TEORIA DE NUMEROS

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA QUE UN NUMERO

SEA SUMA DE DOS CUADRADOS

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No todo número puede ser representado como suma de dos cuadrados.

Pierre de Fermat (1601-1665) ,conocido como el padre de la Teoría de Números , en carta de 25 de diciembre de 1640 , dirigida a Marín Mersenne , fraile franciscano ,

enunció el teorema que afirmaba que un número primo de la forma 4 n + 1 , puede expresarse de

una manera como suma de dos cuadrados. Añadía, que si un número primo, que es suma de dos

cuadrados , se multiplica por otro primo que también es suma de dos cuadrados , el producto sería

la suma de dos cuadrados , de dos formas distintas (1).

Fermat, también afirmó, que ningún número primo de la forma 4n+3

puede expresarse como suma de dos cuadrados (1)

Existe una fórmula sencilla, ya usada por Diofanto :

2 2 2 2 2 2 2 2

( a + b ) ( c + d ) = ( a c + b d ) + ( a d - b c ) = ( a c - b d ) + ( a d + b c )

que permite observar que el producto de dos números ,que son suma de dos cuadrados , es también

suma de dos cuadrados.

Entre otros matemáticos que estudiaron este problema, podemos citar

a Bachet, en sus comentarios al Libro de Diofanto, François Viète y Albert Girad ( 1595-1632).

Este afirmaba , que un número es suma de dos cuadrados , si es un cuadrado, o es el 2 , o es 1 más

múltiplo de 4 , o un producto de tales números. La parte difícil de este Teorema, es probar qué con-

diciones son suficientes. (2)

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En nuestro estudio , hacemos referencia a todo número , N , entero , positivo,

impar, no múltiplo de un cuadrado, ni múltiplo de 3 .

Pueden ser números primos o compuestos .

Los números múltiplos de cuadrado, se dividirán por estas cifras, tantas veces como lo permita el número, hasta obtener el número “N” , válido para el estudio.

Al final del estudio se tendrá en cuenta esta simplificación.

2 2

N = a + b .-CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

Como sabemos, la condición necesaria , pero no suficiente, es que :

N " 1 ( módulo 4 ) .

T E O R E M A

Como condiciones necesarias y suficientes, citaré aquellas en las que se fundamen-

ta mi Teorema , y que más adelante justifico :

A ) .- Para todo “N”, suma de dos cuadrados , dado un resto cuadrático R , módulo el citado “N” , tiene

que existir al menos otra pareja de cuadrados , que genere como resto (N-R).

B).- Para que “N” sea igual a la suma de 2 cuadrados, es preciso que “N” sea igual a la suma de dos cua-

drados consecutivos , más dos veces el producto de 2 números consecutivos :

2 2

N = e + (e + 1) + 2 f ( f + 1 )

C).- Que la suma de 4 cuadrados consecutivos , sea congruente la unidad , módulo “N” .

2 2 2 2

g + ( g + 1 ) + ( g + 2 ) + ( g + 3 ) " 1 ( módulo N )

Podemos citar 2 condiciones necesarias y suficientes , que tienen su fundamento

en las arriba citadas :

D).- Igualmente será condición necesaria y suficientes que N + 1 sea igual a la suma de 4 cuadrados

consecutivos más 16 veces el producto de dos determinados números consecutivos :

2 2 2 2

( a - 3 ) ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a + 3 )

N + 1 = ------------ + ------------- + ------------- + --------------- + 16 t ( t + 1 )

4 4 4 4

E).- Que la suma de 4 cuadrados consecutivos pares, sea congruente 16 , módulo N :

2 2 2 2

h + ( h + 2 ) + ( h + 4 ) + ( h + 6 ) = 16 ( módulo N )

A continuación vamos a justificar el “por qué” ,de las citadas condiciones :

JUSTIFICACION, CONDICION “A”

Para todo “N” , suma de 2 cuadrados , dado un resto cuadrático R , módulo el citado

“N” , tiene que existir al menos otra pareja de cuadrados que genere el resto N - R .

