VISUALIZACIÓN, SEMIOSIS E INTUICIÓN EN LA

ENSEÑANZA DE LAS FUNCIONES EN MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

Debido a que el tema de estudio está enfocado hacia la Visualización, se ha creído conveniente y -sobre todo necesario- elaborar un artículo que hable de esta teoría del pensamiento.

De este modo, aquí encontraremos algunos puntos de vista sobre la Visualización como un proceso del pensamiento matemático, primero revisando algunas posturas de teóricos sobre este menester, para después acercarnos a la idea de pensamiento matemático.

En un segundo momento, estudiaremos la Teoría de Semiosis; esto, porque las representaciones están fuertemente ligadas con la Visualización; así, basados en los estudios de R. Duval abordaremos tres actividades cognitivas ligadas a la Semiosis: a) La formación de una representación identificable; b) El tratamiento de una representación, y c) La Conversión de una representación, explicando brevemente a qué se refiere cada una. Además de que reflexionaremos en la afirmación de: “No puede haber noesis sin semiosis”.

Para un tercer momento, se explica de forma muy breve la Teoría de Intuición en las matemáticas y ciencias, desarrollada por Efraim Fischbein. Encontraremos descritas las propiedades de la Intuición, relacionándolas con hechos reales que con regularidad acontecen en el aula, reflexionando sobre nuestras prácticas pedagógicas y los procesos de aprendizaje de los contenidos matemáticos.

Nos daremos cuenta cómo la intuición ha sido relegada en los salones de clase, debido a que la gran mayoría de profesores cree erróneos e incluso inútiles los procesos intuitivos que los estudiantes pueden aportar ante una situación problemática, considerando los procesos formales -que él explica- como únicos y válidos en los aprendizajes.

1. LA VISUALIZACIÓN COMO UN PROCESO

DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO

1.1. ¿Qué se entiende por Visualización?

A continuación se presenta un par de definiciones que presentan dos teóricos mexicanos con lo que concierne a visualización.

Por un lado, Hitt (2002, p. viii), destaca que:

“La visualización matemática tiene que ver con el entendimiento de un enunciado y la puesta en marcha de una actividad, que si bien no llevará a la respuesta correcta sí puede conducir al resolutor a profundizar en la situación que se está tratando. Una de las características de esta visualización es el vínculo entre representaciones para la búsqueda de la solución a un problema determinado”.

Mientras que Cantoral y colaboradores (2000, p. 146), escriben que:

“... se entiende por visualización la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas áreas del conocimiento matemático y, más generalmente, científico”.

De los dos párrafos anteriores, se destacan posturas que convergen, si no textualmente, sí en las ideas, pues Hitt habla de un vínculo entre representaciones, mientras que Cantoral señala una habilidad para representar, además de considerar a la visualización como un proceso que es empleado en la matemática (y demás ciencias).

Por otra parte, reconoce Cantoral que la visualización, es un “aspecto que está siendo descuidado en la enseñanza. -Aseverando que- si queremos lograr que nuestros alumnos aprendan matemáticas, inevitablemente tienen que visualizar. Pero la visualización no se entrena en la escuela y debe ser entrenada, es decir, es una habilidad que tiene que ser desarrollada a lo largo de la vida de un estudiante”.

Como se observa, se hace un llamado a los profesores de matemáticas para incorporar, promover y desarrollar el proceso de visualización en la escuela con los estudiantes.

Cabe apuntar que, se debe hacer una diferenciación entre ver y visualizar, de tal suerte que el ver se reduce a una capacidad fisiológica, mientras que la visualización es un proceso cognoscitivo -propio del ser humano- que está vinculado con la cultura del sujeto: historia, ideología, tradiciones, costumbres, valores, etc.

1.2. Pensamiento matemático

El Dr. Ricardo Cantoral y coautores con su obra “Desarrollo del pensamiento matemático” tienen el objetivo de profundizar en el conocimiento del pensamiento matemático, a fin de favorecer decisiones relativas a la elaboración y análisis de situaciones didácticas en el campo de la matemática escolar.

¿Qué entendemos por pensamiento matemático?

Se refiere a las “formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente un contenido específico, en nuestro caso, las matemáticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos propiamente matemáticos” (p. 18).

