Teoría de Anillos:

“Enteros Gaussianos”

Índice.

• Introducción Pág. 3

• Parte 1: Teoría de Anillos Pág. 5

• 1.1 Anillos: Definición y características Pág. 5

• 1.2 Ejemplos de Anillos Pág. 8

• 1.3 Ideales y Anillos Cocientes Pág. 10

• 1.4 Cuerpo e Ideal Máximal Pág. 12

• 1.5 Anillos Euclidianos Pág. 14

• 1.6 Anillos de Polinomios Pág. 17

• Parte 2: Enteros Gaussianos Pág. 20

• 2.1 Su origen Pág. 20

• 2.2 Un Anillo Especial Pág. 21

• 2.3 Los Números Complejos Pág. 25

• Conclusiones Pág. 27

• Anexos Pág. 28

• Anexo 1 Pág. 28

• Anexo 2 Pág. 29

• Anexo 3 Pág. 29

• Anexo 4 Pág. 30

• Anexo 5 Pág. 31

• Anexo 6 Pág. 32

• Bibliografía Pág. 33

Introducción

Es imposible ponerle limites a la matemáticas, a pesar de que mucha gente piensa que esta ciencia esta explorada a fondo, y que todo lo que enseñan en los colegios o en los ramos básicos universitarios es a grandes rasgos todo lo que ofrece esta ciencia; pero si exploramos un poco en el mundo de las matemáticas no nos será difícil entender el inmenso campo de esta ciencia, y del como si, metafóricamente, nos instaláramos en el centro de las matemáticas, nuestro horizonte, para donde sea que miremos no tiene límites.

Es respecto de cómo se expande las matemáticas, a grueso modo, lo que se trata esta monografía, y observar como tanto grandes problemas y cuestionamientos matemáticos, como problemas sin gran importancia, han logrado forjar teorías inimaginables desde un principio, y que muchos de estos problemas no han tenido solución durante siglos, en los cuales grandes matemáticos han aportado con un pequeño ladrillo a la construcción de la solución final.

El proceso de expansión de las matemáticas va estrechamente ligado a su vez con la aparición de grandes matemáticos, verdaderas genialidades, quienes han hecho aportes substanciales a esta ciencia. Las apariciones de estos maestros de los números es tan indeterminado que sería imposible decir cuando va a venir el próximo genio matemático, ni menos decir el número de ellos en el próximo siglo, es algo tan “aleatorio” como la aparición de los números primos dentro de los números naturales.

Ligando las ideas principales de estos párrafos, fue la razón principal de que mi interés se centrara en Karl Gauss, ya que quizás fue el último gran matemático que logro dominar, o al menos conocer, todo lo que abarcaba la matemáticas, ya que después de él, la expansión de esta ciencia fue tal, que sería imposible que una persona en su corta existencia pudiese comprender todo el desarrollo matemático.

Gauss, no sólo fue un matemático, ya que sería una ofensa sólo relegarlo al ámbito de las matemáticas, si no que indagó en muchas otras áreas como la astronomía o la electricidad. Demostró su genialidad de manera precoz, y se cuenta que a los 7 años ya demostraba tener dotes matemáticas increíbles para su época.

Luego de leer varios textos biográficos de él, me ha sido imposible dar un verdadero atisbo de la magnitud de su genialidad, ni menos poder intrometerme en saber cómo pensaba. Al respecto, sólo me quedo con una declaración del propio Gauss asiendo alusión a gran cantidad de aportes: “si otros quisieran solamente reflexionar en las verdades matemáticas de una manera tan profunda y tan continua como yo he hecho, harían mis mismos descubrimientos”.

Volviendo un poco a lo que atañe a la monografía, los enteros gaussianos tienen gran relevancia por su origen y por lo que produjo posteriormente, ya que fueron el paso esencial hacia los números complejos.

Para poder hablar de los enteros gaussianos, necesitamos antes tener una noción bastante fuerte de Teoría de Anillos, que debido a su importancia ocupa la mayoría de este ensayo monográfico, por ello, el tema central de esta monografía será Teoría de Anillos, y como tema particular los enteros gaussianos, aunque sin ningún animo de restarle importancia a estos últimos.

La Teoría de Anillos es sumamente extensa, ya que constituye un bloque muy fuerte en las matemáticas, y en pos de que la extensión de este ensayo monográfico no sea muy largo, ha sido reducida a sólo lo que necesitamos para él.

Parte 1: Teoría de Anillos

Anillos: Definición y características.

Durante nuestra incursión en el mundo de las matemáticas, hemos estudiado y observado gran cantidad de conjuntos numéricos; la mayoría de estos conjuntos tenían características que considerábamos esenciales, tales que todos tenían 4 operaciones básicas, o resultados como que 4 + 3 necesariamente tenían que ser igual a 7; ahora, sin habernos dado cuenta, se nos camuflaron dentro de esos conjuntos, algunos que no necesariamente tenían esas características, y también no hemos visto una infinidad de conjuntos que cumplen en parte esas características supuestamente esenciales. Muchos de esos conjuntos son anillos, de los cuales estudiaremos en esta primera parte de la monografía.

Los anillos son un sistema bioperacional, lo que significa, que poseen definidas dos operaciones, las que comúnmente se conocen como adición y multiplicación. A base de esto, definamos que es un anillo.

Definición 1.1.1: Un conjunto no vacío K se dice que es un anillo asociativo si en K están definidas dos operaciones, denotadas por “+” y “·” respectivamente tales para cualesquiera a, b, c de K:

a + b está en K. [Cerradura]

a + b = b + a. [Conmutatividad]

(a + b) + c = a + (b + c). [Asociatividad]

Hay un elemento 0 en K tal que a + 0 = a (para todo a en K). [Elemento Neutro]

Existe un elemento -a en K tal que a + (-a) = 0. [Elemento Inverso]

a · b está en K. [Cerradura]

a · (b · c) = (a · b) · c. [Asociatividad]

a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a. [Distribución]

Como se puede observar los axiomas del (1) al (5) afirman que K es un grupo abeliano (1) bajo la operación “+”, a la que llamamos adición. Los siguientes dos axiomas, (6) y (7), dicen que K es cerrado bajo la operación “·” y es asociativa, la cual llamaremos multiplicación. Por último, el axioma (8) nos sirve para relacionar las dos operaciones definidas en K.

Existen anillos no asociativos, es decir, que no se cumple el axioma (7), pero debido a que todos los anillos considerados en este documento son anillos asociativos, solo los llamaremos anillos de ahora en adelante. Además, en la mayoría de los casos, para la operación multiplicación a · b se escribirá como ab.

Antes de empezar a dar ejemplos de anillos y analizarlos, veamos que existen diferentes tipos de anillos, y haremos ciertas definiciones.

Un anillo que tiene un elemento 1 en K tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a en K diremos que es un anillo con elemento unitario.

Un anillo que cumple en la multiplicación que a · b = b · a para todo a, b en K diremos que es un anillo conmutativo.

Definición 1.1.2: Un anillo con unidad se dice que es un anillo con división (o skew field) si sus elementos distinto de cero forman un grupo bajo la multiplicación, es decir, que además cumpla con los axiomas de elemento neutro e inverso.

Definición 1.1.3: Un cuerpo es un anillo conmutativo con división. Más adelante abarcaremos en un punto específico la idea de cuerpo.

Definición 1.1.4. Si K es un anillo conmutativo y a distinto de 0 en K, se dice que es un divisor de cero si existe un b en K, distinto de 0, tal que ab = 0.

Definición 1.1.5. Un anillo conmutativo es un dominio entero si no tiene divisores de cero.

Hasta el momento hemos dado ciertas definiciones, y podemos observar a grueso modo que los anillos son un tema bastante extenso, y que cada anillo puede tener características muy diferentes de otro. Es por eso que necesitamos dar cierto orden a los anillos, y para eso daremos el siguiente lema.

