que convergente ! Cauchy.

Veremos para las sucesiones en R que convergente ! Cauchy.

Vimos para las sucesiones en Q que toda sucesión de Cauchy (o convergente) es acotada. El recíproco es falso (0, 1, 0, 1, 0, 1,........) es acotada pero no es de Cauchy.

Demostración:

Sea (xn) de Cauchy, esto significa que:

(dado 1 > 0) / "  " N / n > 0 ! |xn - x| < 1

Por tanto:

|xn| - |x| " |xn - x| < 1 ! |xn| < 1 + |x|

Luego M = máx. {|x1|, |x2|,........, |x-1|, 1 + |x|} es tal que " n " N , |xn| " M

También vimos que la suma y el producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy (ver construcción de R a partir de Q). Ahora consideramos el producto por escalares.

Teorema:

Si (xn) es una sucesión de Cauchy de números reales (xn) es también de Cauchy.

Fijemos arbitrariamente el número real r > 0.

m " 0, n " 0 ! |xm - xn| " r/

Luego se tiene:

|(xm + xm + .. veces.....+xm) - (xn + xn +.. veces.....+xn)|" r/ + ... veces....+ r/ = (r/) ·

Luego |(xm + xm + .. veces.....+xm) - (xn + xn +.. veces.....+xn)| " r

Definición:

Se dice que a " R es valor de adherencia de (xn) cuando:

"  > 0, "  " N, " n >  / |xn - a| < 

Es decir, en ]a-, a+[ hay infinitos, pero fuera de él pueden quedar finitos o infinitos.

(Ver que la definición dice exactamente lo anterior)

Ejemplos:

(1, 2, 1, 2, 1, 2, ......) Tiene a 1 y 2 como valores de adherencia.

(1, 2, 1, 3, 1, 4, ......) Tiene a 1 como único valor de adherencia.

(1, ½, 1, 1/3, 1, ¼, .....) Tiene a 1 y 0 como valores de adherencia.

(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ......) Tiene a N como conjunto de valores de adherencia.

(1, 2, 3, 4, .......) No tiene ningún valor de adherencia.

Importante: Sabemos que Q es numerable y es denso en R (en todo entorno de todo número real hay infinitos racionales), por tanto existe una sucesión (xn) cuyo conjunto de términos es todo Q.

Al numerar Q resulta la siguiente sucesión: {0, 1/1, -1/1, ½, 2/2, 2/1, -2/1, -2/2, -1/2,...}

¿Cuáles son los valores de adherencia de esta sucesión? Todos los números reales (R).

Proposición:

A" R es valor de adherencia de xn si sólo si:

• o a se repite infinitas veces en la sucesión.

• o a es punto de acumulación del conjunto de los términos de la sucesión.

Naturalmente pueden ocurrir las dos cosas a la vez: (0, 1, 0, ½, 0, 1/3....)

Demostración:

Si A es valor de adherencia de xn entonces "  > 0, "  " N , " n >  / |xn - a| < 

Luego en ]a-, a+[ hay infinitos términos de la sucesión xn, si en dicho intervalo no hay puntos distintos a “a”, a se repite infinitas veces, si por el contrario hay términos diferentes de a entonces a es un punto de acumulación de xn.

Proposición:

Toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia.

Demostración:

Si el conjunto de los términos de la sucesión es finito entonces alguno se repite infinitas veces y es por tanto valor de adherencia de dicho conjunto, si es infinito, como es acotado tiene algún punto de acumulación de acumulación (Tª de Bolzano) que es, por tanto, valor de adherencia.

Proposición:

El conjunto de los valores de adherencia de una sucesión es cerrado.

Demostración:

Sea A el conjunto de los valores de adherencia de (xn). Hemos de probar cualquiera de estas dos cosas:

1º A contiene a todos sus puntos de acumulación.(Ejercicio)

2º A es cerrado.

2º Que Ac es abierto significa que para todo a " A " r > 0 / ]a-r, a+r[ " Ac. Si esto no fuera cierto, en todo ]a-r, a+r[, con r > 0, habría puntos de A. Por tanto, en todo ]a-r, a+r[ habria infinitos términos de (xn) y a sería valor de adherencia de (xn), es decir a " Ac.

Corlario:

Si (xn) es una sucesión acotada entonces el conjunto de sus valores de adherencia es compacto. Por consiguiente, existen el mínimo y el máximo de los valores de adherencia de la sucesión, los cuales se llaman respectivamente límite inferior de la sucesión y límite superior de la sucesión.

Ejemplos:

Lim inf (1, 2, 1, 2,......) = 1 lim sup (1, 2, 1, 2, 1, 2........) = 2

Lim inf (1/n) = 0 =lim sup (1/n)

Lim inf (1, 1,2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ........) = 1

Lim sup (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ......) = no existe.

Una sucesión no acotada inferiormente (superiormente) no tiene límite inferior (superior). A veces se dice que dicho límite es “-” (+)

El ser acotada inferiormente (superiormente) no garantiza la existencia de límite inferior (superior). Por ejemplo (1, 2, 3, 4,........)

Ni que decir tiene que si (xn) es convergente, su límite es valor de adherencia de (xn)

Más aún, hemos visto que toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia, (en Q esto es falso. Por ejemplo: la sucesión (1, 1'4, 1'41, 1'414,.....) no tiene ningún valor de adherencia en Q. Si lo tiene en R; es convergente a "2)

Proposición:

(xn) acotada, es convergente si y sólo si tiene un único valor de adherencia (que es su límite).

Demostración:

Si (xn) converge a “a”, entonces en todo intervalo ]a-, a+[ están todos lo xn's, salvo finitos.

Por tanto en ]-, a-[ y en ]a+, +[ hay solo finitos xn's y, por tanto, en esas semirectas no puede haber ningún punto de adherencia de (xn). Como eso es cierto para todo  > 0, en ]-, a[ y ]a, +[ no puede haber ningún punto de adherencia. Por otra parte, ya sabemos que toda sucesión convergente es acotada.