Cantoral y coautores describen tres formas distintas de interpretarse el pensamiento matemático (p. 19), a saber:

Quiere decir que todos tenemos la potencialidad para lograr un pensamiento matemático en la medida que nuestra experiencia vaya desarrollándose, sólo que este pensamiento depende de nosotros; y más aún, en el papel de profesores debemos promover en nuestros alumnos un pensamiento matemático a través nuestras prácticas pedagógicas que deberán ser cada vez más innovadoras.

Ahora bien, se ha reconocido que el pensamiento matemático en un sentido moderno incluye por un lado, pensamientos sobre tópicos matemáticos, y por otros procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis (p. 20).

2. REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA

2.1. ¿Qué es la Semiología?

La semiología es la ciencia que estudia los sistemas de signos: lenguas, códigos, señalizaciones, etc. Ferdinand de Saussure la concibió "como la ciencia que estudia la vida de los signos en el seno de la vida social".

Actualmente, no hay consensos, ni autor que se atribuya o tome la iniciativa de plasmarla en una especie de manual.

Se propone que la semiología sea el continente de todos los estudios derivados del análisis de los signos. (Wikipedia, 2004).

La descripción anterior de la Semiología, orienta nuestra atención a los “signos”. Del mismo modo, Raymond Duval (1999-a) habla de la semiosis, sólo que relacionada con las representaciones, escribiendo que:

Las representaciones semióticas, es decir, aquellas producciones constituidas por el empleo de signos (enunciado en lenguaje natural, fórmula algebraica, gráfico, figura geométrica...) no parecen ser más que el medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales; es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los otros. Las representaciones semióticas estarían, pues, subordinadas por entero a las representaciones mentales y no cumplirían más que funciones de comunicación. (p. 14).

Sin embargo, el mismo Duval advierte que, “las representaciones mentales cubren al conjunto de imágenes y, globalmente, a las concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre lo que está asociado.” (Duval, 1999-b). De este modo, estaremos de acuerdo en afirmar que “Las representaciones no solamente son necesarias para fines de comunicación, sino que son igualmente esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento.” (Duval, 1999-b).

Por otra parte, debemos dirigir nuestra atención a la noesis, que es considerada como la aprehensión conceptual de un objeto, pero la interrogante es ¿cómo el pensamiento humano puede apropiarse de un objeto y conceptualizarlo? Tendremos que pensar en ”algo” que ayude a interiorizar el objeto; esta operación descansará en una representación que, parece ser ese “algo” que facilite la interiorización de tal objeto.

Con lo anterior, concluimos que no puede haber noesis sin semiosis; es decir, no puede haber aprensión conceptual de un objeto sin algún representante de éste; además de que tal objeto no debe ser confundido con sus representaciones de varios registros.

Pensemos en algún signo, por ejemplo “1”, éste es un ente abstracto, y lo distinguimos como un número y, de hecho, todos los números son entes abstractos; sin embargo hay una representación semiótica para referirnos de él, y esta representación es interiorizada (codificada) a través de la noesis, lo cual provoca interiorizar ese signo como el número uno.

2.2. Tres actividades cognitivas ligadas a la Semiosis

- La formación de una representación identificable

Para conseguir la formación de una representación identificable, debemos llevar a cabo una selección de rasgos y de datos en el contenido por representar; tal selección depende de unidades y reglas de formación que son propias del registro semiótico en el cual se produce la representación.

Dicha formación respetará las reglas del registro y éstas asegurarán “en primer lugar, las condiciones de identificación y de reconocimiento de la representación y, en segundo lugar, la posibilidad de su utilización para los parámetros. Son reglas de conformidad, no son reglas de producción efectiva de un sujeto.” (Duval, 1999-b, p. 177).

- El tratamiento de una representación

Cuando nos referimos al Tratamiento de una representación, debemos pensar en una transformación que se lleva a cabo dentro del mismo registro donde ha sido formada dicha representación. El tratamiento es una transformación interna a un registro.

“Naturalmente, existen reglas de tratamiento propias de cada registro. Su naturaleza y su número varían considerablemente de un registro a otro” (Duval, 1999-b, p. 178). Así, en el caso del lenguaje algebraico, tenemos por ejemplo, , [un binomio elevado al cuadrado] el cual está en un registro como una expresión algebraica. La expresión puede verse como un producto de binomios siguiendo con el mismo registro: expresión algebraica; o bien con la ley distributiva permaneciendo con expresiones algebraicas: en el mismo registro de representación, provocando transformaciones de tratamiento.

- La Conversión de una representación

Al hablar de Conversión de una representación, nos referimos a la transformación de dicha representación a una representación de otro registro. La conversión es una transformación externa al registro de partida.

