VALORES CARACTERISTICOS, FORMAS CUADRATICAS Y VECTORES CARACTERISTICOS.

VALORES Y VECTORES

Sean T: V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v y un escalar V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar  tal que

Tv =v (1)

Si v " 0 y  satisface (1), entonces  se llama un eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor . Si V tiene una dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT.

Definición . Eigenvalor y eigenvector. Sea A una matriz de n * n con componentes reales&. El número  (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que Av = v. (2)

El vector v " 0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor .

• Esta definición es válida si A tiene componentes complejas; pero como las matrices que se manejarán tienen, en su mayoría, componentes reales, la definición es suficiente para nuestros propósitos.

Nota. La palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores característicos.

Ejemplo 1. Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de 2 * 2.

Sea A = 10 -18

• -11

Entonces

A 2 = 10 -18 2 = 2

1 6 -11 1 1

Así, 1 = 1 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v1 = 2

1

De manera similar, A 3 = 10 -18 3 = -6 = -2 3

2 6 -11 2 -4 2

de manera que 2 = -2 es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v2 = 3

2

Ejemplo 2. Eigenvalores y eigenvectores de la matriz identidad. Sea A = I, entonces para cualquier v " Cn, Av = Iv = v. Así, 1 es el único valor propio de A y todo v " 0 " Cn es un vector propio de I.

Suponga que  es un valor propio de A. Entonces existe un vector diferente de cero

x1

V = x2 " 0 tal que Av = v = Iv. Rescribiendo esto se tiene (A - I)v = 0 (3)

:

xn

Sea A una matriz de n * n, la ecuación (3) corresponde a un sistema homogéneo de n ecuaciones con las incógnitas x1, x2, ..., xn. Como se ha supuesto que el sistema tiene soluciones no triviales, se concluye que det (A - I) = 0. Inversamente, si det (A - I) = 0, entonces la ecuación (3) tiene soluciones no triviales y  es el valor propio de A. Por otro lado, si det (A - I) " 0, entonces la única solución a (3) es v = 0 de manera que  no es un eigenvalor de A.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios

Se encuentra p() = det (A - I).

Se encuentran las raíces 1, 2, . . . , m de p( ) = 0.

Se resuelve el sistema homogéneo (A - iI)v = 0, correspondiente a cada valor propio i.

Observación 1. Por lo general el paso ii) es el más dificil.

Ejemplo 3. Cálculo de valores y vectores propios. Sea A = 4 2

3 3

4 -  2

Entonces det (A - I) = 3 3 -  = (4 - )(3 -) - 6 = 2 - 7 + 6 = ( - 1)( - 6) = 0.

Entonces los valores propios de A son 1 = 1 y 2 = 6. Para 1 = 1 se resuelve (A - I)v = 0 o

3 2 x1 = 0

3 2 x2 0

Es claro que cualquier vector propio correspondiente a 1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Un vector propio de este tipo es v1 = 2

-3

Así, E1 = gen 2

-3

-2 2 x1 = 0

De manera similar, la ecuación (A - 6I)v = 0 significa que 3 -3 x2 0 o x1 = x2.

Entonces v2 = 1 es un vector propio correspondiente a 2 = 6 y E6 = gen 1 .

• 1

Observe que v1 y v2 son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.

Nota. No importa si se establece 1 = 1 y 2 = 6 o 1 = 6 y 2 = 1.

POLINOMIO CARACTERISTICO Y ECUACION CARACTERISTICA

Teorema 1. Sea A una matriz de n * n. Entonces  es un valor propio de A sí y sólo sí

(4)

Definición. Ecuación y polinomio característicos. La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p() se llama el polinomio característico de A.

Como será evidente p() es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si A = a b

c d

Entonces, A - I = a b  0 = a -  b

c d 0  c d - 

y p() = det ( A - I) = ( a - )(d - ) - bc = 2 - (a + b) + (ad - bc).

Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio ( - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que

Teorema 2. Sea  un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E = {v: Av = v}. Entonces E es un subespacio de Cn.

Demostración. Si Av = v, entonces (A - I)v = 0. Así E es el espacio nulo de la matriz A - I, que es un subespacio de Cn.

Definición. Espacio propio. Sea  un valor propio de A. El subespacio E se llama espacio propio& de A correspondiente al valor propio .

• Observe que 0 " E ya que E es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.

Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios.

Demostración. Como A y B son semejantes, B = C-1AC y

Det (B -  I) = det (C-1AC -  I) = det [C-1AC - C-1( I)C]

= det [C-1(A -  I)C] = det (C-1) det(A -  I) det (C)

= det (C-1) det (C) det (A -  I) = det (C -1C) det (A -  I)

= det I det (A -  I) = det (A -  I)

Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.

DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ DE N * N

Definición 1. Matrices semejantes. Se dice que dos matrices A y B de n * n son semejantes si existe una matriz invertible C de n * n tal que

(1)

La función definida por (1) que lleva la matriz A en la matriz B se llama transformación de semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como

T(A) = C-1AC

Nota. C-1 (A1 + A2)C = C-1A1C + C-1A2C y C-1("A)C = "C-1AC de manera que la función definida por (1) es, de hecho, una transformación lineal.

Nota. Suponga que B = C-1 AC. Entonces al multiplicar por la izquierda por C, se obtiene CB = CC-1 AC, o sea

CB = AC (2)

La ecuación (2) con frecuencia se toma como una definición alternativa de semejanza:

Definición 2. Matriz diagonalizable. Una matriz A de n * n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D .

Observación. Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces A y D tienen los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonalizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.

Teorema 1. Una matriz A de n * n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A está dada por

Donde 1, 2, . . ., n son los valores propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces

(3)

Ejemplo 1. Diagonalización de una matriz de 2 * 2. Sea A = 4 2

3 3

2 1

v1 = -3 y v2 = 1

Después, haciendo C = 2 1 , se encuentra que

-3 1

C-1AC = 1 1 -1 4 2 2 1

5 3 2 3 3 -3 1

= 1 1 -1 2 6 = 1 5 0 = 1 0

5 3 2 -3 6 5 0 30 0 6

que es la matriz cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.

FORMAS CUADRATICAS Y CANONICAS

Se pueden usar formas cuadráticas para obtener información sobre las secciones cónicas en R2 (círculos, parábolas, elipses, hipérbolas) y extender está teoría para describir ciertas superficies, llamadas superficies cuadráticas, en R3. Las formas cuadráticas surgen en una gran variedad de aplicaciones que van de la descripción de las funciones de costo en economía al análisis del control del recorrido de un cohete en el espacio.

Definición 1. Ecuación cuadrática y forma cuadrática.

Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de la forma:

Donde |a| + |b| + |c| " 0. Esto es, al menos uno de los números a, b, c y c es diferente de cero.

Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma

Donde |a| + |b| + |c| " 0.

Es evidente que las ecuaciones y las formas cuadráticas tiene una fuerte relación.

Definición 2.

x1

Forma cuadrática. Sea v = x2 y sea A una matriz simétrica de n * n.

:

xn

Entonces una Forma cuadrática en x1, x2, ..., xn es una expresión de la forma

F(x1, x2, ..., xn) = Av * v

Ejemplo 1. Una forma cuadrática en cuatro variables. Sea

2 1 2 -2 x1

A = 1 -4 6 5 y v = x2

2 6 7 -1 x3

-2 5 -1 3 x4

2 1 2 -2 x1 x1

Av * v = 1 -4 6 5 x2 x2 =

2 6 7 -1 x3 x3

-2 5 -1 3 x4 x4

= 2x21 + 2x1x2 - 4x22 + 4x1x3 + 12x2x3 + 7x23 - 4 x1x4 + 10x2x4 - 2x3x4 + 3x24 (después de simplificar).

Ejemplo 2. Una matriz simétrica que corresponde a una forma cuadrática en cuatro variables.

Encuentre la matriz simétrica A que corresponde a la forma cuadrática

5x21 - 3x1x2 + 4x22 + 8x1x3 - 9x2x3 + 2x23 - x1x4 + 7x2x4 + 6x3x4 + 9x24

Solución. Si A = (aij), entonces se ve que aij es el coeficiente del término x21 y aij + aji es el coeficiente del término xixj. Como A es simétrica, aij = aji; así, aij = aji = ½. (coeficientes del término xixj). Uniendo todo esto se obtiene

5 - 4 -

A = - 4 -9/2 7/2

4 -9/2 2 3

- 7/2 3 9

Forma canónica de jordan. Las matrices de n * n con n vectores propios linealmente independientes se pueden expresar en una forma especialmente sencilla mediante una transformación de semejanza. Por fortuna, como “la mayor parte” de los polinomios tiene raíces distintas, “la mayor parte” de las matrices tendrán valores propios distintos.

Las matrices que no son diagonalizables (es decir, que no tiene n vectores propios literalmente independientes)surgen en la práctica. En este caso, todavía es posible demostrar que la matriz es semejante a otra, una matriz más sencilla, pero la nueva matriz no es diagonal y es más difícil obtener la matriz de transformación C.

Se define la matriz de Nk como la matriz de k * k

Observe que Nk es la matriz con unos arriba de la diagonal principal y ceros en otra parte.

Para un escalar dado  se define la matriz de bloques de Jordan & B() por

Es decir, B() es la matriz de k * k con el escalar  en la diagonal, unos arriba de la diagonal y ceros en otra parte.

