Sistemas De Numeración

Existen muchas formas de representación de las magnitudes cuantitativas, que se denominan sistemas de numeración.

Cada sistema tiene una base, que se define como el número de símbolos distintos utilizados para la representación de las cantidades. El sistema que cotidianamente utilizamos es el decimal, cuya base es el numero 10 porque se emplean 10 símbolos para su representación.

Al número 10 se le denomina base del sistema, su polinomio equivalente es:

Esto es aplicable para cualquier sistema de numeración de base B. Para distinguir en qué base se está representando una cantidad, a la derecha de ésta se pone un subíndice que indica su base. Así, por ejemplo:

Es un número expresado en base 10 o decimal.

Es un número expresado en base 2 ó binario.

Es un número expresado en base 8 u octal.

Es un número expresado en base 16 o hexadecimal.

SISTEMA BINARIO

Este sistema de numeración utiliza solo dos símbolos (0,1); normalmente se le denomina sistema de numeración en base 2 o binario natural. A cada digito binario se le denomina bit. Su polinomio equivalente es:

SISTEMA OCTAL Y HEXADECIMAL

Estos dos sistemas resultan muy prácticos en el tratamiento de la información digital, en la que suelen emplearse números de ocho y dieciséis elementos binarios.

El sistema Octal, o de base 8, tiene ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su polinomio equivalente es:

El sistema hexadecimal, o de base 16, utiliza como símbolos diez dígitos decimales y las primeras letras del alfabeto. Sus símbolos son:

0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Y su polinomio equivalente es:

Conversión Entre El Sistema Binario Y Los Sistemas Octal, Decimal Y Hexadecimal

Para convertir un número entero de base binario en base decimal se recurre al polinomio equivalente, operando este en modo decimal.

Ejemplo:

Para pasar un número entero de base decimal a base binaria se divide el número decimal entre 2, el cociente se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente; los restos obtenidos forman el número en el sistema binario.

Si el número tiene parte fraccionaria, la parte fraccionaria restante se multiplica por 2, la nueva parte entera será la siguiente cifra más

significativa, y así sucesivamente hasta que nos de un numero entero sin parte fraccionaria.

Ejemplo:

Para pasar un número del sistema binario al octal se divide el número binario en grupos de tres dígitos su suma ponderada dará un número del sistema octal. El número dado tendrá tantos dígitos en el sistema octal como grupos se hayan formado en el sistema binario.

Ejemplo:

Sea el número si se divide en grupos de tres dígitos.

Será:

Para convertir un número del sistema binario al sistema hexadecimal se divide el número binario en grupos de cuatro dígitos, desde el dígito de menor peso, y la suma ponderada de estos dígitos dará el digito correspondiente en hexadecimal. Por tanto, el número hexadecimal tendrá tantos dígitos como grupos de cuatro dígitos se puedan formar con el número binario.

Ejemplo:

Sea el número
para convertirlo a hexadecimal:

Será:

Conversión Entre El Sistema Octal Y Los Sistemas Decimal, Binario Y Hexadecimal

Para pasar un número del sistema octal al decimal, se aplican los pesos correspondientes al sistema octal. Así, por ejemplo, el número

Para pasar un número del sistema decimal al sistema octal el método es similar al de pasar al sistema binario.

Ejemplo:

Sea el número

Entonces,
.

Para convertir un número del sistema octal al sistema binario se pone el equivalente binario de cada una de las cifras con tres dígitos.

Ejemplo:

Para obtener el correspondiente en binario del número
tenemos

Por tanto,

Para convertir un número del sistema octal en su correspondiente del sistema hexadecimal hay que llevar a cabo una etapa intermedia; es decir, pasar el número a decimal o binario y éste, por ultimo, a hexadecimal.

Ejemplo:

Sea el número
.

El equivalente decimal será

por lo que en hexadecimal será

Por tanto,

El equivalente en binario será

por lo que en hexadecimal será

Por tanto,

Conversión Entre El Sistema Octal Y Los Sistemas Decimal, Binario Y Hexadecimal

Para convertir un número del sistema hexadecimal en otro del sistema binario basta con sustituir cada valor hexadecimal por los cuatro dígitos binarios equivalentes.

Ejemplo:

Sea el número
entonces:

Por tanto, se obtiene que
.