Con el lenguaje gráfico podemos considerar el ejemplo de la función , vemos que es una expresión algebraica que al ser transformada a otro registro puede representar una Parábola en los ejes coordenados, o bien, también podemos transformarla a un registro de tabulación, donde nos daremos cuenta que el contradominio es el cuadrado de cada elemento del dominio; o bien, si la transformamos a una representación de parejas ordenadas, observaremos que las ordenadas son el cuadrado de las abscisas. Así, notamos que a pesar de que los registros de representación sean diferentes, la idea de que allí hay una función (o relación) no se abandona.

Por lo tanto: “La conversión es una actividad cognitiva diferente e independiente de la del tratamiento” (Duval, 1999-b, p. 178).

Sin embargo, el pasar de un registro de representación a otro (conversión) o representar un objeto en un mismo sistema representación (tratamiento) no es tan evidente para los alumnos. Por ejemplo, en el caso de la conversión de representaciones, si deseamos bosquejar la gráfica de la función , al alumno le cuesta trabajo entender que gráficamente esa expresión es una recta que pasa por y tiene pendiente positiva .

Vemos entonces que los problemas que enfrentan los alumnos para realizar el tratamiento y la conversión de representaciones, es una dificultad a la que Duval llama fenómeno de no-congruencia, el cual se da entre las representaciones de un mismo objeto que provienen de sistemas semióticos diferentes y el pasaje entre ellas no es inmediato. (Cfr. Duval, 1999-a).

De acuerdo con Duval, cuando los pasajes de una representación a otra se dan de manera espontánea, son congruentes y deben cumplir con tres condiciones:

Pero cuando no se cumple alguna de las tres condiciones, entonces diremos que las representaciones no son congruentes entre ellas y el pasar de una a la otra no es espontáneo.

Igualmente puede ocurrir que dos representaciones sean congruentes en un sentido de conversión y no congruentes en la conversión inversa. Por ejemplo “” y la representación gráfica cartesiana de dos cuadrantes determinados respectivamente por los semi-ejes y positivos, y negativos, son congruentes si se pasa de la escritura algebraica al gráfico, pero ya no lo son en el plano inverso. (Duval, 1999-a, p. 16).

Antes de continuar, merece atención destacar algo que es importante. Como ya hemos visto, las transformaciones de tratamiento y de conversión son independientes; sin embargo, la última puede confundirse con un par de actividades que están cercanas a ella: la codificación y la interpretación.

Duval (1999-b, p. 179) asegura, por un lado que, la interpretación requiere un cambio de marco teórico, o de un cambio de contexto. Este cambio no implica un cambio de registro, sino que con frecuencia moviliza analogías; y por otro que, la codificación es la trascripción de una representación en otro sistema semiótico distinto de aquél donde está dada.

3. INTUICIÓN

Reconociendo a la matemática como una ciencia pura, que ha sido creada por el hombre a través de la historia y que no ha sido «diseñada» -desde su estructura- para la enseñanza, podemos creer que su fundamento ha sido riguroso, esto porque las fórmulas, axiomas, teoremas, conceptos, etc., son en nuestra visión sólidos, llegando a creer, incluso, que la matemática está acabada, sin saber que aún hay problemas que no se han podido resolver.

Esta visión sólida, que se hace rígida con argumentos de que la matemática es exacta, invita a pensar que su evolución se ha basado en procesos formales, escondiendo los obstáculos por los que ha atravesado esta ciencia. En otras palabras, pensamos muy a menudo que, todo el edifico matemático ha sido creado sin dificultades y, que todo lo que está construido -en matemáticas- carece de intuición.

Sin embargo, si pensamos por ejemplo, en el Teorema de Pitágoras, sabemos que éste ya era utilizado en China cientos de años antes de que Pitágoras (580-500 a.n.e.) naciera; así, debemos imaginar cómo es que Pitágoras generaliza las operaciones que se venían dando. Seguramente, su intuición logró hacerlo, y ésta lo llevó a proponer la fórmula que hoy conocemos: (el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma del cuadrado de los catetos, para todo triángulo rectángulo).