Creemos que esta condición está suficiente mente justificada, y con argumentos diver-

sos.- Citaremos uno :

2 2 2 2

N = a + b a = R b = N - R

2

Otro cualquier resto cuadrático, f " R(2) (módulo N ).- Teniendo en cuenta una de las propieda-

des de los restos cuadráticos, el producto de multiplicar dos restos cuadráticos ,genera otro resto. Luego

tiene que existir un resto “ r “ ,que multiplicado por “R” , genere como resto “R(2)”.

R . r " R(2) ( módulo N ) .- Siendo esto así ,

( N - R ) . r " [ N - R(2) ] ( módulo N )

------------------------------------

Conociendo el cuadrado que genera como resto N-1 , es fácil determinar cualquier cua-

drado que genere como resto N - R .

Ejemplo : 2 2 2 2 2 2

N = 3.977 = a + b = 61 + 16 = 29 + 56

2

C " ( N - 1 ) ( módulo N ) ; C = ( d N - b ) / a C = ( 3977 d - 61 ) / 16

Resolvemos la ecuación indeterminada 16

------------------------------

9 1

3 11

1 9

61 5

d = 5 C = 1.239

2 2

1239 " 3976 ( módulo 3977 ) K " R ( módulo N )

2 2

K . 1239 " ( N - R ) ( módulo N )

JUSTIFICACION CONDICION “ B ”

Esta hacía referencia a :

2 2

N = e + ( e + 1 ) + 2 f ( f + 1 )

2 2 a + b -1

N = a + b a > b ; e = ----------- ; f = a - e -1 = e - b

2

--------------------------------------------------

2 2 2

2 2 ( a + b + 1 ) ( a + b - 1 ) ( a - b ) - 1

N = e + ( e + 1 ) + 2 f ( f + 1 ) = ----------------- + ---------------- + ---------------------

4 4 2

Esto es fácilmente demostrable ,

2 2 2

( a + b + 1 ) ( a + b - 1 ) ( a + b ) + 1

----------------- + -------------------- = ---------------------

4 4 2

La diferencia entre ,

2 2

2 2 ( a + b ) + 1 ( a - b ) - 1

a + b - ------------------------ = ---------------------

2 2

y como quiera que , 2

( a - b ) - 1 = ( a - b +1 ) ( a - b - 1 )

2

( a - b ) - 1

------------------ es igual al producto de multiplicar por 2 , dos números consecutivos.

2

2 2

Ejemplo : N = 12.719.837 = 2348 + 2347 + ( 2 x 921 x 922 )

2 2 2 2

12.719.837 = ( 2348 + 921 ) + ( 2347 - 921 ) = 3269 + 1426

JUSTIFICACION CONDICION “ C “

Esto hace referencia a :

2 2 2 2

g + ( g + 1 ) + ( g + 2 ) + ( g + 3 ) " 1 ( módulo N )

N - 2 C - 3 2

g = ------------------- C " ( N - 1 ) ( módulo N )

2

------------------------------------------

La justificación es muy simple :

2 2 2 2

2 ( g - 3 ) ( g - 1 ) ( g + 1 ) ( g + 3 )

g = ---------------- + -------------- + --------------- + --------------- - 5

4 4 4 4

2 2 2 2 2

Ejemplo : 359 = 178 + 179 + 180 + 181 - 5

2 2 2 2 2

( g - 3 ) ( g - 1 ) ( g + 1 ) ( g + 3 ) 4 g + 20 2

-------------- + -------------- + ------------- + ---------------- - 5 = ---------------------- - 5 = g

4 4 4 4 4

Por otra parte , si consideramos que :

2 2

C " ( N - 1 ) ( módulo N ) C " - 1 ( módulo N )

2

( 2 C ) " - 4 ( módulo N ) 2 C " 0 ( mód. 2 ) ( N - 2 C ) es impar

2 2 2 2

( N - 2C - 3 ) ( N - 2C - 1 ) ( N - 2C + 1 ) ( N - 2C + 3 )

------------------- + ------------------ + ------------------- + ------------------- - 5 " - 4 ( mód. N )

4 4 4 4

la suma de los cuatro cuadrados es congruente más uno , módulo “N” .

