TEORIA DE CONJUNTOS

Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.

CONJUNTOS:

La palabra conjunto es una colección de objetos cuyas propiedades o características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.

Es una colección de objetos considerados como una simple unidad. Los objetos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando por las vocales, la podemos escribir: A: {a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos son los tres números impares lo denotamos B = {1, 3,5}.

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

Es el conjunto de los símbolos que se utilizan para representar los cardinales (principales), y se designan con la letra “N”, siendo su conjunto infinito porque no tiene ultimo termino. Los números naturales se pueden usar para contar o medir (2 sillas, 3 metros), es decir, para expresar cantidades, y en ese caso se denominan Cardinales. Si, en cambio, se usan para describir la posición o el orden de un determinado elemento en relación con otros en una secuencia ordenada, se llaman Ordinales.

Cuando se dice: <<Vivo en el tercer piso>>, se esta utilizando un numero Ordinal.

• Ejemplo:

Los números Naturales, se puede representar mediante una recta numérica.

U

0 1 2 3 4 5….

N* = {1,2,3,4,5…} Conjunto de los números naturales, excluido el cero.

N = {0,1,2,3,4,5,6…} Conjunto de los números naturales, incluido el cero.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

Esta formado por los números naturales y los números negativos. Se simboliza con la letra “Z”.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros:

• Es un conjunto infinito

• No tiene ni primero ni ultimo elemento

• Cada número tiene su opuesto. Por ejemplo, el opuesto de + 2 es - 2.

• Si un numero esta a la derecha de otro en la recta numérica, entonces es mayor que el.

• Ejemplo:

2 = {…,-2,-1,o,1,2,3,…} Conjunto de números enteros.

Z+ = {0,1,2,3,4,5,…} Conjunto de los enteros positivos.

Z- = {…-4,-3,-2,-1} Conjunto de los números enteros negativos.

NUMEROS ENTEROS POSITIVOS

Los números naturales, que se escriben con un signo <<+>>delante (excepto el cero), Z se llaman números enteros positivos. Por ejemplo, el numero +6 es un entero positivo; se puede representar como 6 o como +6. Los números naturales precedidos de un signo <<->> se llaman números enteros negativos. En este caso, dado que representan una cantidad que no se tiene, necesariamente se debe anteponer el signo -. Por ejemplo, el número -6 es Nº negativo. El “0” es el único numero entero que no es positivo ni negativo.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

Esta formado por los números enteros y los números fraccionarios. Se simbolizan con la letra “Q”.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

• Es un conjunto infinito.

• No tiene ni primero ni último elemento.

• Todo número racional ya sea entero o fraccionario se puede expresar con infinitas fracciones equivalentes.

Se define de la siguiente manera:

• Ejemplo:

Q = {a/b,b"0} Conjunto de los números racionales para b"0

CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

Tipo de números que no se pueden expresar de manera sencilla como el cociente de los números. Algunos ejemplos son "2 y .

LOS NUMEROS IRRACIONALES

Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, es decir, no periódicas. Por ello no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Algunos números irracionales son identificados mediante símbolos.

• Por Ejemplo:

 = 3,1415926535914039…

e = 2,71828…

CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

Es el conjunto de los números (racionales o irracionales) que puedan medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Se llama real a un número que puede ser racional o irracional. Por lo tanto, el conjunto de los números reales es la unión del conjuntote los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Se designa con el símbolo “R”.

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta.

• El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales finitos o infinitos periódicos o no periódicos.

• El conjunto de los números reales se representa por la letra “R”.

RECTA DE LOS NUMEROS REALES O RECTA REAL

-4,2426 -3,1416  "18

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ejemplo de representación de números reales en la recta real.

INTERVALOS DE NÚMEROS REALES

Un intervalo de números reales es un subconjunto de R, que tiene la siguiente propiedad: dados dos números a y b en el intervalo, todos los números comprendidos entre a y b también pertenecen al intervalo. Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta,

con o sin sus extremos, o con toda la recta real.

• Ejemplo:

{x | 2 " x " 8}

Es un intervalo, que se representa en la recta real como un segmento con extremos 2 y 8.

• Ejemplo:

{x | x > "5}

Es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen en -5, sin contar este extremo. Para los intervalos se utiliza una notación especifica, y se los clasifica además en intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos.

El intervalo cerrado [a, b], con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como

[a, b] = {x | a " x " b}.

En particular, a y b son elementos de [a, b].

El intervalo abierto (a, b), con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como

(a, b) = {x | a < x < b}.

En este caso, a y b no son elementos de (a, b).