Ahora bien, surge obligadamente una pregunta, ¿Qué se entiende por intuición? Algunos consideran la intuición como algo despreciable para las ciencias, por ser de carácter inmediato; mientras que otros la conciben cómo la fuente fundamental de cierto conocimiento; otros creen que “representa un método particular de atrapar la verdad, la esencia de la realidad [...] en nuestra interpretación [... la] intuición es una cognición caracterizada por las siguientes propiedades” (Fischbein, 2004):

La autoevidencia y la inmediatez. Una cognición intuitiva parece de manera subjetiva al individuo como directamente aceptable, sin necesidad de una justificación intrínseca [...]

La certeza intrínseca. Aun cuando la autoevidencia y la certidumbre están altamente relacionados no son reducibles una a la otra. [...] La alta intuitividad implica la combinación de un fuerte sentimiento de evidencia con un elevado nivel de confianza.

La perseverancia. Las intuiciones son adquisiciones estables, resistentes a interpretaciones alternativas.

La coercitividad. Las intuiciones ejercen un efecto coercitivo sobre las estrategias de razonamiento del individuo y sobre su selección de hipótesis y soluciones. [...] Las actitudes erróneas cognitivas inmaduras pueden sobrevivir en el individuo aun después de que él haya sido abastecido de representaciones y soluciones adecuadas.

El status de la teoría. Una intuición es una teoría, nunca una mera habilidad o percepción. Expresa una propiedad general percibida a través de una experiencia particular.

La extrapolaridad. Es a través de la intuición que extrapolamos de manera indirecta, a partir de una cantidad limitada de información, a datos que están más allá de nuestra percepción directa (por ejemplo, de lo finito a lo infinito). [...]

La globalidad. Una intuición es una cognición estructurada que ofrece una visión unitaria, global, en contraste con el pensamiento lógico el cual es explícito, analítico y discursivo. [..]

La implicitez. Aun cuando aparentemente autoevidentes, las intuiciones están basadas en complejos mecanismos de selección, globalización e inferencia. [...]

La función conductual cognitiva de las intuiciones. [...] la intuición es análogo de la percepción en el papel simbólico. [..]

Estas características aportadas por Fischbein nos dan luz con lo que respecta a las formas de proceder de un sujeto ante una situación. Específicamente, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, nos podemos dar cuenta de los procesos intuitivos que desarrolla el estudiante cuando resuelve un problema, al mismo tiempo que podemos diferenciarlos de los procesos formales desarrollados ante tal situación problemática.

Y como ya se mencionó en la coercitividad, en el caso de la enseñanza de las matemáticas, vemos a un gran número de alumnos que cometen errores en sus procesos, por ejemplo en la expresión , los alumnos regularmente contestan que y cuando se explica que tanto con operaciones algebraicas (multiplicación en este caso), como con una representación geométrica formado por un cuadrado con lado , los alumnos lo aceptan, se convencen.

Con el ejemplo del cuadrado del binomio, vemos que la intuición de los alumnos dicta lo que ellos responden, pero cuando aparecen algoritmos matemáticos, es decir, procesos «formales» como la multiplicación algebraica, los alumnos desechan su intuición; sin embargo y a pesar de que los procesos hayan sido formalizados en el aula, habrá alumnos que después, al enfrentarse otra vez ante esta situación, recuperen su idea inicial: .

Lo anterior suele pasar con regularidad en los exámenes, (o quizás sea porque es cuando tenemos mayor oportunidad de ver los procesos que los alumnos realizan) creando en el profesor cierta incertidumbre, provocando dudas en su enseñanza. Esta posible desilusión en el profesor, provoca muchas veces un severo rigor en la enseñanza y el aprendizaje, ocupándose menos de los procesos intuitivos de sus estudiantes, por considerarlos no válidos e incluso inútiles. A esto, Fischbein pone atención y declara un vacío entre los procesos intuitivos y formales, afirmando que tal vacío puede ser ocupado, a través de la solución de problemas.

Ahora bien, revisando el enfoque de la enseñanza de las matemáticas, nos damos cuenta que su propuesta está basada en la solución de problemas, tal como lo advierte Fischbein, sólo que no aparecen propuestas de cómo dirigir la intuición hacia los procesos formales, no así, declara la importancia de reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema, elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas, reconocer situaciones análogas, escoger y adaptar la estrategia adecuada, comunicar las estrategias, procedimientos y resultados y desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo (Cfr. SEP, 1993, p. 37).

Conferencia dictada por el Dr. Ricardo Cantoral Uriza: “Visualización y pensamiento matemático; estrategias de enseñanza” en 2002.

Todas las citas de este apartado 6.1.2. son tomadas de: CANTORAL, y otros. (2000).