SOLUCIÓN LITERAL PARA LÍNEAS DE TRES CONDUCTORES

El capitulo anterior tiene considerada la solución de las ecuaciones MTL para una línea general con (n + 1) conductores. En general, este proceso de solución esta acompañado con programas de computadoras digitales lo que nos llevaría a un resultado numérico aproximadamente exacto, este proceso numérico no nos revela la forma general de la solución. En otras palabras, la única información que nosotros obtenemos es la solución para cierta especificaciones de datos de salida como son longitud de l a línea niveles de impedancia terminal, origen de voltajes, frecuencia, etc. El orden para comprender la solución general, esto requiere de ayudarnos para tener una solución literal para el efecto de crosstalk por inducción de voltajes en termino de los símbolos para la longitud de la línea, impedancias terminales , inductancias y capacitan cías por unidad de longitud, el origen de los voltajes etc. De estos resultados nosotros podemos observar como cambian algunos de estos parámetros o todos ellos y la manera en que afectan la solución. Esta ventaja es similar a una función de trasferencia cuando es usada en el análisis de circuitos eléctricos y sistemas de control automáticos. En orden a obtener este mismo intuimos para la solución numérica nosotros necesitamos realizar un largo programa de computación con estos parámetros siendo variados nuestros rangos de valores anticipados.

Tal línea de transmisión de transferencia funciona para la predicción de crosstalk tiene que estar dividido más allá del dominio de la frecuencia donde analizamos circuitos de microondas o para el dominio del tiempo donde se analiza el crosstalk en circuitos digitales. Sin embrago, todo de estos métodos hacen una o más de las suposiciones a seguir sobre la línea el orden para simplificar la división es el siguiente:

La línea es una línea de tres conductores , n=2, con dos conductores señal y un conductor de referencia.

La línea es simétrica, los dos conductores señal están identificados en una región de forma cruz y están separados por el conductor de referencia por distancias idénticas.

La línea esta acoplada débilmente, el efecto de la inducción de señal en el circuito de recepción sobre el circuito conductor is abandonado (las líneas extensamente separadas tienden a satisfacer esto en una forma aproximada entre mas grande sea la separación).

ambas líneas están emparejadas a ambos finales, la línea esta terminada en cuatro partes totales de impedancias características.

La línea esta perdida, los conductores son conductores perfectos y el circulante (aislante) medio esta perdido.

El medio es homogéneo.

La razón obvia para usar estas suposiciones es simplificar la difícil manipulación de los símbolos que están involucrados en la solución literal. La suposición de una línea simétrica y la subsecuente solución literal esta referida en los textos de microondas como el even - odd mode solution. Sin embargo, numerosas aplicaciones no son simétricas o no están perfectamente emparejadas.

El propósito de este capitulo es diferenciar la solución literal o simbólica de las ecuaciones MTL para una línea de tres conductores y a incorporar los contrastes de impedancias terminales en esta solución para dar ecuaciones para el crosstalk. Ambas soluciones para el dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo pueden obtenerse, además, la división no supondrá una línea simétrica ni una línea emparejada. Pero nosotros podemos suponer que en la entrada las matrices de parámetros L y C por unidad de longitud, son conocidas. La idea es para simplificar el proceso a través de los pasos de solución usual eso seria involucrarnos en una solución numérica pero sin embargo al usar símbolos para todos las cantidades en lugar de los números. Esto es importante para que el lector recuerde los pasos que se tomaron. Primero nosotros resolvemos para la solución general en términos de 2n (4 en este caso) indeterminando constantes y entonces nosotros incorporamos los contenidos finales en orden para evaluar estas constantes indeterminadas. Para una línea de tres conductores el ultimo paso, incorporando de la condición final, involucrando las soluciones simultaneas en compañía de las ecuaciones simbólicas, por ejemplo a través de la regla de Cramer, y es muy difícil aplicar dicha regla. por consiguiente no parece factible extender esto para líneas con más de tres conductores. Incluso para una línea de tres conductores, el esfuerzo que requiere la solución es tan grande que nos obliga a realizar alguno otros artificios al simplificar. La primera simplificación esta para asumir un medio homogéneo cerrado (circulado) así que con esto nosotros podemos recurrir a una importante identidad para un medio homogéneo, LC=12 esta identidad es esencial ya que reduce el numero de símbolos y permite la convergencia de ciertos grupos de símbolos por unidad de longitud., ayuda mucho más a la simplificación que nosotros primero supongamos una línea con baja perdida; conductores perfectos en un medio homogéneo con baja perdida. Nosotros podemos extender este resultado en una forma aproximada para considerar conductores imperfectos.

