EJERCICIOS DE SUMAS DE CUADRADOS

1).-Partiendo de N = 3293 = 53 ² + 22 ² , y sabiendo que 1301 ² ≡ 3292 ( mód.3293 ),

hallar los factores de “N” , así como los cuadrados que tengan como residuo N-1.

2).-El número N = 11.659 es igual a la diferencia de dos cuadrados , 110 ² ─ 21 ² .Ha-

llar los factores de “N”.

3).-Sabiendo que N = 19.993 = 133 ²+ 48 ² ,calcular el cuadrado que genera como res-

to R(x) = 16744.- Téngase en cuenta que R(x) = ( N - 57 ² ).

4).-N = 26.689 , tiene como factores 13 y 2053.- Descomponer “ N “ en suma de cua-

drados.

5).-Hallar los divisores del número N = 56.117 , sabiendo que es igual a 169 ² + 166 ² =

= 226 ²+ 71 ² .

6).-Calcular diversas combinaciones de sumas de cuadrados del número 28.845.

7).-El número 26.689 , es igual a 135 ² + 92 ² . Hallar su factores .

8).-Representar un cuadrado , como la diferencia entre la suma de de dos grupos de tres

cuadrados.

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Ejercicio 1

N = 3293 x = 89 y = 37

3293 = 53 ² + 22 ² = 2809 + 484

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1301 ² ≡ 3292 ( mod. 3293 )

22 ² x 1301² ≡ 2278 ( mód.3293) ; 2278 ² ≡ 2809 ( mod.3293 )

53 ² x 1301² ≡ 3093( mód.3293) ; 3093 ² ≡ 484 ( mod. 3293 )

3093 - 22 = 3071 = 37 x 83

2278 - 53 = 2225 = 25 x 89

3293 b + 53

a = ------------------------ = 2547

22

3293 b + 22

a = ----------------------- = 746

53

2547 ² ≡ 3292 ( mod.3293 )

746² ≡ 3292 ( mod. 3293 )

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Ejercicio 2

N = 11659

110² - 21² = 11659

11659 b - 110

a = ---------------------- = 9433

21

9433 ² ≡ 1 ( mod. 11659 )

11658² ≡ 1 ( mod. 11659 )

9433² ≡ 1 ( mod. 11659 )

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2225² = 5 x 5 x 89

N = 11659 = 89 x 131

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Ejercicio 3

N = 19993 = Primo = 133² + 48² R(x) = 16744

1993 b + 133

a = --------------------- = 14581

48

14581² ≡ 19992 ( mod. 19993 )

R CTO C

Cuadrado del

complemento x 14581

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10898 x 3249 = 19992 19992 ² 5412 ²

19992 x 3249 = 16744 19936 ² 8589 ²

16744 x 3249 = 303 16744 ² 9741 ² De arriba abajo, se multiplica

303 x 3249 = 4790 14737 ² 15426 ² por 57 .

4790 x 3249 = 8156 303 ² 19583 ²

8156 x 3249 = 8119 17271 ² 16616 ²

La columna “ C ” indica los cuadrados que generan los restos de la columna “ R “ .La columna “ CTO” son los cuadrados que tienen como residuo cuadrático ( N - R )

57 ² ≡ 3249 ( mod. 19993 )

19936² ≡ 3249 ( mod. 19993 )

3249² ≡ 15203 ( mod. 19993 )

14581² ≡ 19992 ( mod. 19993 )

5412² ≡ 19992 ( mod. 19993 )

3249 ³ ≡ 15203 ( mod. 19993 ) 19993 - 4790 = 15203

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Ejercicio 4

N = 26689 = 13 x 2053 = ( 2² + 3² ) ( 17² + 42² ) =

= ( 34² + 51² ) + ( 84² + 126² ) = ( 84² + 51² ) + ( 126² - 34 ² ) =

= 135 ² + 92 ² = 33 ² + 160 ²

a + b = 135 c + d = 160

a - b = 33 c - d = 92

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2 a = 168 2 c = 68

a = 84 c = 34

b = 51 d = 126 26689 = 34² + 51² + 84² + 126²

34 ² = 2² x 17² 2 2

2 + 3 = 13

51² = 3² x 17²

84 ² = 2² x 42² 2 2

17 + 42 = 2053

126 ² = 42² x 3²

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Ejercicio 5

2 2 2 2

N = 56117 = 169 + 166 = 226 + 71

c + d = 169 a + b = 226

c - d = 71 a - b = 166

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2 c = 240 2 a = 392

c = 120 a = 196

d = 49 b = 30

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a = 4 x 49 b = 2 x 15 c = 2 x 15 x 4 d = 7 x 7

49 ² + 30 ² = 3301

4 ² + 1 ² = 17

3301 x 17 = 56.117

a = 4 ² x 7 ² x 7 ²

b = 2 ² x 3 ² x 5 ²

c = 2 ² x 4 ² x 3 ² x 5 ²

d = 7 ² x 7 ²

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Ejercicio 6

2 2

N = 28845 = 99 + 138

28845 : 5 = 5769 5 = 2 ² + 1

5769 = 12 ² + 75 ²

( 12 ² + 75² ) ( 2 ² + 1 ² ) = ( 24 ² + 150 ² + 12 ² + 75² )

( 24 + 75 ) ² = 99 ² ( 150 - 12 ) ² = 138 ²

28845 = 99 ² + 138 ²

28845 = 51 ² + 162 ²

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28845 : 45 = 641 641 = 25 ² + 4 ²

45 = 6 ² + 3 ²

( 25 ² + 4 ² ) ( 6 ² + 3 ² ) = ( 150 ² + 24 ² ) + ( 75² + 12 ² )

2 2 2 2

= 162 + 51 = 138 + 99

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Ejercicio 7

N = 26689 = 135 ² + 92 ²

Multiplicado por “ 5 “

5 x 26689 = 133.445

( 135² + 92² ) ( 2² + 1² ) = ( 270² + 184² ) + ( 135² + 92² ) =

= 362² + 49² = 178² + 319²

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a + b = 362 c + d = 319

a - b = 178 c - d = 49

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540 368

a = 270 c = 184

b = 92 d = 135

a = 270 = 2 x 5 x 3 x 3 x 3

b = 92 = 2 x 2 x 23

c = 184 = 2 x 2 x 2 x 23

d = 135 = 3 x 3 x 3 x 5

2 ² + 3 ² = 13

N = 26689 = 13 x 2053

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Ejercicio 8

Todo cuadrado ,entero, positive,puede descomponerse como la diferencia

entre la suma de dos grupos de 3 cuadrados.

N ² = ( a ² + b ² + c ² ) ─ ( d ² + e ² + f ² )

Condición :

a + d = N b + e = N c + f = N c = 2 N ─ a ─ b

Ejemplo :

N = 161

161 ² = ( 101 ² + 97 ² + 124 ² ) - ( 60 ² + 64 ² + 37 ² )

Si ,

( 2 N - a - b ) ² ≡ 1 ( módulo N )

( 2 N ─ a ─ b ) ² = 4 N - 4 a N - 4 b N + a ² + 2 a b + b ² ≡ 1 ( módulo N )

( a + b ) ² ≡ 1 ( módulo N )

Luego ¿ ( a + b ) = N + 1 ? . Es posible, pero no necesario.

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1

8