Los subconjuntos de la forma {x | x > a} y {x | x < a}, también se llaman intervalos abiertos, y para estos se utiliza la notación (a, ") y ("", a), respectivamente. Al símbolo " se lo denomina símbolo de infinito. El conjunto R es también un intervalo abierto, que se denota ("", ").

Por ultimo, los intervalos semiabiertos se denotan de la forma [a, b), (a, b], [a,") y ("", a], siendo a y b números reales. Se definen por comprensión de la siguiente manera:

[a, b) = {x | a " x < b}

(a, b] = {x | a < x " b}

[a,") = {x | x " a}

("", a] = {x | x " a}

• Ejemplo:

Si a = "2, y b = 3, entonces ["2, 3) = {x | "2 " x < 3}, y ("2, 3] =

{x | "2 < x " 3}.

CONJUNTO ESCRITO POR EXTENSION

Un conjunto esta expresado por extensión cuando se enumeran todos los elementos que lo forman. Si el conjunto tiene infinitos elementos, se nombraran algunos de ellos y se escriben tres puntos suspensivos.

• Ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

B = {0,2,4,6,8}

C = {c,o,n,j,t,s}Es un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

CONJUNTO ESCRITO POR COMPRENSION

Un conjunto esta expresado por comprensión cuando se enuncian las propiedades o características comunes de sus elementos: El conjunto “A” esta formado por los números naturales comprendidos entre 0 y 5, ambos inclusive.

• Ejemplo:

A = {X/X Es una vocal}

B = {X/X Es un numero par menor que 10}

C = {X/X Es una letra de la palabra conjuntos}

CUNJUNTO UNIVERSO

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un termino relativo se le denota por la letra U. Es un conjunto finito o infinito de elementos, tal que cualesquiera de su subconjuntos A queda determinado por una propiedad que depende únicamente de los elementos de U y solo de ellos.

• Ejemplo:

Si U es el conjunto de los números reales A puede ser el conjunto de los números enteros.

• Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = {Aves} B = {Peces} C = {Conejos} D = {Monos}

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A,B,C y D

U = {Animales}

Gráficamente se representan por un rectángulo tal como se observa a continuación.

CONJUNTO UNITARIO

Es todo conjunto que esta formado por un solo y único elemento.

• Ejemplo:

A = {5}

B = {Números pares entre 6 y 10} = {8}

C = {La capital de Perú} = {Lima}

D = {X/2x = 6} = {3}

CONJUNTO VACIO

Es aquel que no posee ningún elemento, y se representa por Ø.

A = {Los perros que vuelan} A ={} A = {Ø} A = {0}

B = {X/X Es un mes que tiene 53 días} B ={} B = {Ø} B = {0}

C = {X/X³ = 8 y es impar} C = {} C = {Ø} C = {0}

D = {X/X Es un día de 90 horas} D = {} D = {Ø} D = {0}

A = {X/X  a los números impares  X² = 4} ; A = Ø

SUBCONJUNTO

Definimos que un conjunto es subconjunto de otro, cuando tiene todos sus elementos incluidos en otro. Decimos que A esta incluido o es subconjunto de B cuando se representan de la siguiente manera, A c B si solo si todos los elementos de A están en B.

• Ejemplo:

A = {2,3,4,5}y B = {1,2,3,4,5,6} , Decimos que A û B

A = {1,2,3} y B = {2,3,4,5} , A û B, A no es subconjunto de B.

IDENTIDAD DE CONJUNTOS

Serían conjuntos idénticos entre ellos, aquellos que cumplieran dos exigencias:

1.- Tener los mismos elementos. "Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro idéntico en B y todo elemento de B tiene otro idéntico en A".

2.- Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesión, ordenación y cualquier norma de agrupamiento se da en ambos conjuntos al mismo nivel.
Por tanto han de ser dos conjuntos indistinguibles uno del otro.

Para representar dos conjuntos idénticos podemos usar el signo ><

Así, A >< B nos dice que el conjunto A es idéntico al conjunto B y viceversa.

Como ejemplos podemos poner:

-Un conjunto en relación como podría ser una caja A de botellas de wisky y junto a ella otro B en iguales condiciones y marca.

-O un conjunto de fusión como podría ser una automóvil recién salido de fábrica, y junto a él otro de igual modelo y características.

Llegados a este punto, podríamos establecer un concepto de cierta importancia en los conjuntos cual sería su IDENTIDAD.

La IDENTIDAD sería según hemos visto la totalidad de características y particularidades de un conjunto, incluidos sus elementos, convergencia, etc., es decir todo aquello que lo hacen específico y diferente de otros.

DIAGRAMA DE VENN

A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o mas conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).

A B

El grafico es la representación de la unión

A U B

Los conjuntos se pueden representar gráficamente con los diagramas de venn. Para ello se dibuja una línea curva cerrada y en el interior se sitúan los elementos del conjunto.

