VECTOR RENGLÓN Y COLUMNA

El vector es una matriz que tiene únicamente un renglón o una columna.

Vector renglón.- es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión 1x n y la forma general

R = (r11 r12 r13… r1n)

EJEMPLOS.- Las tres calificaciones obtenidas por el alumno 1 en la prueba pueden representarse por el vector renglón (1x3) A así

A = (75 82 86)

La matriz B que se da a continuación es un vector renglón (1 x 8)

B = (3 4 7 -6 2 0 1 -2)

La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, son 10 integrantes da un vector renglón (1 x 10)

A = ( 90 92 91 90 89 88 94 87 80 86)

Vector columna.- es una matriz que tiene una columna solamente. Un vector columna C que posea m elementos cj1 tiene la dimensión m x 1 y la forma general

c11

c21

C .

.

.

cm1

EJEMPLOS.- en la matriz anterior de las calificaciones conseguidas en la prueba obtenida por los cinco alumnos en el primer examen podrían representarse mediante el vector columna (5x1)

75

91

T= 65

59

75

La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, 1 alumno con las medidas de su cuerpo da un vector columna (3 x 1)

80

M = 71

85

MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones y columnas.

Si la dimensión de una matriz es m x n, una matriz cuadrada es tal que m = n. las siguientes matrices son cuadradas.

1 3 2 0 -3

A = (3) B = -5 4 C = 1 -4 5

0 2 6

Si una matriz A es cuadrada, algunas veces es posible ocuparse de un subconjunto de elementos aij que se encuentra a lo largo de la diagonal primaria de la matriz. Estos elementos se hallan en posiciones donde 1=j; por ejemplo a11, a22, a33, a44,…. ann. Los elementos de la diagonal principal de la matriz de la matriz B son b11=1, b22=4. Los elementos sobre la diagonal principal de la matriz C son c11=2, c22=-4, c33= 6.

MATRIZ IDENTIDAD

La matriz de identidad I, algunas veces denominada matriz unidad, es una matriz cuadrada en la cual los elementos situados sobre la diagonal principal son iguales a 1 y el resto de los elementos son iguales a 0.

Si eij denota un elemento generalizado dentro de una matriz de identidad, entonces

1 si i = j

eij = 0 si i = j

Las matrices

1 0 1 0 0

I = 0 1 I = 0 1 0

0 0 1

Son matrices de identidad de tipo (2x2) y (3x3)

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Hay veces en que es preciso rearreglar los elementos de datos en una matriz. Un rearreglo es formar la transpuesta de una matriz.

En la matriz A (m x n) con elementos aij, la transpuse de A, denotada por At, es una matriz (n x m) que contenga los elementos atij donde atij = aji

EJEMPLOS.-

Para encontrar la transpuesta de la matriz

3 2

A = 4 0

1 -2

Primero se determina la dimensión de At. Puesto que A es una matriz (3 x 2), At será una matriz (2x3) que tenga la forma

At = at11 at12 at13

at21 at22 at23

Empleando la anterior definición de obtiene

at11 = a11 = 3 at21= a12 = 2

at12 = a21 = 4 at22= a22 = 0

at13 = a23 = 1 at23= a32 = -2

At = 3 4 1

2 0 -2

A continuación se aplicara esta lógica para calcular la transpuesta de

3 0 6

B = 5 1 3

2 -1 4

Para formar la transpuesta de B, los renglones 1, 2 y 3 se convierten en las columnas 1, 2 y 3 de

Bt, o sea

3 5 2

Bt = 0 1 -1

6 3 4

Determina la dimensión de cada una de as siguientes matrices y obtenga la transpuesta

1.- (6 -8 2 3) (1x4) 6

-8

2

3

0 1

2.- 4 2 (4x2) 0 4 -5 1

-5 3 1 2 3 4

1 4

1 3 5

6 4 2 1 6 0 4 5

3.- 0 1 2 (5x3) 3 4 1 6 1

4 6 3 5 2 2 3 2

5 1 2

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Si se suman a las matrices A y B para formar una nueva matriz C, esta tendrá las mismas dimensiones que A y B. Los elementos de C se obtienen al sumar los elementos correspondientes de A y B. es decir,

cij = aij + bij para todas las i y las j

EJEMPLOS.-

1.- En las matrices

1 3 -3 2

A = 4 -2 y B = 0 4

1 3 -3 2

A + B = 4 -2 + 0 4

1 + (-3) 3 + 2 -2 5

= 4 + 0 -2 + 4 = 4 2

2.- Empleando las mismas matrices

-3 2 1 3

B - A = 0 4 - 4 -2

-3 - (1) 2 - (3)

= 0 - (4) 4 - (-2)

-4 -1

= -4 6

Multiplicación por escalares.-

El escalar es un número real. La multiplicación por escalares de una matriz es la multiplicación de esta por un escalar. El producto se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar.