!) (xn) ! a !(xn) acotada, sólo tiene a “a” como valor de adherencia.

!) (xn) es acotada ! Tiene un único valor de adherencia ! (xn) es acotada?

Teorema (de amplitud de R)

Toda sucesión de Cauchy en R es convergente (el espacio métrico R d(x,y)=|x-y| es com-pleto).

Demostración:

Sea (xn) de Cauchy. Entonces es acotada y, por tanto, tiene algún valor de adherencia. Con lo que acabamos de ver, bastará probar que ese valor de adherencia es único.

Supongamos que a y b fueran valores de adherencia distintos de (xn). Sea =|a-b|/3

En ]a-, a+[ y en ]b-, b+[ hay infinitos términos de la sucesión.

Por tanto, existen infinitos p, q " N tales que: |xp-xq| >  y xn no sería de Cauchy.

Definición:

Se dice (xn) es monótona creciente (decreciente) cuando, " n " N, xn " xn+1 (respecti-vamente xn " xn+1), la monotonía se dice que es estricta cuando el signo es < (respect. >)

Proposición:

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Además, si es creciente lim (xn)=sup {xn / n " N}, si es decreciente limi (xn) = inf. {xn / n " N}

Demostración:

Supongamos que (xn) es creciente y acotada. Sea a el sup {xn / n " N}

___|__|__|__|__|__|__|__|__|__|___

x0 x1 x2 a- a

De la definición de sup. Se sigue que:

-a la derecha de a no hay ningún xn

-"  > 0, a la derecha de a- hay algún xn. Sea este el x. Entonces por ser (xn) creciente,

n> ! a- < xn " a

|xn - a| <  (c.q.d.)

Notación:

Lim (xn) = a ! (xn) ! a

Para indicar que (xn) es creciente y que a es su límite se puede escribir: (xn) a.

Para indicar que es decreciente y que a es su límite: (xn) a.

Supongamos que (xn) es acotada, además tiene algún punto de adherencia.

El conjunto de los valores de adherencia es por tanto acotado. Además el conjunto de los valores de adherencia de cualquier sucesión es un conjunto acotado (podría ser ")

Por tanto, el conjunto de los valores de adherencia de una sucesión acotada es un conjunto no vacío, cerrado y acotado (compacto)

Por ser ese conjunto compacto y no vacío existen el mínimo y el máximo de sus adherentes. Por definición, este mínimo y máximo son el límite inferior y el límite superior de (xn).

Ejercicio: Supongamos que (xn) es una sucesión acotada.

Demostrar que lim. Inf.(xn)=sup {inf{x0, x1, x2,........}, inf{x1, x2,..........}, inf{x2,...}....}

Lim. sup (xn) = inf {sup {x0, x1,....}, sup {x1, x2,....}, sup {x2, x3,.........}.....}

Indicación:

Por ser xn acotada existen esos inf`s y sup's La sucesión (inf{x0, x1,...}, inf{x1, x2,...}...) es monótona creciente.

Suponemos: Lim inf (xn) = sup [inf {x0, x1, x2,...}, inf {x1, x2,...}...] = 

Todos los inf.'s están en (-, ) y en (+, ) hay algún inf pues sino,  no sería el límite, pero al ser la sucesión de inf's es creciente, en este último intervalo están todos los inf's salvo finitos. Falta Acabarlo.

Algunos ejemplos interesantes de límites:

• " a > 0, lim n"a = 1

Si a = 1 evidente.

Si a > 1 escribimos xn = n"a - 1

Se trata de probar que (xn) ! 0

(xn + 1)n = 1 + (n1) xn + (n2) xn2 + ..........> 1 + n xn ! xn < (a-1)/n ! 0

Ejercicio, verlo para a < 1 (Indicación: tomar 1/a)

• lim n"n = 1

n = (n"n - 1 +1)n = 1 + (n1) (n"n - 1) + (n2) (n"n - 1)2 +.......> 1 + [n(n-1)/2] (n"n - 1)2 ! ! 0 " (n"n - 1)2 " 2/(n+1) ! 0

Ejercicio: Ver que (n"n - 1)2 ! 0 ! (n"n - 1) ! 0

• lim n"np = 1 (Ejercicio)

• " a >1 , " p, lim np/an = 0

Dice que la “exponencial” puede con la “potencial”: el producto de ambas va a donde manda la exponencial. Si p < 0 evidente. Si p > 0 el numerador va a + y el denominador también.

np (1/an) ! 0

b, p > 0, np/(1+b)n ! 0

Falta acabarlo.

Límites infinitos:

Aunque cuando hablamos de la convergencia, o del límite, de una sucesión, dicha convergencia o dicho límite, es a (un) nº real, a veces también se habla de convergencia a + ó - (de límites infinitos) El contexto suele dejar claro si se están admitiendo “límites infinitos”.

Definición:

(xn) converge a + (-) cuando,

"  " R, "  " N / n >  ! xn >  (respectivamente xn < )

Ejemplos: (1, 2, 3,.......) ! +

(1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 8,...........) ! +

La primera de esas sucesiones es monótona creciente y no acotada, es evidente que cualquier sucesión de este tipo “converge” a +.

La segunda no es monótona.

(1, 2, 1, 3, 1, 4,......) no converge a nada, ni a un número, ni a + ni a - .

Por lo mismo, a veces se admiten como valores de adherencia (en particular, como “límite inf.” Ó “límite sup”) a + y -.

Definición:

+ (-) es valor de adherencia de (xn) cuando,

•  " R, "  " N, " n >  / xn >  (respectivamente xn < )

Si un sucesión es no acotada superiormente (inferiormente) su límite superior (inferior) es + (-).