(1) Un grupo es un conjunto G que tiene una operación binaria, o sea que asocia a dos elementos de G dentro de G, y que cumple con los axiomas de cerradura, asociatividad, elemento neutro e inverso; si además cumple con el axioma de la conmutatividad, se denomina grupo abeliano. Ver Serge Lang, ALGEBRA, United States of America; Edit. Addison-Wesley, 1967 págs. 5, 6.

Lema 1.1.1: Si K es un anillo, entonces para todo a, b en K:

a0 = 0a = 0.

a(-b) = (-a)b = -(ab).

(-a)(-b) = ab.

Si además K tiene un elemento unitario, 1, entonces:

(-1)a = -a.

(-1)(-1) = 1.

Dem. 1) Si a está en K, entonces a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 (por la ley distributiva), y como K es un grupo respecto a la adición, si sumamos (-a0) a ambos lados de la ecuación, implica que a0 = 0.

Análogamente, 0a = (0+0)a = 0a + 0a, lo que implica que 0a = 0.

2) Para probar que a(-b) = -(ab) debemos mostrar que ab + a(-b) = 0, pero ab + a(-b)= a(b + (-b)) = a0 = 0 ocupando la ley distributiva y la parte 1 del lema. De forma análoga (-a)b = -(ab)

3) Que (-a)(-b) = ab es en realidad un caso particular de la parte (2). Tenemos que:

(-a)(-b) = -(a(-b) (por la parte (2))

= -(-(ab)) (por la parte (2))

= ab

El último paso es debido a que por definición de anillo, sabemos que para cualquier a en el anillo existe (-a) tal que a + (-a) = 0, ahora si volvemos a ocupar ese axioma, y le sumamos el inverso aditivo de (-a) a ambos lados nos queda a + (-a) + (-(-a)) = (-(-a)), o sea, a + 0 = a = (-(-a)), como la multiplicación es cerrada, ab también cumple con esto.

4) Supongamos que K tiene un elemento unitario 1; entonces a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1+(-1))a = 0a = 0, de donde (-1)a = -a.

5) Es un caso particular de la parte (4), tomando a = -1, se tiene que (-1)(-1) = -(-1) = 1.

%

Después de haber probado este lema, nos encontramos con mucha más libertad para poder trabajar con anillos. De ahora en adelante, por conveniencia, a + (-b) se escribirá como a-b, y llamaremos a esto resta o diferencia entre a y b, como el lector comúnmente conoce.

Ejemplos de Anillos.

En la sección anterior pudimos definir los anillos, y ver cuales eran las características de algunos anillos, es por eso que es necesario mencionar varios ejemplos para poder dejar bien en claro lo expuesto, y así poder continuar nuestro estudio.

Ejemplo 1.2.1 K es el conjunto de los enteros (
), con la suma y multiplicación habitual de los enteros. K es un dominio entero, y un anillo conmutativo con elemento unitario.

Ejemplo 1.2.2 K es el conjunto de todos los enteros pares (2n para n en
) y bajó las operaciones habituales de suma y multiplicación. K es un dominio entero y anillo conmutativo, pero sin elemento unitario.

Ejemplo 1.2.3 K es el conjunto de los números racionales bajo la adición y multiplicación comunes de los números racionales. K es un anillo conmutativo con elemento unitario, pero además los elementos de K distintos de 0 forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, por tanto, es un cuerpo. [Author ID1: at Mon Oct 17 22:50:00 2005]

Ejemplo 1.2.4 K será el conjunto de todos los símbolos 1111 + 1212 + 2121 + 2222 =  ijij para i,j = {1,2}, y donde todos los ij son números racionales y donde convenimos en que:

(1) ijij = ijij para i, j = 1,2.

si y sólo si para toda i,j = 1,2 ij = ij.

(2) ijij + ijij = (ij+ij)ij. para i, j = 1, 2.

(3) (ijij) (ijij) = ijij para i, j = 1, 2.

donde ij = ivvj = i11j+i22j para v, i, j = 1, 2.

La multiplicación esta fundada bajo reglas sencillas, siguiendo una multiplicación término a término y teniendo en cuenta que ij·kl = 0 si j " k, y ijjl = il.

Notar que 1112 = 12 mientras que 12·11 = 0, por tanto vemos que K no es un anillo conmutativo. Además se puede observar que para dos elementos u, v en K es posible que u·v = 0 con u " 0 y v " 0, por tanto no es un dominio entero. Este anillo K es conocido como las Matrices Racionales 2X2.

Ejemplo 1.2.5 Sea K el conjunto de los enteros módulo 6 bajo la adición y la multiplicación módulo 6. Denotamos los elementos de K como 0'. 1'. 2', 3', 4', 5'. Y definimos:

1) i + j = k donde k es el residuo de la división de i + j por 6. Ejemplo: 3'+5' = 2' o 3'+4' = 1'.

2) ij = m donde m es el residuo de la división ij por 6. Ejemplo: 3'5' = 3' o 2'5' = 4'.

Ahora 2'3' = 0' siendo 2' " 0 3' " 0' por tanto no es un dominio entero, pero si es un anillo conmutativo con elemento unidad 1'.

Ejemplo 1.2.6 K es el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Los elementos de K son 0', 1', 2', 3', 4', 5', 6'. La dos operaciones son iguales al ejemplo anterior, pero modificando el residuo por el de la división con 7. Vemos que es dominio entero con elemento unidad, pero además sus elementos distintos de 0 forman un grupo abeliano bajo la multiplicación, así que K es un cuerpo, y, para ser específicos, como tiene finitos elementos, por lo que es un cuerpo finito. En el Anexo 1 veremos que si p es un número primo entonces el anillo de los enteros módulo p es un cuerpo.

Ejemplo 1.2.7 K es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales
[x], tal que si p(x) está en
[x], entonces es de la forma p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn, y en donde ai pertenece a los números reales para todo i = 1, 2, 3, …, n-1, n. Además se cumple:

(1) Sean p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn-1xn-1 + bnxn entonces p(x) = q(x) si y sólo si, para todo entero i " 0, ai = bi.

(2) p(x) + q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + cn-1xn-1 + cnxn donde para cada todo entero i " 0 , ci = ai + bi.

(3) p(x) q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + cn-1xn-1 + cnxn donde para cada todo entero t " 0 , ct = atb0 + at-1b1 + at-2b2 + … + a0bt.

Como podemos ver este es un anillo conmutativo, y que tiene elemento unidad (a0 = 1, y at = 0 para todo t " 0). Más adelante se analizará con más cuidado estos anillos, ya que son muy importantes.

Ejemplo 1.2.8 Sea
el conjunto de todos los símbolos (, ) donde ,  son números reales. Definimos:

(, ) = (, ) si y sólo si  =  y  = .

(, ) + (, ) = ( + ,  + ) y está en
.

Notar: que (0, 0) se comporta como elemento neutro, y (-, -) como inverso.

(, )(, ) = ( - ,  + ) y está en
.

Notar: que (, )(1, 0) = (1, 0) (, ) = (, ), por tanto (1, 0) es el elemento unidad.

Ahora si (, ) " (0, 0), entonces 2 + 2 " 0, luego:

Y = (, ) donde  =  y  = -  .

2 + 2 2 + 2

Entonces (, )Y = (1, 0).

Esto implica que
es un cuerpo. Si escribimos (, ) como  + i, donde i = (0,1), el cual si elevamos al cuadrado nos da i2 = (0,1)(0,1) = (0·0 - 1·1, 0·1 + 0·1) = (-1,0). Observemos que los números (a, 0) son de alguna forma los números reales, por tanto i2 es un número real, entonces vemos que
son los conocidos números complejos.