Además de proporcionar una visión muy considerable del efecto de cada parámetro en la solución, esta solución literal también proporciona la comprobación de algunas nociones muy largas e intuitivas. El primero es para un corto eléctrico, línea acoplada débilmente y una pequeña frecuencia, el efecto crosstalk total puede estar escrito como la suma de dos contribuciones. Una contribución esta debida a la inductancia mutua entre los dos circuitos y la otra esta debida a la capacitancia mutua entre los dos circuitos. Esta es la base para un uso mas extenso. Aproximación de acoplamiento de Inductancia - capacitancia. Para la solución literal nosotros no podemos solo dar por verdadero este concepto pero podemos también determinar las restricciones especificadas en estas aplicaciones. Nosotros también obtenemos la solución literal para el análisis en el dominio del tiempo. Para esta solución nosotros podemos ver inmediatamente las restricciones apropiadas en esta aplicación de varios aproximaciones técnicas estas se encuentran en varios manuales. Aunque estas aproximaciones técnicas son simples en una solución total de las ecuaciones MTL, esto es

(a)

Figura 1 los tres conductores MTL: a) dimensiones de la línea y caracterización terminal b) el circuito equivalente por unidad de longitud.

importante para saber las limitaciones en nuestra aplicación.

La manifestación general de el problema esta ilustrada en la figura 1 (a). La línea consiste de tres conductores perfectos inmersos en una baja perdida, en un medio homogéneo caracterizado por permitividad  y permeabilidad . El circuito generador esta compuesto de un conductor generador con el conductor de referencia. Esto esta manejado en el final izquierdo con un circuito abierto y voltaje de origen Vs(t), y resistencia de origen, Rs, y esta terminado en la derecha acabando en una resistencia final RL. El circuito receptor esta compuesto de un conductor receptor y el conductor de referencia. Esto esta terminado a la izquierda o “cerca del fin” en una resistencia, RNE, y a la derecha o “lejos del fin” en una resistencia, RFE. Aunque la terminación resistiva es usada en los pasos del desarrollo del dominio de la frecuencia, y el fasor crosstalk resulta aplicar un valor complejo para la impedancia terminal. El circuito equivalente por unidad de longitud esta mostrado en la figura 1(b). Para esto, las ecuaciones MTL pueden ser divididas en la manera usual y volverse:

(1a)

(1b)

donde:

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

El subíndice G denota cantidades asociadas con el circuito generador, mientras que el subíndice R denota cantidades asociadas con el circuito receptor. Debido a la asunción de un medio homogéneo circundante (limitado), nosotros tenemos la importante identidad

(3)

donde v=1/" es la velocidad de propagación de las ondas en el medio. Esta identidad da las siguientes relaciones para los parámetros por unidad de longitud:

(4a)

(4b)

(4c)

La condición terminal esta escrita en la forma de Thevenin generalizada cuya caracterización equivalente es

(5a)

(5b)

donde

(6a)

(6b)

(6c)

El objetivo es obtener ecuaciones para los voltajes de crosstalk tanto en el extremo cercano así como en el extremo lejano (cerca del fin de la línea y lejos del fin de la línea); VNE=VR(0,t) y VFE=VR(L,t).

1.- SOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Las ecuaciones MTL para el estado de excitación sinusoidal se vuelven

(7a)

(7b)

en donde el fasor línea de voltaje y corriente son

(8a)

(8b)

Los fasores generalizados thevenin caracterizados de las terminaciones equivalen a volverse

(9a)

(9b)

donde

(10a)

(10c)

El objetivo es obtener ecuaciones para los voltajes de crosstalk tanto en el extremo cercano así como en el extremo lejano (cerca del fin de la línea y lejos del fin de la línea); VNE=VR(0) y VFE=VR(L).