Lim sup (1, 2, 1, 3, 1, 4,.......) = +

Lim inf (1, 2, 1, 3, 1, 4,.......) = 1

Lim inf (1, 2, 3,.........) = + porque sólo tiene como valor de adherencia + = lim sup. (1, 2, 3,.....)

Con este acuerdo (admitir + y - como posibles valores de adherencia), se verifica:

- Toda sucesión (acotada o no) tiene algún valor de adherencia.

- Toda sucesión (acotada o no) tiene lim inf y sup

R- = R U {-, +}

Es muy fácil ver que:

(xn) ! +, (yn) ! a (- < a " +) ! (xn + yn) ! +

(xn) ! +, (yn) es acotada inferiormente ! (xn + yn) ! +

(xn) ! +, (yn) ! a (a"0) ! (xn · yn) ! + si 0 < a " +

- si - " a < 0

(xn) ! +, (yn) está acotada inferiormente por a > 0 (superiormente por a < 0) !

! (xn · yn) ! + (respectivamente -)

Sin embargo,

Si (xn) ! + e (yn) ! -, entonces a (xn + yn) le puede pasar cualquier cosa.

Ejemplos:

(xn) = (1, 2, 3,.......), (yn) = (-1, -2, -3,.....), (xn + yn) = (0, 0, 0,.......) ! 0

(xn) = (1, 2, 3,......), (yn) = (-2, -4, -6,.....), (xn + yn) = (-1, -2, -3,......) ! -

(xn) = (1, 2, 3,....), (yn) = (-2, -1, -5, -2, -8, -3,.......), (xn + yn) = (-1, 1, -2, 2, -3, 3,....) no

converge a nada

Si (xn) ! + (-) e (yn) ! 0 entonces (xn + yn) cualquier cosa:

(1, 2, 3,.......) (1, ½, 1/3,......) = (1, 1, 1,.......) ! 1

(1, 2, 3,......) (1, ½2, 1/32,........) = (1, ½, 1/3,........) ! 0

(1, 2, 3,......) (1, 1/"2, 1/"3,.....) = (1, "2, "3,........) ! +

(1, 2, 3, .....) (1, ½2, 1/"3, ¼2, 1/"5, 1/62, 1/"7,......) = (1, ½, "3, ¼, "5,......)

Series numéricas:

Vamos a tratar de dar sentido a las sumas infinitas (infinitos numerables sumandos).

x1 + x2 +.............+ xn +.......

donde los xk son números reales.

Para ello sea (xn) una sucesión de números reales a partir de ella construimos la sucesión de sumas parciales de aquella:

(x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,........),

la cual se suele llamar serie de términos (x1, x2, x3,....) y denotar: "n=1 xn.

Definición:

La serie "n=1 xn se dice sumable, o convergente, a a"R cuando la sucesión de sumas parciales (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3.....) es convergente a a.

Es decir, cuando, "  > 0, "  " N / n >  ! |n"k=1 xk - a| < 

Proposición:

"n=1 es sumable si sólo si es de Cauchy, es decir, tal que,

"  > 0, "  " N /  < p < q ! |q"k=p xk| < 

Demostración:

Si "n=1 xn es sumable entonces:

"  > 0, "  " N / n >  ! |n"k=1 xk - a| < ,

es decir, es convergente a a, por consiguiente es de Cauchy, así pues:

"  > 0, "  " N / p, q >  ! |q"k=p xk| < 

Corolario:

Condición necesaria para que la serie "n=1 xn sea sumable es que la sucesión de sus términos converja a cero, lim (xn) = 0.

Demostración:

Tómese q = p es la proposición anterior (Verlo)

"n=1 xn es sumable ! (xn) ! 0

Veamos que el recíproco no se da en alguno de los ejemplos que siguen:

Ejemplos:

En ambos casos (xn) no converge a 0, en el 1º converge a 1 y en el segundo no converge a nada, pues lim inf " lim sup.

n"k=1 1/2k = ½ + ½2 + ½3 +........+ 1/2n = (1er término - siguiente al último) / (1-razón) = = (½ - 1/2n+1)/ ½ = 1 - 1/2n ! 1

La serie "n=1 1/2n es sumable y su suma es 1.

Naturalmente (1/2n) ! 0

Ejercicio:

Estudiar la sumabilidad de las series geométricas "n=0 a rn, donde a, r " R. Si a=0 evid.

Si a "0 ver que la serie es sumable si sólo si |r|<1. Ver que, en dicho caso, la suma es a/1-r.

(ar, ar + ar2, ar + ar2 + ar3,........) El término n-ésimo de estas sumas parciales es la suma de una progresión geométrica:

n"k=1 a rk = ar + ar2 +.........+ arn = (ar-arn+1)/1-r = (a/1-r) (r-rn+1) se utiliza |r|<1! a/1-r

"n=1 1/n se verifica que 1/n ! 0, luego puede ser sumable.

A diferencia del caso anterior, no conocemos una fórmula que nos diga cuanto vale.

1 + ½ + ......... + 1/n = n"k=1 1/k

1+ ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 +.......+ 1/15 + 1/16 + 1/17

S1 = 1 > ½

S2 = 1 + ½ >2/2

S4 > 3/2

S8 > 4/2

S16 > 5/2

Sn > (n+1)/2

Por otra parte como los términos de esta serie son positivo, la sucesión de sumas parciales es monótona creciente: S1 < S2 < S3 <..... y ocurre que sustracción S1 < S2 < S4 < S8 <... va a + Luego (Sn) va a + ! la serie no es sumable.

Este ejemplo de serie armónica nos falla para poder afirmar que (xn) ! 0 no implica "n=1 xn sumable

La serie "n=1 xn es sumable o convergente, cuando su sucesión de sumas parciales: (s1, s2, s3,.......) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,.........) es convergente. En dicho caso, al límite de esta sucesión se llama suma de serie y se suele representar de la misma forma que la serie "n=1 xn.