Para convertir del sistema hexadecimal al sistema decimal utilizamos el polinomio equivalente.

Ejemplo:

Si se tiene el número
para transformarlo al sistema decimal:

Para convertir un número del sistema hexadecimal al sistema octal hay que realizar la misma operación intermedia que al pasar de octal a hexadecimal del apartado anterior.

Sea el número
.

El equivalente decimal será

por lo que en octal será

Por tanto,

El equivalente en binario será

por lo que en octal será

Por tanto,
.

Ejercicio:

DECIMAL	BINARIO	OCTAL	HEXADECIMAL
72	1001000	110	48
13	1101	15	D
4,75	100,11	4,6	4,12
35,75	100011,11	43,6	23,C
437	110110101	665	1B5
3429	110101100101	6545	D65
67,43	1000011,01101111	103,336	43,6F
56,74	111000,101111001	70,571	38,BC8
123,85	1111011,110110011	173,66	7B,D98
439	110110111	667	1B7
327,5	101000111,1	507,4	147,8
1229	10011001101	2315	4CD
432,26	110110000,010000101	660,205	1B0,428
261	100000101	405	105
5505	1010110000001	12601	1581
1063,39	10000100111,01100101	2047,312	427,65
13,75	1101,11	15,6	D,C
356,87	101100100,111	544,7	164,E
2964,37	101110010100,10010001	5624,442	B94,91

OCTAL	BINARIO
236	010011110
147,56	1100111,10111
712,57	111001010,101111
2315	10011001101

BINARIO	OCTAL
111100001	741
1101,110	15,6
100010,110	42,6
10011100	234

HEXADECIMAL	BINARIO
62D	11000101101
167,B8	101100111,10111
142,39	101000010,00111001
44D	10001001101

OCTAL	HEXADECIMAL
236	010011110
147,56	1100111,10111
712,57	111001010,101111
2315	10011001101

Multiplexores O Multiplexadores

Son circuitos combinacionales que poseen las siguientes entradas y salidas:

N entradas de información o canales de datos.

n entradas de selección o control.

Una salida de información.

Una entrada de autorización.

Los canales de entrada o datos están relacionados con las entradas de selección o control por la siguiente ecuación:

Número de canales=

En los esquemas representativos de estos circuitos se suele denominar a dichas entradas y salidas con los símbolos que se exponen a continuación:

a las entradas de información.

A, B, C, D…, a las entradas de control.

E o G a la entra de autorización o strobe.

W, Z o Y a la salida del circuito.

El principio de funcionamiento del multiplexor es el siguiente: cuando una combinación binaria aparece en las entradas de control, selección o direccionamiento, la información de entrada presente en el canal por ella definido aparece en la salida.

Por tanto, se puede considerar a un multiplexor como un conmutador de múltiples entradas y cuya única salida se controla electrónicamente mediante las entradas de control.

Empleo De Multiplexores De Igual Número De Entradas De Control Que De Variables A Implementar

Supongamos, por ejemplo, que queremos implementar la siguiente función:

La función posee cuatro variables de entradas, A, B, C, D, que combinadas, dan lugar a 16 posibilidades. Si empleamos un multiplexor de 4 entradas de control, este dispondrá de 16 canales de datos; es decir, uno para cada posible combinación de las variables de la función.

Cada término que compone la función corresponde a las combinaciones de las variables de entrada que hacen 1 dicha función, es decir:

…………0001………….

…………0011………….

…………0110………….

……..… 0111………….

…..…… 0101….……...

………….0100………….

………….1110………….

………….1100.………...

………….1001………….

Si aplicamos las variables de la función a las entradas de selección y conectamos a 1 los canales de entrada que se corresponden con las combinaciones que intervienen en la función, poniendo a 0 el resto de los canales, tendremos la función implementada.

Empleo De Multiplexores Con Un Número De Entradas De Control Inferior En Una Unidad Al De Variables De La Función A Implementar.

Es posible implementar funciones lógicas de n variables con multiplexores de n-1 entradas de control, lo que producirá el consiguiente ahorro económico.

Con el ejemplo del apartado anterior:

BCD A	000	001	010	011	100	101	110	111
0	0	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	1	0

1

1

1

0

0

En esta tabla se agrupan por columnas todas las posibles combinaciones de tres de las variables de entrada, dejando en las filas las posibilidades de las variable que resta.

