Sucesiones:

En el campo de las matemáticas una sucesión es definida como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función ,usualmente es representada con una notación de subindices en vez de una notación funcional.Por ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5, .....n, ...........

a1, a2, a3, a4, a5, an, ...........

1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el n-ésimo término de la sucesión y esta s denotada por {an}.

Dominio general de una Sucesión:

Viene dado por el siguiente método:

1) Para la sucesión {an}= {3+(-1)n}, los cuatro términos primeros son:

3 + (-1)1, 3 + (-1)2 , 3 + (-1)3, 3 + (-1)4, ....... R= 2, 4, 2, 4, ......

2) Para la sucesión {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro términos primeros son:

2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....

Definición del Límite de una Sucesión:

Se define de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0 tal que [an - L] < ð siempre que n > M ,entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos :

Limn-ðð an= L

Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman covergentes y las demás divergentes.

Límite de una Sucesión:

Sea f función de una variable real tal que :

Límx-oo f (x) = L

Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :

Límn-oo an = L

Propiedades de los Límites de las sucesiones:

Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K

Las siguientes propiedades son válidas:

1) Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier número real.

3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0

Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesión:

Determinar la convergencia en las siguientes sucesiones:

1) an = 3 + (-1)n 2) bn = n / 1-2n

1) an = 3 + (-1)n solución: como an = 3 + (-1)n tiene términos 2, 4, 2, 4,..... que oscilan entre 2 y 4 , no hay límite y la sucesión diverge.

2) Para {bn}, podemos dividir por n numerador el denominador para obtener:

Límn-oo n /(1- 2n) = Límn-oo [1/(1/oo) - 2] = -1/2 ,por lo tanto la sucesión converge a -1/2.

Sucesiones Monótonas:

Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, ........

o si sus términos son no crecientes:

1, 4, 3, 8, 5, ...........

Determinando si una sucesión es monótona,se toman las siguientes sucesiones como ejemplos:

Sucesiones Acotadas:

Una sucesión {an} es acotada si existe un número real positivo M tal que [an] sea menor o igual que

M para todo n.

Llamamos a M una cota superior de la sucesión por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas

debido a :

[3+(-1)n] es <o = a 4, [2n / 1+n] es < o = a 2 y [n2/2n-1] es < o = 4/3

Debido a que los números reales son completos lo cual significa geométricamente que no hay agujeros ni huecos en la recta real,este axioma de completitud de los reales puede ser utilizado para concluir que si una sucesión tiene cota superior, entonces ha de existir una mínima cota superior. Así, la cota superior mínima de la sucesión {an} = {n /n + 1},

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ..., n/(n+1), .......

es 1, ya que la sucesión es monótona y converge hacia 1 y [n/(n+1)] es menor o igual a 1 lo que nos dice entonces que si una sucesión {an}es monótona y acotada entonces es convergente.Por ejemplo:

1/2, 4/3, 9/4 , 16/5, ..........., n2/n+1........ es monótona pero no acotada,pues:

Límn-oo an= oo

Por su parte ,la sucesión divergente:

2, 4, 2, 4, ........... [3 + (-1)n] es acotada pero monótona.

Series y Convergencias:

Definición de Series infinitas:

Si {an}es una sucesión infinita,entoces:

ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…

se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.

Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3

Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….

Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:

Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :

Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..

Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales

de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.

Propiedades de las Series Infinitas :

Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.

1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B

3. ðoon=1 (an + bn)= A -B

Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)

Supresión de los N primeros términos de una serie:

Para cualquier entero porsitivo N, las series

ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..

Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.

Criterio del término n-ésimo para la divergencia:

Si la sucesión {an} no converge a 0, entonces la serie ðan diverge.

Demostración si la serie ðan converge, {an} converge a 0.supongamos que la serie dada converge y que :

ðoon=1 an= lím n-oo Sn = L

Entonces como: Sn= Sn-1 + an y lím n-oo Sn = lím n-oo Sn-1 = L

Se sigue que: L= límn-oo Sn= límn-oo (Sn-1 +an) = límn-oo an = L + límn-oo an

Lo cual exige que {an} converja a 0.

Usando el criterio del n-ésimo término :

Determinar , mediante el criterio precedente ,cuales de estas series divergen:

A) ðoon=0 2n B) ðoon=1 n!/(2n! +1)

Límn-oo 2n = oo y límn-oo n!/2n! +1 = límn-oo 1/ 2+(1/n!) = ½

Que por el criterio n-ésimo implica que ambas son divergentes.

Definición de serie geométrica:

La serie dada por : ðoon=0 arn= a + ar + ar2 + ......... +arn +...., a diferente de 0, es llamada serie geométrica de razón r, el siguiente teorema da las condiciones para que sea convergente o divergente:

Convergencia de una serie geométrica : Una serie geométrica de razón r diverge si [r] mayor o igual a 1 . Si 0 es menor que [r] y menor que 1,entonces la serie converge con la suma:

ðoon=0 arn = a/ (1-r) , 0 menor que [r] menor que 1

Ejemplos de Series Geométricas:

ðoon=0 3/2n = ðoon=0 3(1/2)2 = 3(1) + 3(1/2) + 3(1/2)2 +….

Tiene razón r = ½ con a= 3 como 0 es menor que [r]y es menor que 1 la serie converge a :

a/1-r = 3/1-(1/2) = 6

ðoon=0 (3/2)n = 1 +3/2 + 9/4 + 27/8 +…..

Tiene razón r = 3/2, como [r] es mayor que 1 , la serie diverge