EJEMPLOS

Si kA es un escalar y A la siguiente matriz (3x2) entonces

5 3 5 k 3k

kA = k -2 1 = -2k k

0 4 0 4k

Una fundación dedicada a la investigación de las políticas privadas hace un proyecto de que el consumo de energía se incrementara 20% en cada región y para todas las fuentes de energía entre 1987 y 1992. Si el consumo aumenta de acuerdo con la proyección, el consumo durante 1992 será del 120% más que en 1987. Así pues, el consumo proyectado en 1992 puede determinarse mediante la multiplicación por escalares, 1.2E, o sea

6.5 2.8 3.0 0.2 0.5 7.80 3.36 3.60 0.24 0.60

R =1.2 3.1 1.1 0.5 0.5 0.2 = 3.84 1.32 0.60 0.60 0.24

3.4 2.0 1.1 0.1 0.4 4.08 2.40 1.32 0.12 0.48

5.5 1.5 3.3 0.6 0.2 6.50 1.80 3.96 0.72 0.24

DETERMINANTES

Si una matriz es cuadrada, sus elementos pueden combinarse para calcular un número de valor real llamado determinante.

La determinante de la matriz

2 5

A = 3 -2

Puede detonarse escribiendo líneas verticales alrededor del nombre de la matriz o colocando líneas verticales en torno a los elementos de la matriz. La determinante de A puede indicarse por

2 5

A = 3 -2

Determinante de una matriz (1 x 1)

La determinante de una matriz (1x1) es simplemente el valor de un elemento contenido en la matriz. Si A = (5), A = 5. Si M = (-10), M = -10

Determinante de una matriz de (2x2)

En una matriz de (2 x 2) que tenga la forma

A = a11 a12

a21 a22

A = a11a22 - a21 a12

El cálculo incluye una multiplicación cruzada de los elementos de las dos diagonales, como se indica enseguida:

a11 x x a12

A = a22 - a21

Ejemplo.-

1 -2

Si A = 3 4

entonces A = (1) (4) - (3) (-2)

= 4 + 6 = 10

Determinante de una matriz de (3 x 3)

En la matriz (3 x 3)

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

La determinante puede encontrarse por medio del siguiente proceso:

1 se rescriben las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la matriz original.

2 se localizan los elementos en las tres diagonales primarias (P1, P2, P3) y los situados en las tres diagonales secundarias (S1, S2, S3)

S1 S2 S3

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

P1 P2 P3

3 Se multiplican los elementos en cada diagonal primaria y cada secundaria.

4 La determinante es igual a la suma de los productos de las tres diagonales secundarias.

En la forma algebraica la determinante se calcula así

A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13

-- a32a23a11 - a33a21a12

EJEMPLOS

Si se desea encontrar la determinante de la matriz

3 1 2

A = -1 2 4

3 -2 1

Las dos primeras columnas se rescriben a la derecha de la matriz original:

S1 S2 S3

3 1 2 3 1

-1 2 4 -1 2

3 -2 1 3 -2

P1 P2 P3

Se identifican las tres diagonales primarias y secundarias y la determinante se calcula como

A = [(3) (2) (1) + (1) (4) (3) + (2) (-1) (-2)] - [(3) (2) (2) + (-2) (4) (3) + (1) (-1) (1)]

= (6 + 12 + 4) - (12 - 24- 1) = 22 - 8-13) = 35

COLUMNAS AUMENTADAS Y COFACTORES

Un procedimiento de calculo mas generalizado aplicable a todas las matrices cuadradas de tamaño 2x2 o de un orden superior. Para una matriz cuadrada A puede encontrarse una matriz de cofactores que se denotara como Ac. La matriz de cofactores tendrá la misma dimensión que A y constara de elementos a´ij, los cuales se conocen con el nombre de cofactores. Por cada elemento aij contenido en A habrá un factor correspondiente a´ij

El cofactor asociado a un elemento aij se determina del modo siguiente:

1 Mentalmente o con lápiz tache el renglón i y la columna j en la matriz original. Concéntrese en los elementos restantes de la matriz. Estos constituyen una submatriz de la matriz original.

2 Encuentre la determinante de la submatriz restante. Esa determinante recibe el nombre de menor del elemento aij.

3 El cofactor a´ij se obtiene al multiplicar la menor por +1 o -1, según la posición que ocupe el elemento aij. Una formula para calcular el cofactor es

a´ij = (-1)1+j (el menor)

(La esencia de esta formula es que, si i + j es un numero par, la menor se multiplicara por +1, conservando su signo; si i + j es un numero impar, la menor se multiplicara por -1 y cambiara su signo)

EJEMPLOS.-

Para encontrar la matriz de cofactores para la matriz (2x2)

A = 5 -4

2 -2

Se comenzara con el cofactor correspondiente al elemento a11. Al tachar el renglón 1 y la columna 1, queda la submatriz (1x1) (-2). La determinante de esta submatriz

= 5 -4

2 -2 (-2)

submatriz

Es igual a -2 y por tanto es el menor. El cofactor se calcula como sigue

a´11 = (-1)1+1 (-2) = (-1)2 (-2)

= (1) (-2) = -2

Para los elementos restantes

• -4 a´12 = (-1) 1+2 (2)

