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Transformaciones lineales
| Índice | Pag. |
| Introducción | 3 |
|
1. Transformaciones lineales | 4 |
| 1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades | 4 |
| 1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) | 7 |
| 1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal | 11 |
| 1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal | 13 |
| 1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales | 15 |
| 1.6 Algebra de las transformaciones lineales | 19 |
| 1.7 Aplicación de las transformaciones lineales. | 19 |
| Conclusión | 22 |
| Bibliografía | 23 |
Introducción
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
1. Transformaciones lineales
1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función 
tal que:
i) 
, 
.
ii) 
, 
, 
.
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si 
es una transformación lineal, entonces 
.
En efecto 
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que 
.
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii) 
es lineal si y solo si 
, 
, 
.
Si T lineal, entonces 
. Inversamente, supongamos que 
, 
, 
. Probemos las dos condiciones para que T sea lineal:
a) 
.
b) 
Nótese que usamos el hecho de que 
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii) 
es lineal si y solo si 
, 
.
La demostración se hace por inducción sobre n.
a) Si 
, entonces 
, por la condición (ii) de T.
b) Supongamos válido para n. Probemos para 
:
Por la condición (i) de T, tenemos que, 
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
Así que podemos concluir que,
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea 
tal que 
, 
. Entonces T es lineal, ya que 
, y por otro lado, 
. Por lo tanto, vemos que 
.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como 
.
Ejemplo 2.
Sea 
tal que 
, 
. Entonces T es lineal, ya que 
.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como 
.
Ejemplo 3.
Sea 
tal que 
la traza de A, es decir, 
, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que 
Ejemplo 4.
Sea 
tal que 
. Entonces T es lineal, ya que 
Ejemplo 5.
Sea 
tal que 
, la derivada de 
. Entonces T es lineal ya que: 
Ejemplo 6.
Sea 
, el espacio vectorial de todas las funciones continuas en un intervalo cerrado 
y sea 
tal que 
. Entonces T es lineal ya que: 
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
T(u+v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Clasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si 
es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 
Epimorfismo: Si 
es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si 
es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si 
o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
Automorfismo: Si 
es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo
)
Sea 
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de 
en 
que gira cada vector 
un ángulo 
, para obtener un vector 
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que 
y 
tenemos que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación 
tal que 
.
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo 
y es lineal, ya que:
Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de 
en 
que cada vector 
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de 
en 
que a cada vector 
lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector 
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de 
:
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, 
tiene un complemento directo, a saber, 
De tal forma que cada vector 
se escribe en forma única como suma de un vector de 
más un vector de 
como sigue:
Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a 
sobre 
, el cual es precisamente el término correspondiente a 
en la descomposición anterior!
Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:
Definición. Sea V un espacio vectorial y sea 
un subespacio tal que existe 
el complemento directo de 
en V, es decir tal que 
, de tal forma que cada vector 
se escribe en forma única como: 
Con 
y 
. Definimos entonces la proyección sobre 
, como aquella transformación 
tal que 
.
Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si 
, 
con 
y 
, entonces 
con 
y 
. Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que: 
En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo: 
En efecto, es claro que 
es un subespacio de 
y 
. Además, cada 
se escribe como 
. Todo esto demuestra que 
. Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue: 
Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2
Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.
Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2
Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)
Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal
Kernel o Núcleo
Definición 94 Sea 
una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal 
, denotado por 
al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir
Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores 
de 
tales que
Evaluando 
es decir,
luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos
por lo tanto,
con lo cual,
(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z)
= z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio
Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.
Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal
Solución: Como tenemos que
Reemplazando
Imagen o Recorrido
Recordemos la definición de recorrido.
Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal 
, esto es 
como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen. 
Ejemplo Dada la transformación lineal
Determinar la imagen de 
Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.
Para ello, sean 
tales que
T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)
Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema
Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada
luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir
Por lo tanto,
Im(T) = {(a;b;c) 
/((x;y;z) 
((T(x;y;z)=(a;b;c))
= {(a;b;c) 
/a-b-c=0}
= <(1;1;0);(1;0;1)>:
1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal
Representación matricial de una transformación lineal.
Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.
-
Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n.
Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.
Teorema
Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...n que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...,n que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,...,n) es una representación de T respecto a la base
(u1,...,un).
Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares 1,...,n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y 1,...,n, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.
