TEMA 4: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT

4.1 Resposta en freqüència

Recordem (del tema 3) que tot circuit electrònic té una funció de transferència Ym. La sortida del circuit Té una amplitud i una fase que poden canviar segons la freqüència.

Exemple

Aquest filtre passabaixos, eliminarà la part sorollosa que és la que té la freqüència més alta.

Tipus de filtre

La banda (B) queda definida per: B = H - L

4.2 El circuit de sintonització paral·lel.

Factor de qualitat ! Q = 2 ·  · WP / WD

on Wp= energía de pic

on Wd=energía dissipada en un periode

v(t)=Vm · cos(·t)

i(t)=Im· cos(·t+)

Pel cas de la bobina:

Pel cas del condensador:

Resumint:

Per la bobina ! QL =  · L / rs

Per el condensador ! QC =  · L · rp

De cara a trobar la freqüència amb la que el circuit entra en resonància

Per a o veiem que el mòdul de la impedància tendeix a infinit.

Equivalència

Resumint:

per al circuit sèrie !

per al circuit paral·lel !

Càlculs per al RLC paral·lel:

Resposta en freqüència

Tant per la freqüència de tall superior, com per la de tall inferior, el mòdul del guany és el modul per a o dividir per
. És a dir:

Tornant a l'expressió d'abans del circuit de sintonització paral·lel:

Demostrarem l'existència de dues freqüències per les quals el valor de guany és Ao/ :

Per a freqüències altes:

Per a freqüències baixes:

4.3 Resposta temporal d'un circuit de sintoni paral·lel.

Si passem transformem l'impedància a l'operador de Heaviside podem observar que ens queda un denominador de 2º grau del qual podem obtenir molta informació, l'ample de banda i la freqüència de resonància natural del sistema:

4.4 Formes canòniques per filres de segon ordre.

Com veiem el guany a la freqüència de ressonància depèn del factor de qualitat: Qo=1/(2·)

4.5 Diagrama de BODE

Exemple

El guany en dB d'un funció de transferència és: Adb()=20·log·A()

Per calcula la potència transmesa: 10·log(Po/Pi)= 10·log(Vo2/Vi2)= 20·log(Vo/Vi)

Factor general (zeros/pols múltiples)

Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem binomis del següent tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem d'un zero. Si el binomi està situat en el denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de guany en el bode ho passarem a dB: ( j+a ) q ! a és el zero o pol i q és la multiplicitat.

Cas particular on a=0.

Cas general on a "0.

Aproximacions en el dibuix del Bode

 " a ! 10·q·log 2 = 20·q·log  ! zero= + 20·q·log 

! pol = - 20·q·log 

 " a! 10·q·log a2 = 20·q·log a ! zero= + 20·q·log a

! pol = - 20·q·log a

Demostració de l'aproximació, càlcul d'error.

Error per a  " a

Error per a  " a

Error per a  = a

Com veiem en el darrer dibuix l'error és màxim quan =a. Però a mesura que ens allunyem de a, l'error diminueix éssent ínfim en punts més llunyants.

Exemple

I aquestes són les contribucions per part de la constant, el zero i els dos pols:

Que sumant-les totes ens dóna un Bode d'aquest tipus:

Un mètode més ràpid consisteix en determinar el guany a l'orígen del Bode (1 rad/s) i a partir d'aquí anar sumant pendents:

Diagrama de Bode en fase

Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem amb una constant K que multiplica a una sèrie de binomis del següent tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem d'un zero. Si el binomi està situat en el denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de fase en el bode mirem l'argument del nombre complexe resultant:

Cas particular on a = 0:

per a un pol:

per a un zero:

Cas general on a " 0:

per a un pol:
. En dos dècades cambiem q·90º la fase

per a un zero:
. En dos dècades cambiem q·90º la fase

La contribució de la constant K en el diagrama de Bode de fase és de 0º per K>0 i de -180º per K<0.