Ya el contexto dice de lo que hablamos es la serie, o caso de ser sumable de su suma.

Vimos que: "n=1 xn es sumable ! (xn) ! 0 y que el recíproco es falso.

Ejemplo: La serie armónica "n=1 1/n no es sumable, aunque (1/n) ! 0

Un ejemplo sorprendente: La serie "n=1 1/n “n sin ceros” La expresión decimal de n no tiene ningún cero: 1 + ½ +.......+1/9 + 1/11 +......+1/99 + 1/111 + 1/112 +...........

Pues bien ocurre que la serie armónica “suma” + (no es sumable) mientras que esta sí lo es y su suma es menor que 90.

Veámoslo:

Términos 1/n con n de una cifra hay 9, todos " 1

Términos 1/n con n de dos cifras hay 92, todos < 1/10

Términos 1/n con n de tres cifras hay 93, todos < 1/100

........................................................................................

Sea (s1, s2,.......) la sucesión de sumas parciales de la serie. Como los términos son positivos, la sucesión es creciente s1 < s2 < s3 <..... Por tanto, es sumable si sólo si es acotada. Es acotada si sólo si lo es alguna de la sucesión:

S9 < 9, s9+92 < 9 + 92/10, s9+92+93 < 9 + 92/10 + 93/100, sn < 9 + 92/10 + .... + 9n/10n-1 , esto es una progresión geométrica de primer término 9 y de razón 9/10.

(9-9n+1/10n)/(1-9/10) ! n! 9/(1-9/10) ! Lim ( S9+......+9n) = sup {s9+.......+9n / n " N} < 90

Lim Sn ! sup {sn / n " N} < 90

Es desconcertante porque parece que quitamos pocos términos, de los 9 primeros no quitamos ninguno, de los 90 siguientes 9, de los 900 siguientes 171,.............

Ejercicio: Sabiendo que "n=1 1/n no es sumable (“suma” +) ver que tampoco es "n=1 1/(an+b), donde a,b > 0

Indicación, la sucesión de sumas parciales de esto es creciente como la de la anterior. En las sucesiones convergentes es lo mismo que ser acotada.

¿Qué ocurre en la sucesión armónica generalizada "n=1 1/np?

Si p < 1 1/n < 1/np luego 1 + ½ + ...... + 1/n < 1 + 1/2p + ....... + 1/np

Si p " 1 la serie no es sumable (“suma” +)

Si p > 1 tenemos 1/np < 1/n aquel agumento no vale (el que la grande vaya a + no implica nada). Vamos a ver que cuando p > 1 "n=1 1/np es sumable.

1 + 1/2p + 1/3p + 1/4p + 1/5p + 1/6p + 1/7p + 1/8p +...... + 1/15p + 1/16p + ...... + 1/31p + ...

S1 = 1

S1+2 < 1 + 2/2p

S1+2+22 < 1 + 2/2p + 4/4p

.........................................

S1+2+.......+2n < 1 +1/2p-1 + 1/4p-1 + 1/8p-1 + ..... + 1/(2p-1)n = 1+1/(2p-1)+1/(2p-1)2 +....+1/(2p-1)n = [1-1/(2p-1)n+1]/(1-2p-1) ! n! 1/(1-2p-1)

Progresión geométrica de primer término 1 y de razón 1/2p-1 < 1, luego la sucesión (s1+2+....+2n) es acotada ! (sn) es creciente y acotada ! es convergente.

Una cosa que nos olvidamos ver en el capítulos de sucesiones:

• Ver que a " A- si sólo si a es límite de alguna sucesión cuyos términos son de A (Indicación: trivialmente, si a " A, entonces a es límite de (a, a, a,....), en otro caso, es decir, cuando a " A- \ A, resulta que a " A y estamos en el caso siguiente).

• Ver que a " A' si solo si a es límite de una sucesión cuyos términos son de A y todos distintos, (equivalentemente, todos distintos de a).

x1 x2 x3

_|_____|__|_|__|_|__|_|___|_____|_

a-1 a-½ a-1/3 a a+1/3 a+½ a-1

_|_______|_______|_

a-1/n a a+1/n

xn " ]a-1/n, a+1/n[, xn " x1, x2, x3,......., xn-1

Concepto de subsucesión de una sucesión:

Por definición, una sucesión de números reales es una aplicación de N en R, n ! xn.

Supongamos que la aplicación n " N !  (n) " N es estrictamente creciente, es decir, tal que n < m ! (n) < (m). Entonces la sucesión:

N ! (n) ! x((n)) = xn

Es una subsucesión de la dada.

Esto significa que una subsucesión de (x1, x2, x3,.....) es “lo que queda de ella” después de quitar finitos o infinitos términos, siempre que queden infinitos. Por ejemplo, subsucesiones de (x1, x2, x3,......) son:

(x4, x5, x6,........)

(x1, x3, x5,........)

(x2, x6, x10, x14,......)

Ejercicio:

• Ver que a es valor de adherencia de (xn) si y sólo si a es límite de alguna subsucesión de (xn).

Si a " A, evidente, a es límite de la subsucesión (a, a, a,....).

Si a " A, entonces a es punto de acumulación de los términos de alguna subsucesión, por lo tanto es valor de adherencia de xn.

• Ver que toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente (corolario de la anterior).

• Ver que una sucesión monótona es convergente si sólo si es convergente una de sus subsucesiones.

Las series son una especie de “suma infinita”.

Dijimos "n=1 xn es sumable cuando es convergente la sucesión de sumas parciales (sn) = (s1, s2, s3,........) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3,........)

Lo que nos preguntamos ahora es si estas “sumas infinitas”, que son la series, son “asociativas” o “conmutativas” como las sumas finitas de números reales.

La respuesta, en general, es no.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ..........