2 -2 = (-1) (2) = -2

• -4 a´21 = (-1) 2+1(-4)

2 -2 = (-1) (-4) = 4

5 -4 a´22= (-1)2+2(5)

2 -2 = (1) (5) = 5

La matriz de cofactores es

Ac = -2 -2

4 5

Para obtener la matriz de cofactores para la matriz (3x3), se comienza con el elemento a11. Al cruzar una línea el renglón 1 y la columna 1, queda una submatriz (2x2):

3 1 2

A = -1 2 4 2 4

3 -2 1 -2 1

submatriz

El cofactor se calcula como

a´11 = (-1) 1+1 2 4

-2 1

= (-1)2[(2) (1) - (-2)(4)] = 1(10) = 10

Para el elemento a12, la tachar el renglón 1 y la columna 2, se obtiene

3 1 2

-1 2 4 -1 4

3 -2 1 3 1

submatriz

el cofactor a´12 se calcula de la siguiente manera

a´12 = (-1)1+2 -1 4

3 1

= (-1)3 [(-1)(1) - (3)(4)] = -1 (-13) = 13

Y ahora le toca al lector intentarlo. Compruebe que la matriz de cofactores es

10 13 -4

Ac = -4 -3 9

0 -14 7

Método de expansión por cofactores.- su objetivo es encontrar una forma generalizada de calcular la determinante. Se obtiene la determinante de una matriz de la siguiente forma:

1 Se selecciona un renglón o columna cualquiera de la matriz

2 Se multiplica cada elemento del renglón (columna) por su cofactor correspondiente y se suman los productos.

En una matriz A (m x m), la determinante puede encontrarse al ampliar un renglón i cualquiera conforme la ecuación

A = ai1a´i1 + ai2a´i2 + … + aima´im

De manera análoga, la determinante se calcula al ampliar una columna j cualquiera de acuerdo con la ecuación.

A = a1ja´1j + ai2ja´2j + … + amja´mj

Nota.- si su objetivo es encontrar la determinante, no será necesario calcular toda la matriz de cofactores. Basta determinar solo los cofactores del renglón o columna seleccionados para la expansión.

SOLUCIÓN INVERSA DE UNA MATRIZ 2x2/3x3

En algunas matrices puede identificarse otra matriz denominada la inversa. La relación entre una matriz A y su inversa A-1 es que el producto de A y A-1, es uno u otro orden, da origen a una matriz identidad, es decir,

A A-1 = A-1A = I

La inversa se parece al reciproco en el álgebra de números reales. Se obtiene un producto de 1 al multiplicar una cantidad b por su reciproco 1/b. En el álgebra de matrices, la multiplicación de una matriz por inversa da por resultado la matriz identidad.

OBSERVACIONES IMPORTANTES SOBRE LA INVERSA

I para que una matriz A tenga una inversa, tiene que ser cuadrada

II la inversa de A también será cuadrada y de la misma dimensión que A

III no toda matriz cuadrada posee una inversa

Una matriz tendrá inversa a condición de que todos sus renglones o columnas serán independientes, es decir, ningún renglón es una combinación lineal de renglones restantes. Si una matriz posee inversa, se le llama matriz no singular. Si no la tiene, se dice que es una matriz singular.

Ejemplo:

Puede verificarse que la matriz B la cual se da continuación, es una inversa de la matriz A al obtener los productos AB y BA

3 7 5 -7

A= 2 5 B= -2 3

3 7 5 -7 1 0

AB= 2 5 -2 3 = 0 1

5 -7 3 7 1 0

BA= -2 3 2 5 = 0 1

Como ambos productos dan resultado una matriz (2x2) puede afirmarse que la matriz B es la inversa de A, esto es

B = A-1

y que A es la inversa de B, o sea

A = B-1

Determinación de la inversa

Se cuenta con diversos métodos para calcular la inversa de una matriz. Uno de ellos se basa en el procedimiento de eliminación gaussiana.

Ejemplo:

Retornemos a la matriz A. si existe otra matriz B que se la inversa de A, tendrá la dimensión de 2x2. Los elementos de B se denotan como sigue:

b11 b12

B = b21 b22

Si A-1 = B

3 7 b11 b12 1 0

A B = I o 2 5 b21 b22 = 0 1

si se multiplica en el miembro izquierdo de la ecuación, el resultado sera

3b11 + 7b21 + 3b12 + 7b22 1 0

2b11 + 5b21 + 2b12 + 5b22 = 0 1

Para que estas dos matrices sean iguales, sus elementos respectivos han de ser iguales entre si, es decir

3b11 + 7b21 = 1 (1)

2b11 + 5b21 = 0 (2)

3b12 + 7b22 = 0

2b12 + 5b22 = 1

Si se desea determinar los valores b11 y b12, hay que resolver simultáneamente las ecuaciones 1 y 2. Para determinar b12 y b22 se deben resolver las ecuaciones 3 y 4.

Resolver individualmente por medio del método gaussiana, las transformaciones serían las siguientes:

3 7 1 3 7 0

2 5 0 2 5 1

1 0 b11 1 0 b12

0 1 b21 0 1 b22