Más adelante se abarcarán más profundamente.

Antes de pasar al siguiente punto, se necesita haber entendido muy bien los ejemplos anteriores, ya que algunos serán ocupados con posteridad.

Ideales y Anillos Cocientes.

Antes de involucrarse con los Ideales, es necesario hacer una breve definición de homomorfismo, que se ocupará bastante durante el resto del documento.

Definición 1.3.1. Una aplicación  del anillo K en el anillo K' se dice que es un homomorfismo si:

(a+b) = (a) + (b).

(ab) = (a)(b).

para a, b en K cualesquiera.

También nos resulta sumamente interesante el siguiente Lema.

Lema 1.3.1. Si  es un homomorfismo de K en K' entonces

(0) = 0.

(-a) = - (a). Para todo a en K.

Definamos ahora Ideal, que es un concepto que utilizaremos bastante.

Definición 1.3.2. Un subconjunto no vacío U de K se dice que es un ideal de K si:

U es un anillo.

Para todo u en U y r en K, tanto ur como ru están en U.

La condición número (2) afirma que U “absorbe” la multiplicación, tanto a la derecha como la izquierda, por elementos arbitrarios del anillo.

Ejemplo 1.3.1. Sea
el anillo de los números enteros, y sea P el conjunto de los números de la forma 2n tal que n está en
. Notar que P son los números enteros pares, por lo tanto es un subconjunto no vacío de
, y además es un anillo conmutativo. Sea z perteneciente a
y p a P, zp = pz = 2nz = 2z' = p' que está en P, por lo tanto P es un ideal de
.

Ejemplo 1.3.2. Sea
el anillo de los números enteros, y sea I el conjunto de los números de la forma (2n+ 1) tal que n está en
. Notar que I son los números enteros impares, por lo tanto es un subconjunto no vacío de
, pero como no tiene el elemento neutro en la suma, por tanto no es un anillo, entonces agreguémosle el 0 para que sea anillo. Sea p perteneciente a P (el mismo conjunto del ejemplo anterior), e i perteneciente a I, entonces pi = ip = (2n)(2n+ 1) = 2(n(n+1)) = 2n' = p' que pertenece a P y no a I, por lo tanto I no es un ideal.

En estos ejemplos nos dan una clara visión respecto a los ideales en
, de hecho hay un Teorema muy importante que presentamos a continuación.

Teorema 1.3.1 Todos los ideales de
están formados por los múltiplos de un número entero fijo.

Este Teorema lo demostraremos en el Anexo 2, para así no desviarnos del tema. En el caso particular, los números pares son los múltiplos del número 2 como número fijo, y los impares no tienen un número fijo para ser ideal. Por notación, cuando digamos que un anillo K esta formado por los múltiplos de un número n fijo, lo escribiremos como K = (n).

Dado un ideal U de un anillo K, sea K/U el conjunto de todas las distintas clases laterales de U en K, es decir, K/U consiste en el conjunto de los clases laterales a + U donde a está en K. K/U es automáticamente un grupo bajo la adición, lo que se consigue por la ley de composición: (a + U)+(b + U) = (a + b) + U. Para que K/U sea un anillo nos falta definir una multiplicación. Si a + U = a' + U, y b + U = b' + U, entonces (a + U)(b+ U) = (a' + U)(b' + U), lo que es equivalente a decir que ab + U = a'b' + U. Como a + U = a' + U, a = a' + u1, con u1 en U; análogamente b = b' + u2, luego ab = (a' + u1)( b' + u2) = a'b' + u1b' + a'u2 + u1u2, pero como U es un ideal de K, tanto u1b', como a'u2, como u1u2 están en U, por tanto u1b' + a'u2 + u1u2 = u3 que está en U, entonces ab = a'b' + u3, esto implica que ab + U = a'b' + u3 + U = a'b' + U. Teniendo una multiplicación y una adición definida, nos falta demostrar los axiomas para decir que K/U es un anillo, pero debido a que casi idénticamente similares a todas las verificaciones ya realizadas de los axiomas, daremos por hechas.

%

Es claro que hay un homomorfismo  de K sobre K/U, tal que (a) = a + U para todo a en K. Es por eso que tenemos el siguiente Lema.

Lema 1.3.2. Si U es un ideal del anillo K, entonces K/U es un anillo y es una imagen homomorfa de K.

Cuerpo e Ideal Máximal.

No es difícil creer que entre todos los anillos, los que son un cuerpo son la clase más conveniente. Recordemos que un cuerpo es un anillo conmutativo con división, lo que implica además que es un dominio entero, y si es así, los resultados de las operaciones serán muy similares a las ya conocidas en los números reales o complejos.

Lema 1.4.1. Sea K un anillo conmutativo con elemento unitario cuyos únicos ideales son (0) y el mismo K, entonces K es un cuerpo.

Dem. Para dejar demostrado este lema, tenemos que llegar a que para cada a " 0 en K, hay un elemento b " 0 en K tal que ab = 1.

Supongamos pues que a " 0 está en K. Consideremos el conjunto Ka = {xa / x está en K}. Si u, v están en Ka, u = r1a y v = r2a, para ciertos r1, r2 en K. Luego u + v = r1a + r2a = (r1 + r2)a que está en Ka; análogamente -u = -r1a = (-r1) a que está en Ka. Entonces, Ka es un subgrupo aditivo de K. Ahora, si r está en K, entonces ru = r(r1a) = (rr1)a que está en Ka, por tanto Ka tiene las condiciones para ser un ideal de K. Por hipótesis sobre K, Ka = (0) o Ka = K. Como 0 " a = 1a que está en Ka, entonces Ka " (0). Nos queda la opción de que Ka = K, o sea, que K está formado por el producto de a con algún elemento de K. En particular, 1 está en K, y entonces puede realizarse como múltiplo de a; es decir, existe un elemento b en K tal que ba = 1.

%

Ahora incluiremos un concepto muy importante, para el cual se hará la siguiente definición.

Definición 1.4.1 Un ideal M " K que es un anillo de K se dice que es un ideal Máximal si siempre que U es un ideal de K tal que M subconjunto de U, y U subconjunto de K, se tiene que K = U o M = U.

Para que se entienda más que es un ideal máximal, es que no se puede intercalar otro ideal entre él y el anillo total. Un anillo no necesariamente tiene ideal Máximal, asimismo, un anillo puede tener distintos ideales maximales.

Ejemplo 1.4.1 Sea
el anillo de los números enteros, y U un ideal de
. Afirmamos que si p es un número primo, entonces el conjunto de los múltiplos de p es ideal Máximal de
, este conjunto es P = (p). Como U es ideal de K entonces U = (n0) por el Teorema 1.3.1. Como p pertenece a P que a su vez es subconjunto de U, p = mno para algún m entero; como p es primo, esto implica que n0 = 1 o n0 = p. Si n0 = 1, entonces 1 pertenece a U, de donde r = 1r que pertenece a U, para todo r en
, lo que en otras palabras significa que U =
. Si n0 = p entonces P es subconjunto de U = (n0) que es subconjunto de P, por tanto U = P. Esto implica que ningún otro ideal puede, aparte de ellos mismos, entre P y
, es decir, P es un ideal Máximal.

%

Definición 1.4.2 Sean L, K dos cuerpos tales que K es un subconjunto de L, se dice que L es una extensión de cuerpo de K. Se denotará como L|K. También se conoce como que K está sumergido en L.

Existen infinitas extensiones de cuerpos para los números racionales
, una de ellas

( ), que son de la forma m + n , donde m, n pertenecen a
. Si reemplazamos por cualquier número raíz de un número primo obtenemos diferentes extensiones de cuerpos. (Nota: ¿Qué pasará con los números reales?)

Teorema 1.4.1 Si K es un anillo con elemento unidad y M es un ideal de K, entonces M es un ideal máximal de K si y sólo si K/M es un cuerpo.