"n=1 (-1)n No es sumable porque ((-1)n) no ! 0

Aunque no supiéramos eso, es trivial que no es sumable, porque su sucesión de sumas parciales, (1, 0, 1, 0, .......) no es convergente.

Sin embargo, asociando así: (1-1) + (1-1) + (1-1) +......... la serie que resulta es la 0+0+0+.... trivialmente sumable.

1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +..........., la sucesión que resulta, 1+0+0+0+....... también es sumable, pero de suma 1.

Proposición:

Si "n=1 xn es sumable, entonces como quiera que asociemos sus términos, la serie resultante también es sumable y con la misma suma. (Sí podemos meter paréntesis en las series sumables).

Demostración:

Supongamos que:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 +..........

es sumable. Esto significa que la sucesión de sumas parciales (sn) = = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3 + x4,........) es convergente.

Introduzcamos esos paréntesis:

x1 + (x2 + x3) + x4 + (x5 + x6 + x7) + x8 + x9 +............

La sucesión de sumas parciales de la serie resultante es (s1, s3, s4, s7, s8, s9,......). Es decir, una subsucesión de (s1, s2, s3,......) que como ésta es convergente y con el mismo límite.

Reordenación de series:

Dada una serie "n=1 xn y una biyección f: N ! N, la serie "n=1 xf(n) se llama reordenada de aquella.

Se dice que esa serie es incondicionalmente sumable cuando toda biyección f: N ! N "n=1 xf(n) es sumable y con la misma suma que "n=1 xn

Una serie incondicionalmente sumable es una serie en la que la suma infinita es conmutativa.

Ejercicio:

Ver que si "n=1 xn es sumable y si f: N ! N es una biyección, tal que f(n) = n, para todos los n " N, salvo finitos, entonces "n=1 xf(n) también es sumable y con la misma suma.

Consideramos la serie "n=1 (-1)n+1/n (es lo que se llama una serie alternada: los signos de sus términos son +, -, +, -, +, -, +,.......)

1 - ½ + 1/3 - ¼ + 1/5 - 1/6 +...........

Por ser alternada y verificarse que (1/n) 0 es fácil ver que esta serie es numerable (es la serie de valores absolutos de los términos)

__|_________|__|____|___|___ (serie armónica alternada

0 s2 s4 s3 s1 es sumable)

s1 = 1

s2 = 1 - ½ s2 < s4 < s6 <......< s5 < s3 < s1

s3 = 1 - ½ + 1/3

s4 = 1 - ½ + 1/3 - ¼ luego existen sup {s2n/ n " N} es acotado superiormente

por cualquier (s2n+1) y no vacío. Inf {s2n+1 / n " N} es

acotado inferiormente, por cualquier (s2n) y no vacío. Además s2n+1 - s2n = x2n+1 !n! 0

! sup {s2n} = inf {s2n+1} = la suma de la serie. Además su suma es log. 2.

Estos mismos argumentos sirven para ver que toda serie alternada "n=1 (-1)n xn tal que (xn) 0 es sumable (ejercicio).

Por otra parte sabemos que la serie "n=1 1/n no es sumable (“suma” +). Por tanto las series "n=1 1/2n, "n=1 1/(2n-1) no son sumables.

½ + ¼ + 1/6 +...................} Simplemente basta tener en cuenta que las sumas parciales

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +.........} de ½ + ¼ +1/6 +..... son ½ de las sumas parciales de

1 + ½ + 1/3 + ¼ +......, éstas van a + ! aquellas también.

Análogamente, se vería el caso de 1 + 1/3 + 1/5 +............

Supuesto lo anterior, podemos considerar la serie dada "n=1 (-1)n/n de forma que deje de ser sumable o sume lo que no de la gana (por ejemplo 278)

Reordenemos esa serie de forma que sume 278.

Como "n=1 1/(2n-1) “suma” +, podemos encontrar n " N talque:

1 + 1/3 + 1/5 +............+1/(2n-1) " 278 < 1 + 1/3 +..........+ 1/(2n-1) + 1/2n

Sea n2 " N tal que:

1 + 1/3 +...+ 1/2n1 - ½ - ¼ -...-1/(2n2-2) " 278 > 1 + 1/3 +...+ 1/2n1 - ½ - ¼ -... - 1/2n2

Empezamos a sumar impares hasta sobrepasa 278, en ese momento restamos 1/n's (n par) hasta volver a la izquierda de 278. En ese momento sumamos 1/n's , n impar, hasta volver a la derecha de 278,............... Es fácil ver que esta reordenación de la serie dada es sumable, con suma 278, lo que se utiliza en todo esto es que " “impares” = + y " “pares” = -.

Teorema: (Rieman)

Si "n=1 xn es una serie con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, tal que (xn) ! 0, y que " “positivos” = + y " “negativos” = -, entonces se puede reordenar de forma que sume lo que queramos. Más aún, se puede reordenar de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como conjunto de valores de adherencia cualquier intervalo cerrado (acotado o no)

[a, a], [a, b], [a, +[, ]-, a], ]-, +[

Reordenación de "n=1 (-1)n/n de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como valores de adherencia a todos los números reales.

• Sumas positivos hasta sobrepasar al 1 por la derecha.

• Sumas negativos hasta sobrepasar al -1 por la izquierda

• Sumas positivos hasta sobrepasar al 2 por la derecha.

• Sumas negativos hasta sobrepasar al -2 por la izquierda

• Sumas positivos hasta sobrepasar al 3 por la derecha

Ejemplo:

La serie:

2 - 1 + 1 - ½ + 2/3 - 1/3 + 2/4 - ¼ + 2/5 - 1/5 +...............

es alternada (+, - ,+, -, +,.......) y tal que la sucesión de sus términos converge a 0.

Sin embargo esa serie no es numerable (“suma” +).

Ocurre que la sucesión de valores absolutos de sus términos no converge monótona-mente a 0. Es decir, no verifica la condición suficiente para la sumabilidad que vimos ayer.