Pel que fa als factors generals (pols o zeros)

Exemple

Fer el diagrama de bode per a la següent funció de transferència:

TEMA 5: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT

5.1 Sèries de Fourier trigonomètrica.

Encara que apliquem una entrada no sinusiodal, tota senyal periòdica es pot descomposar en sèries de Fourier trigonomètriques.

Així doncs per poder descomposar un senyal s'ha de complir que f (t) = f (t+T). On T és el periode.

Una sèrie de Fourier té el següent aspecte:

a0 / 2 ! valor mig

a1, a2, b1, b2, ... ! coeficients de Fourier

0 ... ! freqüència fonamental (2· /T)

n · 0 ... ! harmònics

Càlcul dels coeficients

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier per aquest senyal:

f(t)=2·sin t - sin(2·t) + (2/3)·sin (3·t) - 1/2·sin (4·t) +2/5 sin (5·t)+....

Si representem la suma dels 5 primers harmònics tenim una senyal del següent tipus, veiem com s'apropa a la dent de serra:

5.2 Propietats de les simetries

Segons si les senyals són parells ( f(t)=f(-t) ) o senars ( f(t) = -f(-t) ), ténen una sèrie de característiques que són útils alhora de simplificar els càlculs. La següent taula les fórmules per calcular els coeficients.

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier de la següent funció : f (t+2) = f (t) ! T=2 ! 0=  rad/s

Veiem que es tracta d'una simetria senar (no té termes de cosinus), i a simple vista determinem que el valor mig del senyal és 0.

Amb el 9 primers harmònics:

Amb els 199 primers harmònics :

5.3 Resposta a excitacions periòdiques

Exemple

Si volem trobar el corrent que circularà la funció de transferència ha de ser una admitància:

Les sèries de Fourier es poden representar com la suma de termes de cosinus i sinus, o bé com termes de cosinus amb un defasatge n.

+

=

Analíticament:

Exemple 2

Calcula V del condensador:

5.4 Sèrie de Fourier exponencial

Càlcul de Cn:

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier de la següent funció : f (t+2) = f (t) ! T=2 ! 0=  rad/s

Així podem resumir la sèrie exponencial de Fourier com una altra sèrie en el que el terme Cn ens aporta més informació que la trigonomètrica, concretament l'amplitud i la fase. La sèrie és del següent tipus:

En temes anteriors deiem que tot circuit té una funció de transferència, i que quan aplicàvem un senyal a l'entrada teníem una senyal de sortida. La senyal de sortida (y(t)= yn(t)+ yf(t)) tenia un transitori que dessapareixia i com a règim estacionari permanent ens queda la senyal de sortida forçada. Si l'entrada del circuit és un senyal x(t) del següent tipus:

5.4 Espectre en freqüència

Exemple

Donant diferents valors a n trobarem les diferents amplituds del diferents harmònics:

n	Cn	øCnø	n
1	1/	1/	0
2	0	0	0
3	1/(-3·)	1/(3·)	0
4	0	0	0
5	1/(5·)	1/(5·)	0
6	0	0	0

Gràfica

TEMA 6:Aplicacions de la transformada de Fourier

6.1 La integral de Fourier.

Per a passar una funció f(t) dependent del temps al domini de la freqüència (j) cal aplicar la transformada de Fourier. Cal aplicar la integral de Fourier:

El motiu de treballar en el domini de la freqüència, és la reducció de complexes eqüacions a simples expresions algebraiques, que un cop resoltes, les tornem a passar al domini del temps aplicant la antitransformada de Fourier:

Exemple

Tenim una funció f(t)=e-at·u(t)

Respecte, el temps:

Respecte, la freqüència. (vermell ! mòdul, blau ! fase)

Exemple 2

Tenim una funció Trobar la transformada de Fourier

6.2 Propietats de la transformada de Fourier

Quan fem la transformada de Fourier, passem a treballar amb freqüència complexa. La transformada ens aportarà informació del guany i fase:

SIMETRIES

Tornant a fer referència a les simetries, es cumpleixen les següents propietats:

• Si f(t) és parell ! f(t)= -f(t):

• Si f(t) és senar ! f(t)= -f(-t):

Exemple

Tenim una funció Trobar la transformada de Fourier.