La matriz de parámetros de cadena se derivo para este caso en el capitulo 4 y se vuelve

(11)

Las submatrices de parámetros cadena se simplifican para este caso de conductores perfectos en una línea sin perdidas, medio homogéneo, transformándose en:

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

donde

(13a)

(13b)

La velocidad de propagación es

(14a)

y la constante de fase es

(14b)

La caracterización terminal de la ecuación 6 esta substituida dentro de los parámetros de la matriz en la ecuación 11 obteniendo lo siguiente:

realizando la multiplicación de matrices y por las propiedades de estas tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

para la primer ecuación substituimos la ecuación (9b):

pero Î(L) es la ecuación 2 así que substituyendo esta ecuación en 1:

utilizando la ecuación (9a) tenemos:

desarrollando y agrupando términos

factorizando a Î(0) y a Vs en ambos lados de la ecuación

(15a)

(15b)

realizando un desarrollo similar para la segunda ecuación y realizando los procedimientos algebraicos tenemos:

(15b)

Substituyendo los parámetros cadena de las submatrices dados en las ecuaciones (12) en las ecuaciones (15) obtenemos:

Substituyendo en estas ecuaciones las ecuaciones (13) y factorizando C y S tenemos

(16a)

(16b)

Estas ecuaciones son resueltas, se obtiene los voltajes crosstalk cerca del extremo final y lejos de este extremo par la segunda entrada de estos el vector solución es:

Las ecuaciones (16) esta resueltas en (B.5) por la vía de la regla de Cramer en forma literal para producir la solución literal exacta para los voltajes crosstalk tenemos lo siguiente:

(17a)

(17b)

(17c)

Las diferentes cantidades en estas ecuaciones están en (B.5)

(18a)

(18b)

en donde los coeficientes de acoplamiento inductivo son:

(19a)

(19b)

y los coeficientes de acoplamiento capacitivo son:

(20a)

(20b)

Las cantidades restantes se definen de la siguiente manera. El coeficiente KNE esta definido por

(21)

El coeficiente de acoplamiento entre los dos circuitos se define por

(22)

y las impedancias características del circuito están definidas por

(23ª)

(23b)

El retraso de una-manera de línea se denota por

(24)

la relación de las impedancias de terminación a las impedancias características son parámetros importantes. Para resaltar esta dependencia, las varias proporciones de impedancia de la terminación a la impedancia característica se definen por

en términos de estas proporciones, el factor P en den se vuelve

(26)

Observe que P=1 si la línea esta débilmente acoplada, k<<1, y/o las líneas se emparejan a los extremos opuestos
, o
. Las constantes de tiempo del circuito se definen lógicamente como

(27a)

(27b)

Observe que una constante de la línea es igual al retraso de una-manera de línea si las líneas están acopladas débilmente, k<<1, y esa línea se empareja a un extremo. En otras palabras,

si k<<1 y
o

1.1 ACOPLAMIENTO INDUCTIVO Y CAPACITIVO

Los resultados de arriba son una solución literal exacta para el problema. No se han usado ninguna simetría o emparejo de carga. Por consiguiente ellos cubren una clase más ancha de problemas que ha sido considerado en el pasado. Aunque estos resultados han sido simplificados definiendo ciertos términos, ellos pueden estar simplificados mas alla si nosotros seguimos las siguientes suposiciones. Primero nos permitió asumir que la línea está eléctricamente corta en la frecuencia de interés, i.e., L<<
. En este caso los términos C y S se simplifican a

Mas allá nos permite asumir que la línea esta débilmente acoplada, i.e., k<<1. bajo esta suposición. Si existe una frecuencia lo suficientemente pequeña tal que los resultados de la ecuación (17) se simplifican a

Estos resultados a baja frecuencia pueden estar calculados para el circuito equivalente de la figura 2. Los términos que dependen de la inductancia mutua por unidad de longitud
esta referida como la contribución de inductancia por acoplamiento, considerando los términos que dependen de la capacitancia por unidad de longitud
son referidos como la contribución capacitiva por acoplamiento.