Definición:

Se dice que la serie "n=1 xn es absolutamente sumable cuando es sumable la serie de términos positivos, "n=1 |xn|

Proposición:

Toda serie absolutamente sumable es sumable. (El recíproco no es cierto. Basta saber que "n=1 (-1)n/n es sumable, pero "n=1 1/n no lo es)

Demostración:

Supongamos que "n=1 |xn| es sumable. Esto significa (condición de Cauchy) que " >0, "  " N / q > p >  ! q"n=p |xn| <  (la sucesión de sumas parciales de aquella serie es de Cauchy). Pues bien, basta tener en cuenta que:

|q"n=p xn| " q"n=p |xn| para obtener que también la serie "n=1 xn verifica condición de Cauchy.

Teorema:

Si "n=1 xn es absolutamente sumable entonces es incondicionalmente sumable (Recordemos que "n=1 xn es incondicionalmente sumable (reordenable) cuando cualquiera que sea la biyección : N ! N, "n=1 xn es sumable y con la misma suma que la dada).

[Es más, absolutamente sumable ! incondicionalmente sumable]

Demostración:

Supongamos que "n=1 xn es absolutamente sumable y que  : N ! N es una biyección.

Veremos primero que también "n=1 x(n) es absolutamente sumable y segundo que tiene la misma suma que la dada.

1º.- Que "n=1 xn es absolutamente sumable significa que: "  > 0, "  " N / q > p >  ! q"n=p |xn| < . Esto implica que "n= |xn| "  (Recuérdese que la suma de la serie de términos positivos "n=1 |xn| es el límite de (|x|, |x| + |x+1|, |x| + |x+1| + |x+2|,.....) el cual es igual, la sucesión es creciente, al sup {|x|, |x| + |x+1|,......}).

Por otra parte, como  es una biyección, existe ' " N tal que {1, 2, ......, } " " {(1), (2), ............, ()}, por tanto q > p > ' ! q"n=p |x(n)| " "n= |xn| "  ! "n=1 |x(n)| verifica la condición de Cauchy.

2º.- Sea s la suma de "n=1 xn y t la suma de "n=1 x(n). Queremos ver que s = t, o lo que es lo mismo, que "  > 0 |s - t| < 

La clave de la demostración s = t está en la siguiente desigualdad:

|s - t| " |s - n"k=1 xk| + |n"k=1 xk - m"k=1 x(n)| + |m"k=1 x(n) - t|

Dado  > 0,

Por la definición de s, " 1 " N / n > 1 ! |s - n"k=1 xk| < /3

Por la definición de t, " 2 " N / n " 2 ! ||m"k=1 x(n) - t| < /3

Sabemos, además, que " 3 " N "n=3 |xn| < /3 (esto estaba en la primera parte)

Por tanto, si tomamos  " N tal que  = máx. {1, 2, 3} y {1, 2,......, 3} "

" {(1), (2), ........, ()} entonces |n"k=1 xk - m"k=1 x(n)| " "n=3 |xn| < /3 !

! |s - t| <  ("  > 0)

Hemos probado que:

Absolutamente sumable ! incondicionalmente sumable (reordenable)

También es cierto:

Sumable, no absolutamente sumable!no incondicionalmente sumable (no reordenable)

(condicionalmente sumable)

Para ver esto último se procede de la siguiente manera:

1º.- Se ve que si una serie es sumable, pero no absolutamente sumable, entonces tiene infinitos términos positivos e infinitos negativos.

2º.- La serie formada por los infinitos términos positivos (negativos) no es sumable (“suma” + y -, respectivamente, como ocurre por ejemplo en"n=1 (-1)n/n)

3º.- La serie en cuestión, puede reordenarse de forma que la sucesión de sumas parciales tenga a cualquier intervalo cerrado como conjunto de valores de adherencia.

Criterios de sumabilidad (o de convergencia) para series de términos positivos:

Dada la serie "n=1 xn, tal que xn > 0, (n " N), se trata de saber si esa serie es sumable o no (no de calcular su “suma”).

Una cuestión esencial en este asunto, es el hacho de que la sucesión de sumas parciales de una serie de términos positivos es monótona creciente.

Por tanto, es convergente si sólo si es acotada, si sólo si lo es alguna de sus subsucesiones.

Criterio de comparación.

Sean "n=1 xn , "n=1 yn series de términos positivos.

Si se verifica que xn " yn, para todo n (o todo n salvo finitos) y si "n=1 yn es sumable, entonces "n=1 xn también lo es.

Por lo mismo, si "n=1 xn no es sumable, "n=1 yn tampoco lo es.

Demostración:

Basta tener en cuenta que x1 + ..... + xn " y1 + ..... + yn, y por tanto, (y1 + ..... + yn) creciente acotada ! (x1 + .... + xn) creciente.

En otras palabras, una serie de términos positivos que tiene mayorante sumable, es sumable, y una serie de términos positivos que tiene minorante no sumable, no es sumable.

Este criterio está en la base de todos los criterios de sumabilidad para series de términos positivos.

Criterio de comparación por paso al cociente:

Sean "n=1 xn, "n=1 yn series de términos positivos.

Supongamos que se verifica que lim. n! xn/yn = a (0 " a " +)

Entonces:

1º.- Si 0 < a < +, ambas series son sumables, o ambas son no sumables.

2º.- Si a = 0, "n=1 yn sumable ! "n=1 xn sumable, y si "n=1 xn no sumable !

"n=1 yn no sumable.

3º.- Si a = +, al revés que la anterior.

Ejercicio: En el “criterio de comparación”, ver que: basta con que xn " yn se verifique para todos los n " N, salvo finitos.

Indicación: hacer uso del hecho de que si cambiamos finitos términos de una serie, la serie resultante tiene el mismo carácter (sumable o no sumable) que la dada.