Por tanto, la implementación del circuito se consigue aplicando las variables b, c y d a las tres entradas de selección del multiplexor y conectando las entradas de los canales de la siguiente forma:

• Canales 0 y 2 a 0.

• Canales 1, 4 y 6 a 1.

• Canales 3, 5 y 7 a través de un inversor a la variable a, ya que su valor es siempre el contrario del de dicha variable.

Ejercicios:

1. Montar con MPX 74153 la siguiente ecuación:

(A es la variable de mayor peso)

AB C	00	01	10	11
0	0	0	1	0
1	0	1	1	0

0

0

1

C

2. Realizar la función mediante un multiplexor de 3 entradas de control.

Montar la función con un multiplexor de 4 entradas de control.

(D es la variable de mayor peso)

Con 3 entradas de control

CBA D	000	001	010	011	100	101	110	111
0	0	0	1	0	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	1	1	0

D

D

D

D

1

1

0

Con 4 entradas de control

………1000………

………1100………

………0110………

………1110………

………1010………

………0010………

………1101………

………1001………

………0111………

3. Realizar la función mediante un multiplexor de 4 entradas de control.

Montar la función con un multiplexor de 3 entradas de control.

Con 4 entradas de control

……......0001……......

……......0011……......

……......0110……......

……......0111……......

……......0101……......

……......0100……......

……......1011……......

……......1001……......

……......1110……......

Con 3 entradas de control

BCD A	000	001	010	011	100	101	110	111
0	0	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	0	0	1	0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

A

A

A

Inversa -->

4. Tres conmutadores gobiernan una maquina estampadora. Por razones de seguridad, la estampadora se detendrá si se pulsan a la vez exclusivamente dos conmutadores. En los demás casos la maquina seguirá funcionando.

Montar con un multiplexor el circuito de comando de la estampadora.

A	B	C
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

……000……

……011……

……101……

……110……

……111……

Ejercicios:

1.Montar el circuito capaz de presentar alternativamente en su salida los bits en binario correspondientes al número decimal 120. Únicamente se dispone de multiplexores duales 4:1

A	B	C
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

2.Montar mediante un MPX 74150 (y sin puerta alguna) el circuito detector de temperatura siguiente.

Se dispone de tres sensores de temperatura
que controlan respectivamente las temperaturas
(
). Cada sensor
se pondrá en nivel alto si la temperatura es igual o mayor a
y en caso contrario, quedará a nivel bajo.

El circuito deberá generar una señal de aviso en le caso de que la temperatura este comprendida entre
y
o sea igual o mayor a
.

0	0	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	0	--	--
0	1	1	0	1
1	0	0	--	--
1	0	1	--	--
1	1	0	--	--
1	1	1	1	0

CODIFICADORES Y DECODIFICADORES

CÓDIGOS BCD (Codificación Binario-Decimal)

Los códigos BCD son ponderados, ya que a cada posición o cifra binaria se le asigna un peso y el número decimal equivalente a una combinación binaria se obtiene sumando los pesos de las posiciones que valen 1. Estos son algunos códigos BCD:

Código Decimal	BCD Natural	BCD Aiken	BCD 5421	Código BCD exceso de 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0	0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

Otros tipos de códigos:

Código Decimal	Código Johnson de 5 bits
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
Código Decimal	Código GRAY
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1

CODIFICADORES

Se trata de circuitos combinacionales que poseen n salidas y entradas y cuya estructura es tal que al activarse una de las entradas (adoptando un estado lógico determinado, 0 ó 1) en la salida aparece la combinación binaria (o su complementaria) correspondiente al número decimal asignado a dicha entrada.

La función habitual de un codificador es la de convertir cualquier información digitalizada que entra al sistema digital en su equivalente en binario natural o en cualquiera de los códigos binarios existentes.