Para demostrar este Teorema, necesitamos haber probado antes otro Teorema, por tanto, lo dejaremos en el Anexo 3.

Anillos Euclidianos

Los anillos euclidianos son una clase de anillos muy interesante, y todo lo anterior visto en esta monografía iba dirigido a esta parte en especial. Existen muchas definiciones, teoremas y lemas para esta clase de anillos, por lo cual sólo nos evocaremos a algunos. Partamos con la definición de anillo euclidiano.

Definición 1.5.1 Un dominio entero K se dice que es un anillo euclidiano si para todo a distinto de 0 en K está definido un entero no negativo d(a) tal que:

Para cualesquiera a, b en K, ambos distintos de cero, d(a) " d(ab).

Para cualesquiera a, b en K, ambos distintos de cero, existen t, r en K tales que a = tb + r, donde r = 0 o d(r) < d(b).

Ejemplo 1.5.1 Los números enteros
son un anillo euclidiano, donde d(a) = |a|.

Teorema 1.5.1 Sea K un anillo euclidiano y A un ideal de K. Entonces existe un elemento a0 en A tal que A consiste exactamente en todos los a0x para x en K cualquiera.

Dem. En el caso particular de que A consista solamente en le elemento 0, para a0 = 0 la afirmación del teorema se verifica.

Supongamos que A " 0, luego hay un a " 0 en A. Tomemos como a0 de A, el que tenga el valor mínimo d(a), ya que como d arroja enteros no negativos es posible.

Ahora, supongamos además que a está en A, entonces por las propiedades de los anillos euclidianos, existen t, r en K tales que a = ta0 + r, esto implica que r = a - ta0, y como a y ta0 están en A, r está en A. Si r " 0, entonces d(r) < d(a0), lo que es una contradicción por nuestro primer supuesto, entonces r = 0, y a = ta0 lo que prueba el teorema.

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Corolario al Teorema Un anillo euclidiano posee un elemento unitario.

Dem. Sea K un anillo euclidiano; entonces, como K es ciertamente un ideal de si mismo, debe concluirse, por el Teorema 1.5.1, que K = (u0) para algún u0 en K. Luego todo elemento de K es un múltiplo de u0. En particular u0 = u0c para algún c en K. Si a está en K, entonces a = xu0 para algún x en K, donde ac = (xu0)c = x(u0c) = xu0 = a. Esto implica que c es nuestro elemento unitario.

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Definición 1.5.2 Sea K un anillo conmutativo con elemento unidad. Un elemento a en K es una unidad en K si existe un elemento b en K tal que ab = 1.

No confundir unidad con elemento unitario. Una unidad en un anillo es un elemento cuyo inverso está también en el anillo.

Definición 1.5.3 Sea K un anillo conmutativo con elemento unitario. Dos elementos a y b de K se dicen que son asociados si b = ua para alguna unidad u de K.

Lema 1.5.1 Sea K un anillo euclidiano y a, b en K. Si b no es una unidad en K entonces d(a) < d(ab). (Por definición a y b distintos de 0)

Dem. Consideremos el ideal A = (a). Por la condición (1) para los anillos euclidianos, d(a) " d (xa) para x distinto de 0 en K. Luego el valor de d(a) es el menor de los valores de todos los valores de de d(xa) de los elementos de A. Ahora si d(ab) = d(a), de acuerdo con la prueba que usamos para demostrar el Teorema 1.5.1, como el valor de d(ab) es el mínimo de A, todo elemento de A es múltiplo de ab. En particular, como a está en A, a debe ser un múltiplo de ab; de donde a = abx para algún x en K. Como todo esto se está teniendo dentro de un dominio entero, se deduce que bx = 1. Luego b es una unidad en K, en contradicción al hecho de que no es unidad, por tanto esto demuestra que d(a) < d(ab).

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Definición 1.5.4 En el anillo euclidiano K un elemento p que no sea una unidad, se dice que es un elemento primo de K si siempre que p = ab donde a y b están en K, se tiene que uno de los dos a o b es una unidad en K.

En otras palabras esta definición nos dice que un elemento primo no puede ser factorizado en el anillo que no sea de forma trivial.

Lema 1.5.2 Sea K un anillo euclidiano. Entonces todo elemento en K o es una unidad en K o puede escribirse como el producto de un número finito de elementos primos de K.

Dem. La demostración es por inducción sobre d(a).

Si d(a) = d(1) entonces a es una unidad en K, y por tanto en este caso, la aserción del lema es correcta.

Supongamos que el lema es cierto para todos los elementos x en K tales que d(x) < d(a). Con la base de esta hipótesis intentamos probarlo para a. Esto completaría la inducción y comprobaría el lema.

Si a es un elemento primo de K no hay nada que probar. Supongamos entonces que a = bc donde ni b ni c son unidades en K. Según el lema 1.5.1, d(b) < d(bc) = d(a) y d(c) < d(bc). Luego, por nuestra hipótesis de inducción, b y c pueden escribirse como un producto finito de elementos primos de K; b = p1p2p3p4p5… pn, c = p1''p2'p3'p4'…pm', donde p y p' son elementos primos de K. Por consiguiente, a = bc = p1p2p3p4p5…pnp1''p2'p3'p4'…pm' y de esta forma hemos factorizado a a como un producto de un número finito de elementos primos.

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A modo de concluir con los Anillos Euclidianos, dejando muchas definiciones y lemas de lado, quiero terminar con un Lema bastante importante, que complementa el Teorema 1.5.1.

Lema 1.5.3 El ideal A = (a0) es un ideal Máximal del Anillo Euclidiano K, si y sólo si a0 es un elemento primo de K.

Dem. Probamos primero que si a0 no es un elemento primo, entonces A = (a0) no es un ideal Máximal. En efecto, supongamos que a0 = bc donde b y c están en K, y ninguno unidades en K. Sea B = (b) entonces a0 esta en B de modo de A es subconjunto de B. Además afirmamos que A " B y B " K.

Si B = K entonces 1 está en B de modo que 1 = xb para algún x en K, luego b sería una unidad en K, lo que va contra lo supuesto. Por otra parte, si A = B entonces b está en B = A, de donde b = xa0 para algún x en K. Combinado esto con a0 = bc tendríamos a0 = xca0, de donde xc = 1, pero entonces c sería una unidad en contra también de lo que hemos supuesto. Por tanto ni A ni K son iguales a B, y como A es subconjunto de B entonces no puede ser ideal Máximal.

Ahora, supongamos que a0 es un elemento primo de K y que U es un ideal de K tal que A = (a0) es subconjunto de U, que a su vez es subconjunto de K. Por el Teorema 1.5.1, U = (u0), luego a0 = xu0, pero como a0 es un elemento primo, implica que o x o u0 es una unidad de K. Si u0 es una unidad de K, implica que U = K. Por el otro lado, si x es una unidad, x-1 está en K, entonces de la relación a0 = xu0, nos da que u0 = x-1a0, en otras palabras A es subconjunto de U, y U es subconjunto de A, o sea, A = U. por tanto no hay ningún otro ideal que se encuentre propiamente entre A y K, luego A es un ideal Máximal de K.

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Anillos de Polinomios

Hasta el momento este ensayo monográfico se ha basado mucho en el aspecto teórico, haciendo una serie de definiciones, declarando lemas y teoremas con sus respectivas demostraciones; es por esto que antes de hablar de los Enteros Gaussianos, vamos a llevar a la práctica todo lo anterior con los Anillos de Polinomios, ya que en estos hay un gran desarrollo a lo que Teoría de Anillos se refiere, y por otro lado, nos servirá a futuro para culminar esta monografía con los números complejos vistos de una forma distinta a lo que comúnmente se conoce.