Demostración:

1º De la definición de límite se sigue que "  " N a/2 < xn/yn < 3a/2 (n > ) (nota: dado  = a/2, "  " N / n >  ! |xn/yn - a| < a/2)

Por tanto, cuando n >  ! yn < 2/a xn

xn < 3a/2 yn

Es decir, la serie "n=1 2/a xn es mayorante (salvo finitos) de la "n=1 yn y la serie "n=1 3a/2 yn es mayorante (salvo finitos) de la "n=1 xn

Nótese que cualquiera que sea  " 0, "n=1 xn es sumable si sólo si lo es "n=1 xn

2º De la definición de límite se sigue que "  " N / n >  ! xn/yn < 1 basta tomar cualquier nº positivo !

! xn < yn (n > )

3º De la definición de límite se sigue que, "  " N / n >  ! xn/yn > 1 ! yn < xn (n > )

Ejemplos:

La serie "n=1 1/(3n+5) no es sumable porque:

Lim n! [1/(3n+5)]/(1/n) = lim n! n/(3n+5) = lim n! 1/(3+5/n) = 1/3

"n=1 1/n no es sumable, esa tampoco.

La serie "n=1 1/(3n2 + 2n + 1) si es sumable porque, lim n! [1/(3n2+2n + 1)]/(1/n2) = 1/3 y la serie "n=1 1/n2 también es sumable.

A la vista está que para aplicar estos criterios es necesario contar con una “bateria” de series cuyo comportamiento (sumabilidad o no) es conocido.

Cuando no existe lim n! xn/yn

Proposición:

Si 0 < lim n! inf xn/yn " lim n! sup xn/yn < + entonces "n=1 xn es sumable si solo si lo es "n=1 yn

Demostración:

Supongamos que 0 < a = lim n! inf xn/yn " lim n! sup xn/yn = b < +

! todos salvo finitos los xn/yn __________________!

_|__|__|________|____________|___

0 a/2 a b 2b

!____________________todos salvo finitos los xn/yn !

De la definición de límite inferior (superior) se sigue que: "  " N / n >  ! xn/yn > a/2

es decir, yn < 2/a xn, (n > )

" ' " N / n > ' ! xn/yn < 2b, es decir, xn < 2b yn, (n > ') !

-la serie "n=1 xn es salvo finitos términos y un factor multiplicativo > 0, mayorante

de la "n=1 yn

!

-La serie "n=1 yn es salvo finitos mayorante de "n=1 xn

¿Qué ocurre si a=0 ó b=+? (el caso a=b es el de existencia de lim n! xn/yn, ya tratada

anteriormente).

- Caso: 0 = a < b < + solo tenemos que, " ' " N / n > ' ! xn/yn < 2b, xn < 2b yn

Es decir, "n=1 yn sumable ! "n=1 xn sumable

- Caso: 0 < a < b = +, sólo tenemos que, "  " N / n >  ! xn/yn > a/2, yn < 2/a xn

Es decir, "n=1 xn sumable ! "n=1 yn sumable

- Caso extremo: 0 = a < b = + (no tenemos nada)

Ejemplo:

La serie 1 + 1/22 + 1/"3 + 1/42 + 1/"5 + 1/62 + 1/"7 + ........... comparada con la armónica 1 + ½ + 1/3 + ¼ + ............. de a = 0, b = + (lo anterior no dice nada)

Ejercicio:

Compárese con la "n=1 1/n2 o con la "n=1 1/"n

Hemos visto “criterios de comparación” (de una serie de términos positivos con otra). Veamos ahora criterios intrínsecos (no aparece en ellos más que la serie, de términos positivos, cuya sumabilidad, o no sumabilidad, queremos conocer. Sin embargo, está “escondido” en ellos un criterio de comparación con series geométricas, que aparecerá en la demostración de las proposiciones).

Proposición: (criterio de cociente o de D' Alembert)

Sea "n=1 xn una serie de términos positivos, se verifica:

1.- Si lim n! sup xn+1/xn < 1, la serie es sumable

2.- Si lim n! inf xn+1/xn > 1, la serie no es sumable

3.- Si lim n! inf xn+1/xn " 1 " Si lim n! sup xn+1/xn < 1, el criterio no dice nada (puede

ocurrir cualquier cosa).

Demostración:

1.- Sea lim n! sup xn+1/xn < 1 y sea a < b < 1

! todos salvo finitos xn+1/xn están aquí !! salvo finitos xn+1/xn

_|_____|_____|___|________

0 a b 1

"  "N / n "  ! xn+1/xn < b, es decir, x+1 < x b

x+2 < x b < x b2

x+3 < ...... < x b3

............................

x+k < ...... < x bk

Osea la serie x1 + x2 + ......... + x-1 + x + x b + x b2 + ....... que es sumable, salvo finitos términos, geométrica de razón b < 1 es mayorante de la dada ! la dada es sumable.

2.- Supongamos que lim n! inf xn+1/xn = a > 1 entonces a la izquierda de cualquier entorno de a sólo quedan finitos xn+1/xn.

Es decir, "  " N / n >  ! xn+1/xn > 1 ! (xn) no ! 0

0 < x+1 < x+2 < x+3 < ............... ! "n=1 xn no es sumable

3.- Para esto basta poner ejemplos:

"n=1 1/n no es sumable y le ocurre que lim n! xn+1/xn = 1

"n=1 1/n2 si es sumable y le ocurre lo mismo

Este criterio no sirve para estudiar la sumabilidad de series tan importantes como la armónica. Da el caso 3 para toda "n=1 1/np

Proposición: (criterio de la raíz o de Cauchy)

Sea "n=1 xn una serie de términos positivos y sea a = lim n! sup n"xn, se verifica:

1.- Si a < 1, la serie es sumable

2.- Si a > 1, la serie no es sumable

3.- Si a = 1, puede ocurrir cualquier cosa.