Hay dos tipos de codificadores:

Codificadores Sin Prioridad

Son circuitos en los que no pueden activarse simultáneamente más de una entrada porque, si se activan, aparecen códigos binarios erróneos en las salidas. Tabla de las condiciones de funcionamiento de un codificador 8:3 sin prioridad:

ENTRADAS	SALIDAS
	1		0		0	0	0		0		0	0	0	0	0
	0		1	0	0	0	0		0		0	0	0	1
	0		0	1	0	0	0		0		0	0	1	0
	0		0	0	1	0	0		0		0	0	1	1
	0		0	0	0	1	0		0		0	1	0	0
	0		0	0	0	0	1		0		0	1	0	1
	0		0	0	0	0	0		1		0	1	1	0
	0		0	0	0	0	0		0		1	1	1	1

=+++

=+++

= +++

Codificadores Con Prioridad

Son codificadores que, en el caso de producirse la activación simultanea de varias entradas del codificador, en la salida aparecerá el código de la entrada de mayor prioridad (normalmente la entrada de peso mas significativo).

Codificador con prioridad alta

Prioridad del bit de mayor peso. Tabla de las condiciones de funcionamiento del decodificador con prioridad alta:

ENTRADAS	SALIDAS
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
x	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1
x	x	1	0	0	0	0	0	0	1	0
x	x	x	1	0	0	0	0	0	1	1
x	x	x	x	1	0	0	0	1	0	0
x	x	x	x	x	1	0	0	1	0	1
x	x	x	x	x	x	1	0	1	1	0
x	x	x	x	x	x	x	1	1	1	1

=+++

=+++

=+++

Se implementaría con puertas igual que el codificador sin prioridad, pero respetando las entradas negadas.

Codificador con prioridad baja

Prioridad del bit de menor peso. Tabla de las condiciones de funcionamiento del codificador de prioridad baja.

ENTRADAS	SALIDAS
1	x		x	x	x	x	x		x		0	0	0
0	1		x	x	x	x	x		x		0	0	1
0	0		1	x	x	x	x		x		0	1	0
0	0		0	1	x	x	x		x		0	1	1
0	0		0	0	1	x	x		x		1	0	0
0	0		0	0	0	1	x		x		1	0	1
0	0		0	0	0	0	1		x		1	1	0
0	0		0	0	0	0	0		1		1	1	1

=+++

=+++

=+++

Se implementaría con puertas igual que el codificador sin prioridad, pero respetando las entradas negadas.

Extensión de Codificadores

Es importante poner el inversor al unir los strobes para que valla correctamente.

D	C	B	A	1	1	1…	…1	2	2	2…	…2
0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

Ejercicios:

1.Diseñar y montar mediante puertas lógicas un codificador de 4 líneas a código de exceso de 3.

0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	0	0	1	1	0

= 0

=++

=+

+

2. Diseñar y montar mediante puertas lógicas un codificador de 4 líneas a código de exceso de 3 con prioridad a la entrada de menor peso.

X	X	1	0	0	1	1
X	1	0	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0	1

= 0

=+

=

+

3. Diseñar y montar mediante puertas lógicas un codificador de 4 líneas a código de exceso de 3 con prioridad a la entrada de mayor peso.

0	0	1	0	0	1	1
0	1	X	0	1	0	0
1	X	X	0	1	0	1

= 0

=+

=

+

DECODIFICADORES

Son circuitos combinacionales provistos de n entradas y un número de salidas menor o igual a . Básicamente funcionan de manera que, al aparecer una combinación binaria en sus entradas, se activa una sola de sus salidas.

Los decodificadores se emplean en los sistemas digitales para convertir las informaciones binarias, con las cuales trabajan, en otros tipos de informaciones digitalizadas, pero no binarias, empleadas por otros dispositivos, por ejemplo, los visualizadores alfanuméricos.

Decodificadores No Excitadores

Son aquellos cuyas salidas solo pueden acoplarse a otros circuitos digitales de la misma familia integrada, ya que dan una corriente muy pequeña en dichas salidas.

Decodificadores Excitadores

Se denominan así a un tipo de decodificadores cuyas salidas dan suficiente corriente como para atacar, no solo a otros circuitos integrados de

la misma familia, sino también a otros dispositivos, tales como lámparas, displays, relés, transductores,etc.

Los mas comunes de ese tipo de decodificadores son los que excitan visualizadores de siete segmentos, estos visualizadores están constituidos por siete diodos LED's.

Los diodos LED's pueden montarse en el visualizador de dos formas: en ánodo común o en cátodo común.