Antes de entrar derechamente a los Anillos de Polinomios, sería bueno que se repasara el Ejemplo 1.2.7, a modo de ver un ejemplo determinado de Anillo de Polinomios.

Definamos primeramente qué le llamaremos Anillo de Polinomios.

Definición 1.6.1 Sea F un cuerpo. Llamaremos anillo de polinomios sobre F en la indeterminada x, y representaremos por F[x], al conjunto de todos los símbolos a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn, donde n puede ser cualquier entero no negativo y donde los coeficientes a0, a1, a2, a3, …, an están todos en F.

Ahora necesitamos poder identificar cuando dos polinomios son iguales, como se realiza la suma y como se multiplican los polinomios.

Definición 1.6.2 Si p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn-1xn-1 + bnxn están ambos en F[x], entonces p(x) = q(x) si y sólo si, para todo entero i " 0, ai = bi.

En otras palabras, dos polinomios son iguales si sus correspondientes coeficientes son iguales.

Definición 1.6.3 Si p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn-1xn-1 + bnxn están ambos en F[x], entonces p(x) + q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + cn-1xn-1 + cnxn donde para cada todo entero i " 0 , ci = ai + bi.

Definición 1.6.4 Si p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y q(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn-1xn-1 + bnxn están ambos en F[x], entonces p(x) q(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + cn-1xn-1 + cnxn donde para cada todo entero t " 0 , ct = atb0 + at-1b1 + at-2b2 + … + a0bt.

Luego de haber definido un anillo de polinomios, definamos una función bastante importante.

Definición 1.6.5 Si
(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y an " 0; entonces el grado de
(x), escrito: deg
(x), es n.

Esto quiere decir que el grado de
(x) es el mayor entero i para el cuál el i-ésimo coeficiente de
(x) no es 0. Decimos que el polinomio es una constante si es de grado 0 o es el polinomio 0 (
(x) = 0).

Observemos que la función deg
(x) tiene las características necesarias para ser la función que nos indique que F[x] es un anillo euclidiano, y es ese nuestro objetivo.

Lema 1.6.1 Si
(x), g(x) son dos elementos distintos del cero de F[x], entonces deg
(x)g(x) = deg
(x) + deg g(x).

Dem. Supongamos que
(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn y g(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bm-1xm-1 + bmxm y que an " 0 y bm " 0. Tenemos pues, deg
(x) = n y deg g(x) = m. Por definición
(x)g(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + … + cn-1xn-1 + cnxn donde para cada todo entero t " 0 , ct = atb0 + at-1b1 + at-2b2 + … + a0bt. Afirmamos que cn+m = anbm y por definición se puede ver de forma directa. Afirmamos también que ci = 0 si i > n + m, ya que ci es la suma de los términos aibi-j, o sea, i = j + (i - j) > n + m, entonces o j > n o (i - j) > m, pero entonces uno de los dos, aj o bi-j es 0, luego ajbi-j = 0; como ci es una suma de una colección de ceros, él mismo es cero, y nuestra afirmación ha quedado probada. Luego el coeficiente más alto distinto de cero de
(x)g(x) es cn+m de donde deg
(x)g(x) = n + m = deg
(x) + deg g(x).

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Primer Corolario al Lema. Si
(x), g(x) son dos elementos distintos del cero de F[x], entonces deg
(x)g(x) " deg
(x).

Dem. Como deg
(x)g(x) = deg
(x) + deg g(x), y como deg g(x) " 0, el resultado es inmediato.

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Segundo Corolario al Lema. F[x] es un dominio entero.

La demostración está más adelante.

Hasta el momento sabemos que F[x] es un dominio entero, y que la función deg
(x) está definida para todo
(x) " 0 en F[x], y que además cumple las siguientes propiedades:

deg
(x) es un entero no negativo.

deg
(x) " deg
(x)g(x) para todo g(x) " 0 en F[x].

por lo tanto para que F[x] sea un anillo euclidiano sólo falta que dados
(x), y g(x) en F[x], existan t(x), r(x) en F[x] tales que
(x) = t(x)g(x) + r(x).

Lema 1.6.2 Dados dos polinomios
(x) y g(x) en F[x] con g(x) " 0, existen dos polinomios t(x) y r(x) en F[x] tales que
(x) = t(x)g(x) + r(x) donde r(x) = 0 o deg r(x) < deg g(x).

Este lema se conoce como el algoritmo de la división, y su demostración es el proceso de división larga que comúnmente se conoce para dividir polinomios, de todas formas la demostración formal esta en el Anexo 4.

Con este Lema, y lo dicho antes de este, podemos afirmar que:

Teorema 1.6.1 F[x] es un anillo euclidiano.

Sabiendo que F[x] es un anillo euclidiano, sólo nos queda hacer una definición importante y dar dos lemas que ya fueron demostrados en el punto anterior de los anillos euclidianos. Definamos primeramente entonces, que es lo que correspondería a un elemento primo.

Definición 1.6.6 Un polinomio p(x) en F[x] se dice que es irreducible sobre F si siempre que p(x) = a(x)b(x) pertenecientes a F[x], entonces uno o los dos, a(x) o b(x), tienen grado cero, es decir, son una constante.

Cabe destacar que la irreductibilidad depende del cuerpo en cuestión, ya que x2 + 1 es irreducible en los números reales, pero no así en los complejos.

Lema 1.6.3 Cualquier polinomio en F[x] puede escribirse en forma única como un producto de polinomios irreducibles en F[x].

Esto se demuestra por el Lema 1.5.2.

Lema 1.6.4 El ideal A = (p(x)) en F[x] es un ideal Máximal si y sólo si p(x) es irreducible sobre F.

Esto se demuestra por el Lema 1.5.3.

Por último para concluir este punto de los anillos de polinomios, y así a su vez terminar con la primera parte de esta monografía, dejamos este lema.

Lema 1.6.5 Si F es un domino entero, entonces también lo es F[x].

Dem. Sea
(x) " 0 y deg
(x) = m, si F es un dominio entero, entonces por el Lema 1.6.1 tenemos que deg
(x)g(x) = deg
(x) + deg g(x), pero para
(x) " 0 y g(x) " 0, es imposible tener
(x)g(x) = 0, luego F[x] es un dominio entero.

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Parte 2: Enteros Gaussianos.

Su origen

Luego de una extensa primera parte, entramos directamente a lo que en particular interesa, los enteros gaussianos. Esta segunda parte va a ser bastante más corta que la primera, debido a que todos los elementos necesarios para el análisis de los enteros gaussianos ya fueron debidamente definidos, y como veremos más adelante los respectivos lemas y teoremas también se cumplen, pero antes de comenzar con todo esto, haremos una pequeña reseña acerca del origen de los enteros gaussianos.

Se sabía que ciertos números enteros podían ser escrito como la suma de dos cuadrados, entonces lo que Gauss se preguntaba era que si dos números, que podían se escrito como la sumas de dos cuadrados, multiplicados entre sí eran la suma de dos cuadrados. Lo que en un principio parece algo trivial, no lo es tan así, pero la pregunta central es porqué un matemático de la talla y genialidad de Gauss se proponía algo con tan poca trascendencia (a simple vista), ya que de qué podría servir saber el resultado de esa problemática. El resultado fue mayor de lo esperado, ya que Gauss descubrió gracias a esto los enteros gaussianos (obviamente no llamados así, debido a que este nombre se debe en honor a Gauss, no porque Gauss lo quisiera).

Los enteros gaussianos son los números a + bi tales que a, b pertenecen a
e i2 = -1, y como podemos observar por el Ejemplo 1.2.8 son una subclase de los números complejos, por lo que es común suponer que de los números complejos se descubrieron los enteros gaussianos, pero la historia no dice eso, ya que fue completamente lo contrario, ya que el descubrimiento de Gauss hizo que posteriormente se descubrieran los números complejos, y ¡que gran descubrimiento!, por lo que veremos posteriormente.