Observe que a frecuencias bajas, acoplamiento débil resulta aproximadamente en (29) muestra que el crosstalk varia directamente con la frecuencia o 20db/diez y el acoplamiento total puede estar escrito como la suma de acoplamiento inductivo y acoplamiento capacitivo escribiendo los componentes como

Donde

(31a)

(31b)

Figura 2 El dominio de la frecuencia, modelo de acoplamiento inductivo y capacitivo a bajas frecuencias

f

Figura 3 Ilustración de la dominación del acoplamiento inductivo (capacitivo) para (a) baja (b) alta terminación de impedancias.

(31c)

Dependiendo de los niveles de la impedancia de carga, la contribución del acoplamiento inductivo será más dominante que la contribución del acoplamiento capacitivo o viceversa. Esto esta ilustrado en la figura 3 si las impedancias de terminación son más pequeñas que la impedancia característica de la línea, i.e., bajas impedancias de cargas, entonces el acoplamiento inductivo es el dominante. Por otro lado, domina el acoplamiento capacitivo en los casos de impedancias de cargas bajas. Aunque esta aproximación es valida solo para líneas con acoplamiento débil y para una frecuencia suficientemente pequeña en donde la línea es eléctricamente corta, esta separación de el acoplamiento total en un acoplamiento inductivo y un acoplamiento capacitivo como componentes proporciona comprensión considerable sobre el fenómeno del crosstalk. En particular, esto explica prontamente como escudos y / o pares torcidos de cable pueden o no pueden reducir el crosstalk [A.3].

1.2 Acoplamiento de impedancia común

la derivación anterior asume que todos los tres conductores son conductores perfectos y el medio homogéneo rodeando es de menor perdida. Las perdidas pueden ser ignoradas en muchos problemas prácticos. Sin embargo hay una contribución potencialmente significante al crosstalk vía conductores imperfectos que ocurren a las frecuencias más bajas. Esto es llamado impedancia común de acoplamiento y es contribuido por la impedancia del conductor de referencia.

(a)

(b)

Figura 4 Ilustración de acoplamiento de impedancia común debido a un conductor de referencia de baja perdida

La figura 4 ilustra el problema. Como la frecuencia de excitación es baja, el crosstalk decrece directamente con la frecuencia. A frecuencias un poco más bajas, esta contribución debido a la interacción del campo eléctrico y magnético entre los dos circuitos es dominado por el componente del acoplamiento de impedancia-común. A una frecuencia suficientemente baja, la corriente en el circuito generador,
, ingresos predominantemente en el conductor de la referencia y pueden calcularse por:

(32)

si nosotros amontonamos la resistencia por-unidad de longitud del conductor de referencia, r, como una resistencia total, , entonces una caída de voltaje de

(33)

se desarrolla por el conductor de la referencia. esto es voltaje-dividido por las resistencias de la terminación del circuito receptor esta dada por

(34a)

(34b)

en un sentido aproximado nosotros podemos combinar estas contribuciones simplemente con el acoplamiento inductivo-capacitivo en (30) para dar el total como

(35ª)

(35b)

esta inclusión aproximada de la impedancia del conductor referencia a frecuencias bajas se verificó en [B.14] derivando la matriz de parámetro de cadena exacta con la resistencia por-unidad-longitud del conductor de referencia esta incluido

15

VFE(t)

VG(z,t)

IR(z,t)

VNE(t) VR(z,t)

z=0

z=L

IG(z,t)

IG(z,t) lGz

Cmz

lRz

VG(z,t) lmz

VR(z,t)

CRz

CGz

z

z

z + z

z

Conductor de referencia

Conductor receptor

Conductor generador

(25)

(28a)

(28b)

(29a)

(29b)

(30a)

(30b)

VNE

VFE

(a)

(b)

contribución de acoplamiento electromagnética que asume a los conductores perfectos

Voltaje neto recibido

Contribución de acoplamiento por impedancia común