La simetria és senar :

LINIALITAT

Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(j):

DERIVACIÓ

DESPLAÇAMENT

Un desplaçament en el temps, provoca un canvi de fase a la freqüència:

MULTIPLICACIÓ PER t n

6.3 Aplicacions de transferència en freqüència

6.3.1 Funció de xarxes

* n és el nombre d'elements de memòria

Exemple

En el següent circuit trobar H(j) i Vo(t).

Aplicant transformadas de Fourier no podem tenir en compte les condicions inicials del circuit. De fet la funció de transferència no depèn de les condicions inicials. Per a poder-les tenir en compte hauríem d'aplicar la transformada de Laplace.

6.3.2 Càlcul de la densitat de energètica

En aquest apartat i gràcies a la relació de Parseval podrem determinar l'energia aplicada a un circuit, calcular l'energia de resistències, inductàncies i condensadors.

Relació de Parseval

Per a calcular l'energia (W) hem de fer l'integral de la potència en el temps:

Nosaltres no treballarems amb la potència sinó amb la tensió al quadrat, que és directament proporcional:

Exemple

TEMA 7:Aplicacions de la transformada de Laplace

7.1 Introducció.

Com les eqüacions diferencials de temps són força complicades, fem servir la transformada de Laplace per passarles al pla s on aquestes mateixes eqüacions queden reduides a formes algebraiques molt més senzilles de tractar.

Per a passar una funció f(t) dependent del temps al pla s cal aplicar la transformada de Laplace:

Exemple

Si tenim una funció f(t)=e-at·u(t)

Si tenim una funció f(t)=u(t)

Si tenim una funció g(t)=

Exemple 2

7.2 Linealitat

Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(s):

Exemple

Exemple 2

Fent transformades de Laplace:

Utilitzant l'operador p de Heaviside:

7.3 Traslació

Exemple

Exemple 2

7.4 Convolució

Producte de convolució

Exemple

7.5 La funció impuls

7.6 La transformada inversa

Exemple

Exemple 2

Exemple 3

7.7 Teorema de diferenciació

7.8 Circuits elèctrics

Exemple

Exemple 2

7.9 El circuit transformat

	Anàlisis per tensions	Anàlisis per corrents
RESISTÈNCIA
INDUCTÀNCIA
CONDENSADOR

Considera el circuit de la figura 1. A t=0- el circuit es troba en condicions règim permanent.

Determina:

Les condicions inicials, és a dir, els valors del corrent de la bobina (i) i la tensió en el condensador a t=0.

Troba la funció de transferència.

Quina és la resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta completa.

Substituim les bobines per un curtcircuit i el condensador per un circuit obert. Calculem la tensió entre borns del circuit obert (VCo), i el corrent del curtcircuit (ILo).

Apliquem les condicions inicials i treiem la branca de l'interruptor obert que no actúa de cap manera per t=0+.

Aplicant anàlisis nodal:

Per determinar la funció sencera apliquem la expansió en fraccions parcials.

Considera el circuit de la figura 2. Apliquem un senyal d'entrada, Vg, de valor 26·cos(2t)·u(t) V. Si considerem que les condicions inicials són Va(0)=0 i Vb(0)=2V, determina:

El sistema d'equacions que descriu el circuit.

La funció de transferència.

La resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta completa.

Si anul·lem les condicions incicial quina serà la resposta forçada?

a) Sabem que gràcies a la realimentació negativa la tensió dels terminals + i - de l'operacionals són la mateixa, afegint condicions inicials:

a)

b)

c)

d)