Cabe notar la estrecha relación que tienen los números complejos, y por lo tanto los enteros gaussianos, con uno de los hechos por el cual Gauss es comúnmente reconocido, sus demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra, el cual dice que todo polinomio de coeficientes reales de grado mayor o igual a dos tiene por lo menos una raíz (o sea un número dónde el polinomio tenga valor 0). Gauss dio a lo largo de su vida cuatro demostraciones de ese teorema, siendo que durante siglos había sido un gran misterio para los matemáticos. Los números complejos entregan las herramientas para asegurar que todo polinomio tiene una raíz.

Un Anillo Especial

Denotemos por J[i] como el conjunto de todos números de la forma a + bi tales que a y b son números enteros e i2 = -1, y que tienen la adición y multiplicación idénticas a las del Ejemplo 1.2.8, o sea las empleadas en los números complejos. Decimos por tanto que J[i] es el dominio de los enteros gaussianos.

Nuestro primer objetivo es decir que J[i] es un dominio entero.

Sean x = a + bi e y = c + di, ambos distintos de 0, entonces xy = (ac - bd, ad + bc). Supongamos que xy = 0, entonces:

ac - bd = 0

ad + bc = 0

Para estas dos ecuaciones no existen valores en los enteros que cumplan a ambas, por tanto, nuestra suposición es falsa. Luego, J[i] es un dominio entero.

Sabiendo que J[i] es un dominio entero, podemos probar el siguiente Teorema.

Teorema 2.2.1 J[i] es un anillo euclidiano.

Dem. Para que J[i] sea un anillo euclidiano necesitamos definir primero una función que satisfaga las condiciones de la Definición 1.5.1. Si u = a + bi en J[i], sea d(u) = a2 + b2 = u
, donde
es el conjugado de u, o sea,
= a - bi. Vemos primeramente que d(u) arroja resultados de enteros no negativos, por tanto posee la condición inicial para ser la función que nos diga que J[i] es un anillo euclidiano. Ahora probemos la primera condición de la Definición 1.5.1. Sean x e y en J[i], d(y) " 1, entonces d(x) = d(x)1 " d(x)d(y) = d(xy), por tanto cumple con la primera condición, entonces sólo falta demostrar la segunda condición. Sea u " 0 y v elementos arbitrarios de J[i]. Sabemos que u
, es un entero positivo n. Sabemos que hay elemento t y r en J[i], que cumplen que v
= tn + r donde r = 0 o d(r) < d(n). Luego d(r) = d(v
- tu
) < d(n) = d(u
), entonces d(
(v - tu)) = d(
)d(v -tu) < d(u)d(
), como d(
) < 0, entonces podemos decir que d(v -tu) < d(u), luego v = tu + r0, y con esto hemos probado el teorema, ya que t y r0 están en J[i], y como acabamos de ver r0 = 0 o d(r0) = d(v - tu) < d(u).

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Ahora sabiendo cuales son los enteros gaussianos y teniendo en cuenta que son un anillo euclidiano podemos ver el análisis que hizo Gauss respecto a su problema “trivial”, pero antes hagamos dos definiciones y dispongamos de unos lemas, de los cuales sus demostraciones quedarán para el Anexo 5.

Definición 2.2.1 Si a " 0 y b están en un anillo conmutativo K, entonces se dice que a divide a b si existe un c en K tal que b = ac. Usaremos el símbolo a|b para denotarlo.

Lema 2.2.1 Sea K un anillo euclidiano. Entonces cualesquiera dos elementos a y b en K tienen un máximo común divisor d. Además d = a + b.

Definición 2.2.2 En el anillo euclidiano K, a y b en K se dicen que son primos relativos si su máximo común divisor es una unidad de K. Lo denotamos como (a, b) = 1.

Lema 2.2.2 Sea K un anillo euclidiano. Supongamos que para a, b , c en K se tiene que a|bc pero (a,b) = 1. Entonces a|c.

Lema 2.2.3 Si p es un elemento primo en el anillo euclidiano K y p|ab donde a y b están en K, entonces p divide al menos a uno de los dos elementos a o b.

Recordemos ahora lo que quería probar Gauss, si dos números eran la suma de dos cuadrados, entonces el producto entre ellos es la suma de dos cuadrados. Gauss observó que bastaba para el caso con un número primo, debido al Lema 1.5.2, por tanto formuló el siguiente Lema.

Lema 2.2.4 Sea p un entero primo y supongamos que para algún entero c, primo relativo con p, podemos encontrar enteros x e y tales que x2 + y2 = cp. Entonces p puede escribirse como la suma de los cuadrados de dos enteros, es decir, existen a y b tales que a2 + b2 = p.

Dem. El anillo de los enteros es un subanillo de J[i]. Supongamos que el entero p es un elemento primo en J[i]. Como cp = x2 + y2=(x + yi)(x - yi) entonces por el Lema 2.2.3, p|(x - yi) o p|x + yi) en J[i]. Pero si p|(x + yi) entonces x + yi = p(u + vi) lo que nos diría que x = pu e y = pv de forma que p dividiría también a x - yi, entonces, p2|(x + yi)(x - yi) = cp, de lo que se seguiría que p|c lo que va en contra de lo supuesto. De forma análoga se hace con p|(x - yi). Luego p no es un elemento primo en J[i], por tanto p = (a + bi)(g + di) donde a+ bi y g + di están en J[i] y ninguno de ellos es una unidad, y esto significa que ni a2 + b2 = 1 ni g2 + d2= 1. Como p = (a + bi)(g + di), se obtiene que p = (a - bi)(g - di), por tanto p2 = (a + bi)(g + di) (a + bi)(g + di) = (a2 + b2)( g2 + d2). Luego (a2 + b2)| p2, luego (a2 + b2) puede ser igual a 1 o a p o a p2. Lo primero lo descartamos debido (a + bi) no es una unidad. Lo mismo ocurre con (a2 + b2) = p2, ya que esto significaría que g2 + d2= 1 cosa sabemos que no puede ser. Luego a2 + b2 = p.

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Luego de haber probado este Lema, sabemos que lo que se proponía Gauss era cierto de forma inversa, o sea, que si un producto de dos enteros, uno de ellos primo, es la suma de dos cuadrados, entonces ese número primo puede ser expresado como la suma de dos cuadrados, entonces la pregunta que faltaba responder es que números primos cumplían con que era la suma de dos cuadrados, y para esto necesitamos saber que los números primos se dividen en dos clases, los que tienen como residuo 1 al dividirlos por 4, y los que tienen residuo 3.

Ahora necesitamos hacer la siguiente notación. Si un numero x al ser dividido por un número y se obtiene un residuo r, esto se escribirá como x " r mód y.

Con esta denotación podemos dar el siguiente Lema que nos da el salto final para nuestro objetivo.

Lema 2.2.5 Si p es un número primo de la forma 4n + 1 entonces puede resolverse la congruencia x2 " -1 mód p.

Este Lema lo probaremos en el Anexo 6.

Tenemos todas las herramientas para demostrar el siguiente Teorema.

Teorema 2.2.1 Si p es un número primo de la forma 4n + 1 entonces p = a2 + b2.

Dem. De acuerdo al Lema 2.2.5 existe un x tal que x2 " -1 mód p. Puede escogerse un x de forma que 0 " x " p - 1 ya que solamente necesitamos usar el residuo de x en la división por p. Podemos restringir el tamaño de x aún más de modo que |x| " p/2; pues si x > p/2 entonces y = p - x y satisface y2 " -1 mód p y |y| " p/2. Podemos, pues, suponer que tenemos un entero x tal que |x| " p/2 y x2 + 1 es un múltiplo de p, digamos cp. Ahora bien cp = x2 + 1" p2/4 + 1< p2, de donde se saca que c < p y, por tanto, p no divide a c, de donde, según en Lema 2.2.4 se obtiene que a2 + b2 = p, para algunos enteros a y b, comprobando el Teorema.