JUSTIFICACION CONDICION “ E “

Esta decía :

2 2 2 2

h + ( h + 2 ) + ( h + 4 ) + ( h + 6 ) " 16 ( módulo N )

h = C - 3

------------------------------------------------------

Si multiplicamos por 4 ,dos al cuadrado , la ecuación de la condición “C” , lle-

garíamos a :

2 2 2 2 2

( 2 g + 6 ) = g + ( g + 2 ) + ( g + 4 ) + ( g + 6 ) - 20

Ejemplo : 2 2 2 2 2

718 = 356 + 358 + 360 + 362 + 20

para ( 2 g + 6 ) " 2 ( módulo 4 )

Recordemos que tiene que existir un cuadrado :

2

( 2 g + 6 ) " - 4 ( módulo N )

2 2 2 2 2

( 2 h + 6 ) = h + ( h + 2 ) + ( h + 4 ) + ( h + 6 ) - 20 " - 4 ( mód. N )

luego , 2 2 2 2

h + ( h + 2 ) + ( h + 4 ) + ( h + 6 ) " 16 ( mód. N )

Ejemplo :

2 2

N = 3977 1239 " - 1 ( mód.3977 ) ; 2478 " - 4 ( mód. 3977 )

2 2 2 2

1236 + 1238 + 1240 + 1242 " 16 ( módulo 3977 )

JUSTIFICACION CONDICION “ D “

2 2 2 2

( a - 3 ) ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a + 3 )

N + 1 = -------------- + ------------- + ------------- + ------------- + 16 t ( t + 1 )

4 4 4 4

b - 2

t = ---------

4

-----------------------------------------------------

2 2

N = a + b ; N " - 3 ( módulo 8 ) " 1 ( módulo 4 ) a > 1 b > 1

Consideramos , “ a “ , el cuadrado impar b " 2 ( mód. 4 )

En base a lo expuesto en las condiciones anteriores ,

2 2 2 2 2 2 2 2

( a - 3 ) ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a + 3 ) ( b - 6 ) ( b - 2 ) ( b + 2 ) ( b + 6 )

N = ---------- + ---------- + --------- + ---------- + --------- + --------- + ---------- + ------------ - 25

4 4 4 4 4 4 4 4

sumamos a N , la unidad . El término independiente será - 24 .

La segunda parte de la ecuación , elevamos sus términos al cuadrado ,

2 2 2 2

b - 12 b + 36 + b - 4 b + 4 + b + 4 b + 4 + b + 12 b + 36 - 96 2

---------------------------------------------------------------------------------------- = b - 4

4

habíamos dicho, que b " 2 ( mod. 4 ) b = 2 + 4 t

2 2 2

b - 4 = ( 2 + 4 t ) - 4 = 16 t + 16 t = 16 t ( t + 1 )

2 2 2 2

( a - 3 ) ( a - 1 ) ( a + 1 ) ( a + 3 )

N + 1 = -------------- + ------------ + ----------- + ------------ + 16 t ( t + 1 )

4 4 4 4

Luego tenemos como condición necesaria y suficiente , para que “N” sea

igual a la suma de dos cuadrados , la arriba expuesta , es decir que “ N + 1 “ sea igual a la suma de 4

cuadrados consecutivos , más 16 veces el producto de dos determinados números consecutivos.

Ejemplo :

2 2 34 - 2

N = 15.993.157 = 3.999 + 34 t = ------------ = 8

4

2 2 2 2

15.993.158 = 1.998 + 1.999 + 2.000 + 2.001 + 16 ( 8 x 9 )

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BIBLIOGRAFIA

(1) Morris Kleine.-El pensamiento matemático ,de la antigüedad a nuestros días (pag.367-368)

(Alianza Universidad)

(2) Blas Torrecilla Jover.- Fermat,el mago de los números (pag.38 ) Editorial Nivola

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