Nota. Se puede (y con frecuencia se hará) tener una matriz de bloques de Jordan de 1 * 1. Esa matriz toma la forma B() = ().

Una matriz de jordan J tiene la forma

B1(1) 0 ... 0

J = 0 B2(2) ... 0

: : :

0 0 ... Br(r)

donde cada Bj(j) es una matriz de bloques de Jordan. Entonces una matriz de Jordan es una matriz que tiene en la diagonal matrices de bloques de Jordan y ceros en otra parte.

• Llamada así en honor del matemático francés Camile Jordan (1838 - 1922). Los resultados aparecieron por primera vez en el brillante trabajo de Jordan Traité des substitutions et des équations algebriques (tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas), publicado en 1870.

Ejemplo 1. Matrices de Jordan de 2 * 2. Las únicas matrices de Jordan de 2 * 2 son

En la primera matriz los números 1 y 2 pueden ser iguales.

Ejemplo 2. Matrices de Jordan de 3 * 3. Las únicas matrices de Jordan de 3 * 3 son

Donde no es necesario que 1, 2, 3 sean distintos.

TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON

Teorema 2. Teorema de cayley-hamilton&. Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p() = 0 es la ecuación característica de A, entonces p(A) = 0.

Demostración. Se tiene

a11 -  a12 . . . a1n

P() = det (A -  I) = a21 a22 -  . . . a2n

: : :

an1 an2 . . . anm - 

Es claro que cualquier cofactor de (A -  I) en un polinomio en . Así, la adjunta de A -  I es una matriz de n * n en la que cada componente es un polinomio en . Es decir,

p11() p12() . . . p1n()

Adj (A -  I) = p21() p22() . . . p2n()

: : :

pn1() pn2() . . . pnm()

Esto significa que se puede pensar en adj (A -  I) como en un polinomio, Q(), en  cuyos coeficientes son matrices de n * n. Para entender esto, se ve lo siguiente:

En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0. Para ilustrar esto, si p() = n + an-1n-1 + ... + a1 + a0, entonces

P(A) = An + an-1An-1 + ... + a1A + a0I = 0

y

A-1p(A) = An-1 + an-1An-2 + ... + a2A + a1I + a0A-1 = 0

Así

Observe que a0 " 0 porque a0 = det A y se supuso que A era invertible.

Ejemplo . Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A-1. Sea

1 -1 4

A = 3 2 -1 Entonces p() = 3 -22 - 5 + 6.

2 1 -1

Aquí n = 3, a2 = -2, a1 = -5, a0 = 6 y

A-1 = (-A2 + 2A + 5I)

-6 -1 -1 2 -2 8 5 0 0

= -7 0 -11 + 6 4 -2 + 0 5 0

-3 1 -8 4 2 -2 0 0 5

1 -3 7

= -1 9 -13

1 3 -5

Observe que se calculó A-1 haciendo sólo una división y calculando sólo un determinante (al encontrar p() = det (A -  I)). Este método en ocasiones es muy eficiente en una computadora.

• Recibe el nombre en honor de Sir William Rowan Hamilton y Arthur Cayley (1821-1895). Cayley publicó el primer análisis de este famoso teorema en 1858. Por su parte, Hamilton descubrió (pero no demostró) el resultado de su trabajo sobre cuaterniones.

P() = det (A - I) = 0

Contando multiplicidades, toda matriz de n * n tiene exactamente n eigenvalores

B = C-1 AC

Definición alternativa de semejanza

A y B son semejantes si y sólo si existe una matriz invertible C tal que CB = AC

1 0 0 . . . 0

0 2 0 . . . 0

D = 0 0 3 . . . 0

: : : :

0 0 0 . . . n

D = C-1 AC

ax2 + bxy + cy2 = d

F(x,y) = ax2 + bxy + cy2

2x1 + x2 + 2x3 - 2x4 x1

x1 - 4x2 + 6x3 + 5x4 x2

2x1 + 6x2 + 7x3 - x4 x3

-2x1 + 5x2 - x3 + 3x4 x4

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

Nk = : : : :

0 0 0 ... 1

0 0 0 ... 0

 1 0 ... 0 0

0  1 ... 0 0

B() =  I + Nk = : : : : :

0 0 0 ...  1

0 0 0 ... 0 

1 0 y  1

0 2 0 

1 1 0

0 1 0

0 0 3

1 0 0

0 2 1

0 0 2

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0

0 2 0

0 0 3

-2 - 2 + 1 22 - 7 - 4 = -1 2 2 + -2 -7  + 1 -4

42 + 5 -2 -32 -  + 3 4 -3 5 -1 -2 3

A-1 = 1/a0(-An-1 -an-1An-2 - ... - a2A - a1I)