Implementación De Las Funciones Lógicas Con Decodificadores

Una de las aplicaciones de los decodificadores es la posibilidad de implementar la ecuación booleana de funcionamiento correspondiente a una función lógica. Supongamos, por ejemplo, la tabla de la verdad siguiente:

DECIMAL	C B A	F
0	0 0 0	0
1	0 0 1	1
2	0 1 0	0
3	0 1 1	1
4	1 0 0	1
5	1 0 1	0
6	1 1 0	0
7	1 1 1	1

La función lógica que representa la tabla es:

Para implementar la función, utilizando un decodificador, seguiremos el siguiente proceso.

Empleamos un decodificador del mismo o mayor número de líneas de entrada que variables tenga la función. En este caso empleamos un decodificador de cuatro a diez líneas con las salidas activas a nivel bajo y conectando a masa la entrada de mayor peso.

Buscamos las salidas del decodificador que hacen 1 la salida de la tabla de verdad de la función, que son:

001= 011= 100= 111=

Para conseguir la suma de términos de la función conectaremos todas las salidas del decodificador anteriormente seleccionadas a una puerta lógica cuyo tipo depende del decodificador empleado. Esta puerta será:

• Puerta OR para decodificadores con salidas activas en nivel alto, ya que la función deberá ser activa siempre que se haga 1, uno o varios términos que constituyen la función.

• Puerta NAND para decodificadores con salidas activas en nivel bajo, ya que, al encontrarse negado cada termino activo de la función, la salida deberá activar solo cuando uno o varios términos valgan 0.

En el caso de que una o varias de las combinaciones de la tabla de la verdad que hacen 1 la salida de la función no tuviera correspondencia con las salidas del decodificador, se añadirían puertas que representan las combinaciones correspondientes. Las salidas de estas puertas serian llevadas, junto a la del circuito implementado, a una puerta sumadora final.

Ejercicios:

1. Realizar el circuito de alarma para mostrar que sensor de los siete que componen la alarma se ha disparado. La indicación se ha de mostrar en un display de 7 segmentos.

Utilizar el codificador 74147.

Como ejemplo de alarma, motar el circuito de tal manera que se dispare la alarma por el sensor numero 4.

										D	C	B	A
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
X	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0
X	X	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1
X	X	X	0	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0
X	X	X	X	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
X	X	X	X	X	0	1	1	1	1	1	0	1	0
X	X	X	X	X	X	0	1	1	1	1	0	0	1
X	X	X	X	X	X	X	0	1	1	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

2. Realizar mediante puertas lógicas un decodificador de dos a cuatro líneas, con entradas en binario natural y salidas activas a nivel bajo.

Si deseamos introducir un “strobe” que permita el funcionamiento del decodificador cuando este dicho “strobe” a nivel bajo, ¿como se deberá modificar el circuito?

a) Sin Strobe

0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	1	1	1	1	0

b) Con Strobe

0	0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1
0	1	1	1	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1

3. Una función F(A,B,C) será cero cuando las tres variables estén a nivel bajo, o cuando la variable B se encuentre en estado alto si A no o esta. En los demás casos la función tomara el valor uno lógico.

C	B	A	S
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

0001= 0110=

0100= 0111=

0101=

4. Montar con decodificador un sistema de 3 sensores (A,B,C) que comandan 3 indicadores (X,Y,Z) según las siguientes especificaciones.

cuando se active únicamente el sensor A, no habrá indicación alguna.

Ídem B, actuara el indicador Z.

Ídem C, actuaran los indicadores X e Y.

cuando se activen únicamente A y B, actuara X.

Ídem B y C, actuaran X y Z.

Ídem A y C, actuara Y.

Ídem A, B y C, no habrá indicación alguna.

En caso de inactividad de los sensores, la indicación será nula.

C	B	A	X	Y	Z
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0
0	1	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0

X=
+
+

Y=
+

Z=
+

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INFORMACIÓN

NO

DIGITAL

CODIFICADOR

DECODIFICADOR

BINARIO

NO BINARIO

INFORMACIÓN DIGITAL (BINARIO)

BINARIO

NO BINARIO

NO BINARIO

BINARIO

CONVERTIDOR

DE

CÓDIGO

Codificador 1

Codificador 2

a b c d e f g

a b c d e f g

Ánodo Común

Cátodo Común

Codificador 1

Codificador 2