A

UNION DE CONJUNTOS

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota A U B. La unión de conjuntos se define como.

• Ejemplos:

A U B = {X/X  A o X  B}

Tomando los conjuntos cualesquiera A y B de un universo U, se llama unión o reunión de A y B, a un subconjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; es decir, son todos los elementos que pertenecen solamente a A. Solamente a B, o simultáneamente al A y B; se indica con la notación A U B, Se lee “A unión B”. Simbólicamente se expresa:

A U B = {X/X  A  X  B}

Se lee “A unión B es el conjunto formado por los elementos X, tales que X pertenece a A o X pertenece a B”

• Ejemplo:

Si U = {1,2,3,a,b,c,d,e}

A = {1,2,a,c,d}

B = {2,3,a,c,d}

A U B = {1,2,3,a,b,c,d}

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B se denota por A " B, que se lee: A intersección B la intersección de A y B también se puede definir:

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera se denomina intersección de A y B y se representa por A " B el conjunto formado por todos los elementos que están simultáneamente en A y B, es decir, A " B = {X/X  A y X  B}.

A B

A " B

DIFERENCIA DE CONJUNTO

Si tenemos dos conjuntos cualesquiera A y B, se le llama diferencia de A con B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B, se representan A - B y se lee “A menos B” o elementos que tenga A y que no tenga B. Simbólicamente se expresa:

A - B = {X/X  A  X  B} Análogamente se obtiene:

B - A = {X/X  B  X  A}

• Ejemplo:

A = {1,2,3,4,5}

B = {4,5,6,7,8}

A - B = {1,2,3}

B - A = {6,7,8}

Diagrama de Venn

PRODUCTO CARTESIANO

Llamaremos producto cartesiano al conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto que resulta de multiplicar A x B y cuyo segundo elemento pertenece al segundo conjunto que resulta de multiplicar B x A.

• Ejemplo.

Sea los conjuntos A = {1,2,3} Y b = {4,5,6} se tiene:

A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

El producto cartesiano de A x B no es igual al producto cartesiano de B x A. Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a, a), se les llama elementos diagonales. Si el producto cartesiano lo forman mas de dos conjuntos, los elementos del producto cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta llegar al ultimo.

Para representa gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intersección que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal.

• Ejemplo:

En símbolos, A × B = {(a, b) | a " A y b " B}.

Si A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}, el producto cartesiano de A por B es

A × B = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

• Ejemplo:

Si los conjuntos tienen una cantidad finita de elementos puede resultar útil el uso de una

Así, en la tabla del producto cartesiano X × Y de dos conjuntos finitos X e Y, tenemos que la fila correspondiente al elemento x de X contiene todos los pares ordenados de X × Y cuyo primera coordenada es x, mientras que la columna correspondiente al elemento y de Y contiene todos los pares ordenados de X × Y cuya segunda coordenada es y.

DIAGRAMA SAGITAL

Para realizar un diagrama sagital dibujamos los conjuntos de partida y de llegada en diagramas de venn y después unimos con flechas a los elementos que están relacionados entre sí.

Es la capital de

A B

Conjunto de Partida Conjunto de Llegada

Diagrama Tubular:

B

Colombia

Venezuela

España

A

Caracas Madrid Bogota Paris

Dibujamos un cuadriculado, colocamos puntos en la primera línea de la parte inferior, que representan a los elementos del conjunto de partida y en la primera línea vertical de la izquierda, que representa a los elementos del conjunto de llegada.

Los puntos de cruce de la vertical con la horizontal correspondiente a cada par lo señalamos con un punto grueso y estos puntos representan los pares de la relación.

DOMINIO DE UNA RELACION

En una relación, se llama dominio al conjunto formado por las primeras componentes que forman los pares que cumplen con dicha relación,; se denota Dom (R).

RANGO DE UNA RELACION

En una relación, se llama rango al conjunto formado por las segundas componentes de los pares que cumplen con dicha relación; se denota Rgo (R).

A B

R

A = Es el conjunto de partida.

B = Es el conjunto de Llegada.

R = Es la relación entre los conjuntos A y B.

Dom (R) = Es el dominio de la Relación R.

Rgo (R) = Es el rango de la relación R.

En el grafico podemos observar que el conjunto Dom (R) es subconjunto del conjunto de partida, y que el conjunto Rgo (R) es subconjunto de llegada.

N -1

-3

-5

-2

0

1

3

2

U A B C D

A

V

E

S

P

E

C

E

S

C

O

N

E

J

O

S

M

O

N

O

S

A B

A B

5

1

2

3

0

4

Caracas

Bogota

Madrid

Paris

España

Colombia

Venezuela

Dom (R)

Rgo (R)