Demostración:

3.- Basta considerar que "n=1 1/n no es sumable y se verifica que lim n! n"(1/n) = lim n! 1/n"n = 1

O que "n=1 1/n2 si es sumable y que se verifica que lim n! n"(1/n2) = lim n! 1/n"n2 = 1

1.- ! finitos n"xn

_|_____|_____|___|________

0 a b 1

Sea a < b < 1. De la definición de límite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos n"xn. Es decir, "  " N / n >  ! n"xn < b, xn < bn. Por tanto, la serie x1 +......+ x-1 + b + b+1 + ........... + b+k + ....... es mayorante de la dada, x1 + x2 + x3....., y sumable (es sumable porque salvo finitos términos es geométrica de razón b y 0 < b < 1). Por tanto la dada es sumable.

2.- ! infinitos n"xn

_|_____|_____|___________

0 1 a

De la definición de lim sup. Se sigue que hay infinitos n"xn que son mayores que 1. Es decir, infinitos xn > 1. Luego (xn) no ! 0 ! la serie no es sumable.

Puede probarse que lim n! inf xn+1/xn " lim n! inf n"xn " lim n! sup n"xn " " lim n! sup xn+1/xn

Por consiguiente el criterio de la raíz es mejor que el del cociente.

Puede ocurrir que el del cociente de el caso 3 y el de la raíz el caso 1.

Cuando estudiamos la sumabilidad de series armónicas "n=1 1/np (sumable si solo si p>1) utilizamos un “truco” que puede utilizarse en muchos más casos. (repasarlo)

De hecho puede anunciarse como proposición de la siguiente forma:

Proposición:

Sea "n=1 xn una serie de términos positivos tal que (xn) 0. La serie es sumable ! la es la "n=1 2n x2

Demostración: es fácil ver por donde va, repasando aquello de las armónicas.

Ejercicio: Ver que la serie "n=1 1/[n(log n)p] es sumable ! p > 1

Aplicando dos veces la misma proposición que lo mismo ocurre con

"n=1 1/[n log n (log (log n))p]

Los criterios de sumabilidad que hemos visto para series de términos positivos sirven para estudiar la sumabilidad de series de términos cualesquiera.

Por definición la serie "n=1 xn, es absolutamente sumable cuando la serie de términos positivos "n=1 |xn| es sumable.

La sumabilidad absoluta es más importante que la ordinaria (las serie absolutamente sumables con las reordenables incondicionalmente sumables).

Los criterios del cociente y la raíz tienen esta forma:

Proposición:

Sea "n=1 xn una serie sin ceros, se verifica que:

1.- Si lim n! inf |xn+1/xn| < 1, la serie es absolutamente sumable.

2.- Si lim n! inf |xn+1/xn| > 1, la serie no es sumable, (no es sumables y menos

absolutamente sumable)

3.- Si lim n! inf |xn+1/xn| " 1 " lim n! sup |xn+1/xn| puede ocurrir cualquier cosa, que sea

absolutamente sumable, que sea

sumable pero no absolutamente

sumable o que no sea sumable

Demostración:

1.- Ya la hemos visto.

2.- Recuérdese la correspondiente proposición para serie de términos positivos, véase

que, 2 ! (|xn|) no ! 0 ! (xn) no ! 0

3.- Series que verifican:

lim n! |xn+1/xn| = 1

"n=1 (-1)n/n2 absolutamente sumable

"n=1 (-1)n/n sumable no absolutamente sumable

2 - 1 + 2/2 - ½ + 2/3 - 1/3 + 2/4 - ¼ + 2/5 - 1/5 .................

|xn+1/xn| = (½ , 1, ½, 4/3, ½, 3/2, ½, 8/5, ½,..........)

lim n! inf |xn+1/xn| = ½ lim n! sup |xn+1/xn| = 2

Proposición:

Sea "n=1 xn una serie y sea a = lim n! sup n"|xn| (nótese que xn+1/xn tiene sentido para todo n, pero n"xn no tiene sentido cuando.......

Se verifica que:

1.- Si a < 1 la serie es absolutamente sumable (ya lo sabemos)

2.- Si a > 1 la serie no es sumable (ya lo sabemos porque 2 ! (|xn|)no!0 ! (xn)no!0)

3.- Si a = 1 puede ocurrir cualquier cosa (lo mismos ejemplos de antes).

Estos criterios no sirven para averiguar la “sumabilidad”, sirven para averiguar la “absolutamente sumabilidad”.

Existen también criterios de sumabilidad de serie de términos cualesquiera.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función de este tipo es una “aplicación”.

f: A " R ! R

x " A ! f(x) " R

A cada x " A asegura un, y sólo un f(x) " R. A es el dominio o conjunto de definición de f. El rango o conjunto imagen de f, {x " R / f(x)=y para algún x " A}

La función se dice inyectiva cuando x, y" A, x " y ! f(x) " f(y) (puntos distintos, imágenes distintas).

Las funciones las representamos así:

Es inyectiva cuando en cada línea

Horizontal hay, a lo sumo, un valor

Las operaciones usuales de adición y multiplicación en el conjunto imagen, R, de estas funciones, induces tres operaciones importantes en el conjunto de funciones de variable real.

Adición:

Dada f: A " R ! R y g: B " R ! R definimos f + g: A B " R ! R de la siguiente forma x " A B, (f + g) (x) = f(x) + g(x)

De las propiedades de la adición de números reales, se siguen inmediatamente las propiedades análogas de la adición de funciones:

f + g = g + f

f + (g + h) = (f + g) + h

Multiplicación:

f · g: A B " R ! R, (f · g) (x) = f(x) · g(x)

Con ciertas propiedades.

Multiplicación por escalares

 " R, f: A " R ! R, (f) (x) =  f(x)

Dado A " R, llamamos f " f (A, R) al conjunto formado por todas las funciones de A en R.

Es fácil ver que: