Álgebra

Matemáticas. Valores. Vectores. Matrices

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FINAL ÁLGEBRA JUNIO 2002

PROBLEMAS:

1.- Discutir el siguiente sistema según los valores de a y b

2.- Consideremos los subespacios V y W en , definidos como sigue:

  • Calcular bases, dimensiones, ecuaciones paramétricas, ecuaciones implícitas de V, W, V+W, VW

  • ¿Están en suma directa V y W? Calcule un subespacio suplementario de V y un subespacio suplementario de VW

  • 3.- Se consideran A= y C=, siendo el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Sea f:AC el homomorfismo definido por las condiciones siguientes:

    *Los polinomios p(x) de sin término independiente se transforman en sí mismos

    *El núcleo de f es el subespacio de los polinomios de que tienen los tres coeficientes iguales.

    Se pide:

  • Matriz del homomorfismo f en la base canónica de , B=

  • Base del subespacio transformado del subespacio de ecuaciones paramétricas:

  • Matriz del homomorfismo f considerando en A la base y en C la base canónica

  • 4.- Sea un espacio euclídeo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;

  • Sea V =Calcule las ecuaciones paramétricas de y las ecuaciones implícitas de

  • Calcule una base ortonormal de

  • FINAL ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2002

    PROBLEMAS:

    1.- Estudiar para qué valores reales de la t, la siguiente matriz es diagonalizable en el campo real:

    2.- La productora de cine CINEMA planea la realización de un corto para darse a conocer. Para ello, ha de contratar operarios (de sonido, cámaras,..) Contratar actores “famosillos” y contratar actores de reparto. Para contratar actores, tanto famosillos como de reparto, realiza un casting previo durante 2 días. Necesita 10 días para negociar y contratar los actores famosillos, 5 días para la contratación de los actores de reparto y 5 días para la contratación de los distintos operarios. Una vez contratado todo el personal (operarios y actores) comienza una campaña publicitaria de 5 días de duración. Necesita 10 días para diseñar y preparar las diferentes localizaciones y decorados. Terminando el asunto del decorado y las contrataciones, pero sin tener en cuenta la campaña publicitaria, realizará una serie de ensayos durante 3 días, tras los cuales comenzará a rodarse el corto.¿ Conseguirá empezar a rodar el corto antes e 20 días? Para su comprobación se pide: relaciones de precedencias, grafo PERT asociado, tiempos, duración, holguras y caminos críticos.

    3.- Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales: Sea f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:

  • f(1+x)=2-x

  • El núcleo coincide con la imagen, es decir, Kerf=Imf

  • Se pide:

  • Matriz del endomorfismo en la base B={1,x}

  • Calcular una base de f(W) siendo W el subespacio de ecuación donde son coordenadas en la base B

  • Imagen inversa del conjunto {(1,1),(0,0)}

  • 4.- Sea una base del espacio vectorial euclídeo definida por las condiciones métricas siguientes:

  • Hallar el subespacio ortogonal al subespacio generado por los vectores en la base dada

  • Calcular una base ortonormal para el producto escalar definido