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Haciendo una recopilación de lo dicho, Gauss llegó a la conclusión de que los números primos de la forma 4n + 1 pueden ser representado como la suma de dos cuadrados, y no sólo eso, si no que un múltiplo por un número entero primo relativo con él, también es la suma de dos cuadrados, respondiendo su problema “trivial”. Ahora, que sucede con la otra forma de números primos, o sea, de la forma 4n + 3, y si vemos los primeros números primos de esa forma, es decir, el 7, el 11, y el 19 vemos que ninguno de ellos puede ser representado como al suma de dos cuadrados, entonces cabe preguntarse si todos los números primos de esta forma no pueden representarse como la suma de dos cuadrados, y la respuesta es afirmativa, o sea, es imposible que un número primo de la forma 4n+ 3 sea la suma de dos cuadrados. La demostración es con aritmética básica, por lo que se deja al lector.

Los Números Complejos.

Sin hacer mayor preámbulo, con todo lo que sabemos respecto a Teoría de Anillos y a Anillos de Polinomios, estudiemos el siguiente anillo cociente.

K =
[x] / (x2 + 1) = { p(x) + (x2 + 1) / p(x) está en
[x]}

Como (x2 + 1) es un polinomio irreducible sabemos que es un ideal Máximal para el anillo de los polinomios con coeficientes reales.

Por el Lema 1.6.2 sabemos que p(x) puede ser escrito como p(x) = q(x)(x2 + 1) + r(x), luego:

K = {q(x)(x2 + 1) + r(x) + (x2 + 1) / q(x) y r(x) están en
[x] y donde r(x) = 0

deg (r(x) < deg (x2 + 1)}

Como (x2 + 1) es un ideal absorbe el múltiplo q(x) (x2 + 1).

= { r(x) + (x2 + 1) / q(x) y r(x) están en
[x] y donde r(x) = 0 deg (r(x) <

deg (x2 + 1)}

Como el deg (x2 + 1) = 2, r(x) tiene que tener a lo más grado 1, por tanto r(x) es de la forma a + bx.

= {a + bx + (x2 + 1) / a, b están en
}

Ahora necesitamos saber qué es x, por tanto sea a = 0 y b = 1

Caso particular: {x + (x2+ 1)} y lo elevamos al cuadrado

{x2+ (x2 + 1)2} = {x2+ (x2 + 1)}

= {x2+ 1 - 1+ (x2 + 1)}

= {-1 + (x2 + 1)}

En otras palabras x es un número que elevado al cuadrado es igual a -1

Otro caso particular importante es ver para a = 1 y b = 0

Caso particular 2: {a + (x2 + 1) / a está en
}

Sea x = a + 0i e y = c + 0i. Vemos que x+ y = (a+ b) + 0i que está en
, y que xy = ab + 0i que también está en
, y además ambos números cumplen las condiciones de los números reales, por tanto los reales están contenidos dentro de
.

Esto quiere decir, en otras palabras, que los números reales se encuentran de alguna forma dentro de K, y tomando en cuenta el Lema 1.3.2 vemos que los números reales son una imagen homomorfa dentro los números complejos.

Resumiendo, vemos que, haciendo x = i:

K = {a + bi / a y b están en
}

Hemos construido algebraicamente a los números complejos, ya que K =

Por el Teorema 1.4.1 podemos afirmar también que
es un cuerpo.

Existen extensiones del cuerpo de los Complejos, como los cuaterniones de Hamilton (bastante conocidos) y los octoniones o Álgebra de Cayley. Con esto queda claro que todo no se termina en los Complejos, pero lo que si, los números son el mayor cuerpo dentro de los anillos, en otras palabras, todas las extensiones ya nombradas ninguna es un cuerpo, y aunque existieran más, está comprobado que los complejos son el último cuerpo entre todos los anillos.

Conclusiones

Durante esta monografía tuvimos que enfrentarnos a la gran tarea de comprender a grandes rasgos Teoría de Anillos, para así poder hablar brevemente acerca de unos números llamados enteros gaussianos. Es quizás esta la mejor comparación para referirnos al problema que se planteó Gauss y la forma de resolverlo, ya que para poder responderse que si dos números se pueden escribir como la suma de dos cuadrados, el producto entre ellos puede escribirse como la suma de dos cuadrados, tuvo que construir unos números desconocidos que tenían la gracia de ser un anillo euclidiano; y luego de obtener la respuesta que necesitaba, se encontró frente a algo mucho mayor, un cuerpo de números que él mismo construyó y que abrió completamente los limites que tenían los números en esa época, encontrando muchos anillos nunca antes vistos.

Asimismo ocurrió con el Último Teorema de Fermat, que tuvo siglos de desarrollo para que después de inventar una Teoría de Números completamente nueva y la Teoría de Curvas Algebraicas, se pudo demostrar el Teorema, el cual se trataba simplemente de que es imposible hallar enteros x, y , z tales que xn + yn = zn cuando n es mayor que 2. Hasta el mismo Gauss mencionó al respecto “… el Teorema de Fermat es una proposición aislada que me interesa muy poco, porque yo mismo podría establecer una multitud de proposiciones de este tipo que no se podrían ni demostrar ni ser usadas”. Esto deja en claro que hasta un genio como Gauss tampoco logró deslumbrar como una serie de proposiciones “sin sentido” podrían derivar en algo completamente asombroso.

Estos dos ejemplos nos sirven para obtener una noción de los caminos que toma las matemáticas y como se va expandiendo, inclusive a través de proposiciones o problemáticas sin mayor sentido o trascendencia (a simple juicio). Es en este punto donde quiero concentrar la atención, y fue mi verdadero propósito en este ensayo monográfico, el cual espero haber logrado.

La historia de las matemáticas ha sido escrita por muchos problemas trascendentales, muchas proposiciones sin sentido, muchas cosas “triviales”; sería innecesario nombrar ejemplos aparte de los mencionados, ya que en su gran mayoría siguieron los mismos pasos, y logrando así que el mundo de las matemáticas se expandiera a pasos agigantados.

Anexos

Anexo 1:

Para poder demostrar que el anillo de los enteros módulo p es un cuerpo, cuando p es un número primo, necesitamos demostrar antes el siguiente lema.

Lema: Un dominio entero finito es un cuerpo.

Dem. Sea D un dominio entero finito y sean x1, x2, x3, …, xn todos elementos de D y supongamos que a está en D y es distinto de 0. Consideremos los elementos x1a, x2a, x3a, …, xna, todos distintos debido a que si xia = xja, se tiene que (xi - xj)a = 0 y como D es un dominio entero y a distinto de cero, se tendría que (xi - xj) = 0, que sería lo mismo que decir que xi = xj que va contra lo supuesto si i " j. Tenemos pues que x1a, x2a, x3a, …, xna son n distintos elementos de D que tiene exactamente n elementos. El Principio de las Casillas dice que si n objetos se distribuyen en m lugares y si n > m entonces al menos un lugar recibirá dos objetos. Utilizando esto, tenemos que todo elemento de D puede ser representado como y = xia para algún xi. En particular a = xi0a para cierto xi0 en D. En particular tenemos que y = xia, por tanto yxi0 = xiaxi0 = xia = y, o sea demostramos que el elemento xi0 es el elemento unidad en D y lo escribimos como 1. Ahora bien si 1 está en D se desprende por el argumento previo que es realizable como un múltiplo de a, entonces se tiene que 1 = ba para algún b en D. Con esto se cumple el Lema.

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Corolario: Si p es un número primo entonces Jp, el anillo de los enteros módulo p, es un cuerpo.