Teorema
Sea una matriz de n × n se dice que es un valor propio de A ssi P()=det(A " i) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P() se llama polinomio característico de A.
Teorema
Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de orden n × n talque
C"1 AC = J
Donde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A.
Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan.
Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas.
Definición Sean 
dos espacios vectoriales sobre 
, además 
bases ordenadas de 
respectivamente y 
una transformación lineal de 
en 
Se define la matriz asociada a 
en las bases 
a
denotada por
donde 
Además si la base 
del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por 
1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales
Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:
a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.
b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRiRi.
c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj
Rj.
Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo.
Resuelve el sistema:
x + 2y + 3z = 9
4x + 5y + 6z = 24
3x + y - 2z = 4
Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:
Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.
(-4)R1 + R2
R2 
(-3)R1 + R3
R3
(-(1÷ 3))R2
R2
(-1)R3
R3
(-5)R2 + R3
R3
Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:
Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.
La matriz final de la solución es una forma escalonada.
| En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones: |
Ejemplo:
Sea la matriz:
, es "una matriz escalonada"
Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.
(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.
(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj
Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.
(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.
(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj
Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.
(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.
(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.
Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.
R1 
R4 
R2 
R3 
(1)R1 + R3
R3
(-2)R1 + R4
R4
(-1)R2
R2 
(-(1÷ 2))R2
R2
(-1)R2 + R3
R3
(-1)R2 + R4
R4
(3)R3 + R4
R4 
La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:
(-(1÷ 2))R4
R4
Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:
y - 2z - w = 6
y - 2(-2) - (-1) = 6
y + 4 + 1 = 6
y = 1
Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:
x + z + 2w = -3
x + (-2) + 2(-1) = -3
x - 2 - 2 = -3
x = 1
Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.
1.6 Algebra de las transformaciones lineales
Sean 
podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por
También podemos definir la multiplicación por escalar.
Sean 
definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por
-
Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F:
-
T1(T2+T3)=T1T2+T1T3
-
(T2+T3)T1=T2T1+T3T1
-
(T1T2)=(T1)T2=T1(T2)
-
Si además se cumple que
-
(T1T2)T3=T1(T2T3)
-
entonces A es un álgebra asociativa
-
Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.
-
Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))
-
Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.
-
Demo. Sean u,v V y , F, entonces
-
(T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u))
-
= (T2T1)(v)+ (T2T1)(u)
-
(T2T1) es T.L.
-
Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.
1.7 Aplicación de las transformaciones lineales.
Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.
Ejemplo 142Dada la transformación lineal
Determinar todos los espacios propios asociados a 
sabiendo que 
son los únicos valores propios.
Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio 
V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}
= {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}
= {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}
= {(x;y)/-x+y=0
= <(1;1)>
Para el otro valor propio procedemos de manera similar
V-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)}
= {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)}
= {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)}
= {(x;y)/3x+y=0}
= <(1;-3)>
Ejemplo Sean 
bases de 
y 
una transformación lineal tal que
Demostrar que 
es un isomorfismo, sin explicitar 
Solución: Para demostrar que 
es un isomorfismo, basta celular el determinante de 
y comprobar que es distinto de 
Calculemos
por lo tanto la matriz es invertible, luego 
es un isomorfismo.
Para explicitar la transformación inversa, tenemos
Reemplazando obtenemos
Necesitamos determinar las coordenadas de 
en la base 
.
igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales
resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemos
Así 
luego
[T-1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0)74x+14y-54z
( -8 -13 1)14y-54x+34z
( -11 -18 1) 14z+14x-14y
[T(x;y;z)]D = ( 34x-34y-14z) (a')
( 52x-112y+12z)=(b')
( 72x-152y+12z) (c')
Con lo cual obtenemos
T-1(x;y;z) = a'(1;1;-1)+b'(0;2;-1)+c'(1;0;1)
T-1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z )
Conclusión
Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.
Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.
Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.
Bibliografía
http://72.14.253.104/search?q=cache:nor7ql8AS2QJ:www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias13/Formas%2520can%C3%B3nicas%2520de%2520Jordan.pdf+REPRESENTACI%C3%93N+MATRICIAL+DE+UNA+TRANSFORMACI%C3%93N+LINEAL&hl=es&ct=clnk&cd=6&gl=mx&lr=lang_es
http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/definicion%20y%20ejemplos.htm
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def91.htm
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def94.htm
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def97.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s1.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2s2.html
http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#
http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1
http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
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