Dem. De acuerdo con el Lema anterior, bastaría con demostrar que Jp es un dominio entero, ya que tiene un número finito de elementos. Si a y b están en Jp y ab = 0, entonces p debe dividir al entero ordinario ab, pero por ser un número primo se tiene que a " 0 mód p o b "0 mód p, luego se tiene que una de ellas es cero.

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Anexo 2

Teorema: Todos los ideales de
están formados por los múltiplos de un número entero fijo.

Dem. Sea A un ideal de
y sea k un elemento de A. Como es un anillos, sabemos que -k también esta dentro del ideal, por tanto tomemos un k positivo y que además sea el mínimo valor de todos los elementos del ideal. Por el Algoritmo de la División en los números enteros sabemos que cualquier otro número a dentro del ideal A, se tiene que a = bk + r donde b está en
y r pertenece a A, y además r = 0 o r < k, pero como k era el menor valor del ideal A, r necesariamente tiene que ser 0. Luego, cualquier elemento a del ideal A esta formado como a = bk donde b está en
. Luego A = (k).

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Anexo 3

Para poder demostrar el Teorema 1.4.1 necesitamos dar un par de pasos antes.

Definición: Si  es un homomorfismo de K en K' entonces el núcleo de , I(), es el conjunto de todos los elementos a en K tales que (a) = 0, el elemento cero de K'.

Definición: Un homomorfismo de K en K' se dice que es un isomorfismo si es una aplicación inyectiva.

Definición: Dos anillos se dice que son isomorfos si existe un isomorfismo del uno sobre el otro.

Teorema: Sean K y K' anillos y  un homomorfismo de K sobre K' de núcleo U. Entonces K' es isomorfo a K/U. Además hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de ideales de K' y el conjunto de ideales de K que contienen a U. Esta correspondencia puede obtenerse asociando a cada ideal W' en K' el ideal W en K definido por W = {x| x está en K y (x) está en W'}. Con W así definido K/W es isomorfo a K'/W'.

Ahora demostramos el Teorema 1.4.1

Teorema: Si K es un anillo conmutativo con elemento unidad y M un ideal de K, entonces M es un ideal máximal de K si y sólo si K/M es un cuerpo.

Dem. Supongamos primero que M es un ideal de K tal que K/M es un cuerpo. Como K/M es un cuerpo sus ideales son solo (0) y K/M mismo, pero por el Teorema anterior hay una correspondencia inyectiva entre el conjunto de ideales K/M y el conjunto de ideales de K que contienen a M. El ideal M de K se corresponde con el ideal (0) de K/M mientras que el ideal K de K se corresponde con el ideal K/M de K/M en esta aplicación inyectiva. Luego no hay ningún otro ideal, entre M y K aparte de estos dos. Luego M es ideal máximal.

Por otra parte, si M es un ideál máximal de K, por la correspondencia arriba mencionada K/M tiene solamente a (0) y a sí mismo como ideales. A su vez K/M es conmutativo y tiene elemento unidad ya que K tiene esas dos propiedades. Todas las condiciones del Lema 1.4.1 se cumplen para K/M por lo que podemos concluir que K/M es un cuerpo.

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Anexo 4

Lema: Dados dos polinomios
(x) y g(x) en F[x] con g(x) " 0, existen dos polinomios t(x) y r(x) en F[x] tales que
(x) = t(x)g(x) + r(x) donde r(x) = 0 o deg r(x) < deg g(x).

Dem. Si el grado de f(x) es menor que el de g(x) no hay nada que probar, pues nada más tenemos que poner t(x) = 0, r(x) = f(x) y ciertamente, tenemos que f(x) = 0g(x) + f(x) donde deg f(x) < deg g(x) o f(x) = 0.

Podemos suponer que
(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + am-1xm-1 + amxm y g(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bn-1xn-1 + bnxn y que am " 0 y bn " 0 y m " n.

Sea f1(x) = f(x) -(am/bn)xm-ng(x); entonces deg f1(x) " m-1, de donde por inducción sobre el grado de f(x) podemos suponernos que f1(x) = t1(x)g(x) + r(x) donde r(x) = 0 o deg r(x) < deg g(x), pero entonces f(x) - (am/bn)xm-ng(x) = t1(x)g(x) + r(x). Si ponemos t(x) = (am/bn)xm-n + t1(x) tendremos que f(x) = t(x)g(x) + r(x), donde t(x) y r(x) están en F[x] y donde r(x) = 0 o deg r(x) < degg(x).

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Anexo 5

Debemos probar los Lemas 2.2.1, 2.2.2 y 2.2.3.

Lema 2.2.1 Sea K un anillo euclidiano. Entonces cualesquiera dos elementos a y b en K tienen un máximo común divisor d. Además d = a + b.

Dem. Sea A el conjunto de todos los elementos ra + sb donde r y s son elementos cualesquiera de K. Afirmamos que A es un ideal de K. Supongamos en efecto que x e y están e K, entonces x = r1a + s1b e y = r2a + s2b, entonces x + y = (r1 + r2)a + (s1 + s2)b que está en A. Análogamente para u en K se tiene ux = u(r1a + s1b) = ( ur1)a + (us1)b que también está en A, entonces A es un ideal.

Como A es un ideal de K, por el Teorema 1.5.1 existe un elemento d en A tal que todo elemento de A es un múltiplo de d. Por el hecho de ser d un elemento de A y de ser todos los elementos de A de la forma ra + sb, d = a + b para ciertos  y  en K. Ahora de acuerdo al corolario del Teorema, K tiene un elemento unidad 1, luego a = 1a + 0b y b = 0a + 1b. Luego por estar en A, ambos son múltiplos de d de donde d|a y d|b.

Supongamos finalmente que c|a y c|b; entonces c| a y c| b; de modo que c divide ciertamente a a + b = d, por lo tanto, d tiene todas las condiciones requeridas a un máximo común divisor. %

Lema 2.2.2 Sea K un anillo euclidiano. Supongamos que para a, b , c en K se tiene que a|bc pero (a,b) = 1. Entonces a|c.

Dem. Como hemos visto en el lema anterior, el máximo común divisor de a y b puede realizarse en la forma a + b. Luego, por nuestra hipótesis, a + b = 1. Multiplicando esta relación por c obtenemos ac + bc = c. Pero a| ac siempre y a| bc por hipótesis; luego a| (ac + bc) = c.

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Lema 2.2.3 Si p es un elemento primo en el anillo euclidiano K y p|ab donde a y b están en K, entonces p divide al menos a uno de los dos elementos a o b.

Dem. Supongamos que p no divide a a; entonces (p, a) = 1. Aplicando ahora el Lema anterior tenemos que p|b.

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Anexo 6

Lema 2.2.5 Si p es un número primo de la forma 4n + 1 entonces puede resolverse la congruencia x2 " -1 mód p.

Dem. Sea x = 1·2·3·4·…·((p-1)/2) como p - 1 = 4n, en este producto para la obtención de x hay un número par de términos, en consecuencia de lo cual:

x = (-1)(-2)(-3)…(-((p-1)/2)) pero p - k = -k mód de p, de modo que

x2 " (1·2·3·4·…·((p-1)/2))(-1)(-2)(-3)…(-((p-1)/2))

" 1·2·3· … · ((p-1)/2)((p+1)/2) … (p - 1)

" (p - 1)! = -1 mód p.

En esta última congruencia se ocupo el Teorema de Wilson, que dice que (p-1)! " -1(p).

Bibliografía

I. N Herstein. “Álgebra Moderna”. 1975. Editoral Trillas. España.

Lang, Serge. “Algebra”. 1965. Editorial Addison-Wesley. EE.UU.

Newmann. “El Mundo de las Matemáticas”. 1968. Ediciones Grijaldo. España.