El dibujo a escala una suerte de motivación para la introducción a la semejanza,

¿Te has dado cuenta alguna vez que estamos rodeados de imágenes a escala del mundo real?¿Y que son mucho más frecuentes que las de tamaño natural? Estas imágenes a escala están con nosotros desde la edad de piedra hace mas de 20000 años, el hombre del paleolítico, junto con imprimir una mano de tamaño natural en las paredes de la gruta de lascaux, dibujo también imágenes a escala de una cacería. Según parece, en aquellos tiempos remotos, se creía que esas figuras reducidas tenían un vinculo mágico con los objetos reales, de modo que al dibujar el brujo la cacería la haría más exitosa. Hoy en día ya no son los brujos los que construyen dibujos de imágenes reducidas si no que arquitectos (mira el plano del colegio) tecnólogos,publicistas cineastas … sin además olvidar que esparcidas por el mundo se encuentran imágenes a escala aumentada , desde el coloso de rodas (Grecia ) hasta nuestros conocidos moais de la isla de pascua En todos los casos se comparan objetos de la misma forma , pero en general de distinto tamaño de modo que uno es la imagen de otro ,reducida o aumentada , a estas imágenes se les suele llamar semejantes Una manera sistemática de generar “cascadas” de objetos semejantes a uno dado ,es el dibujo en perspectiva .Esta técnica fue desarrollada en el renacentismo por el gran maestro león de Alberti (1404-1472) en Florencia Italia quien describió su método en su tratado titulado “tratado sobre la pintura” Aquí haremos notar que para dibujar en perspectiva es fundamental la idea del punto de fuga lo que se ilustra en las figuras precedentes

El llamado punto de fuga se visualiza como un punto en el horizonte, al infinito. Una vez elegido un punto de fuga es fácil reproducir figuras que nuestro sistema nervioso tiende a interpretar como copias fieles de la figura original

Intenta dibujar una figura de tu gusto y luego intenta reducirla a la mitad , luego a un cuarto

Puesto que las figuras achuradas del dibujo son congruentes deben existir movimientos (traslaciones-reflexiones-rotaciones) del plano que envían una sobre la otra ¿cuáles son?

A estas alturas es necesario introducir un mínimo de nomenclatura y declarar que en lenguaje matemático y no del pintor o dibujante las figuras construidas se llaman figuras Homoteticas y el punto de fuga se llama centro de homotecia

Cada figura homotetica respecto de otra tiene necesariamente la misma forma pero su tamaño es distinto.la razón entre el tamaño de una respecto de la otra se llama razón de homotecia y se calcula cómodamente como el cuociente entre un lado de una de las figura y la otra.Determina las distintas razones de homotecias implícitas en el dibujo dado

¿Cuál es el efecto de las homotecias sobre las áreas?

Ampliando y reduciendo en el plano Cartesiano

1. Dibuja en el plano cartesiano un cuadrado de 3 cuadritos de lado.

Amplia el cuadrado que dibujaste al doble.

Hemos ampliado el cuadrado en la razón _________

2. Dibuja un rectángulo de 4 cuadrito de largo y 2 cuadritos de ancho.

Amplia el rectángulo dibujado al triple.

Hemos ampliado el rectángulo en la razón _________

3. Dibuja un exágono cuyos lados midan 4 cuadritos. ¿Será fácil?

Reduce el exágono de modo que sus lados midan 2 cuadritos.

Hemos reducido el cuadrado en la razón _________

4. ¿Que puedes decir con respecto a los ángulos de todas estas figuras cuando fueron ampliadas o reducidas?

Estos pares de figuras hechas son figuras SEMEJANTES.

en general, que ocurre ¿Si nos encontramos con dos figuras semejantes como las del dibujo, con que transformación del plano podemos llegar a superponer una en la otra?

Dos figuras son semejantes si 

una puede obtenerse a partir de la otra mediante una combinación de una traslación, rotación, reflexión. seguida de una homotecia

5. Dibuja 2 triángulos equiláteros semejantes.

6. Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 6 cm. y 8 cm. Amplia estos catetos en 3 cm. ¿En qué razon están estos triángulos?, ¿Cuánto mide la hipotenuda de cada triángulo? (Pitágoras)

7. En un mapa a escala 1:100.000, la distancia entre dos ciudades es 24 cm. Determina la distancia real en Km. entre ambas ciudades.

8. En un plano de una casa a escala 1:50, el comedor mide 12 cm. por 15 cm. Determina las dimensiones reales del comedor.

NOTA:

Las figuras semejantes

Este problema va destinado a refinar el concepto de la semejanza geométrica. Se trata de responder a las dos preguntas siguientes:

En un cartabón de dibujo (véase la figura), ¿son semejantes los triángulos exterior e interior?

En un marco, ¿son semejantes los rectángulos exterior e interior?

De ordinario, a las dos preguntas planteadas en este problema se contesta afirmativamente, lo que es un error. En realidad, son semejantes únicamente los triángulos; los rectángulos exterior e interior en general, no son semejantes. Para que los triángulos sean semejantes es suficiente la igualdad de sus ángulos, y, puesto que los lados de ambos triángulos, interior y exterior, son paralelos, las dos figuras serán semejantes.
Pero para que se cumpla la semejanza geométrico en otros polígonos no basta con la igualdad de los ángulos (o lo que es lo mismo, con el paralelismo de los lados); es necesario que los lados de ambos polígonos circunscritos sean, además, proporcionales.
En el marco, para los rectángulos exterior e interior, esto se verifica sólo cuando son cuadrados (y en general, rombos). En todos los demás casos, los lados del rectángulo exterior no son proporcionales a los del interior, y por tanto, los rectángulos no son semejantes. La falta de semejanza se hace más notoria en los marcos anchos y de forma rectangular, como puede verse en la figura.
En el marco de la izquierda, las longitudes de los lados del rectángulo exterior se hallan en la proporción de 2 : 1 y en el interior de 4 : 1. En el marco de la derecha, para los exteriores es de 4 : 3 y para los interiores de 2 : 1.

TEOREMA DE THALES

 

CONCLUSIONES

Dada una serie de rectas .........................................Cortadas por un par de Rectas ........................

Se producen una serie de triangulos ...............................y sus lados son ..............................

Ejemplos

En la siguiente figura L1//L2.

a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?

b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?

c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.

d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?

f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?

g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?

h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.

i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?

2. En la siguiente figura L1//L2.

a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?

b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.

c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.

d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?

3. En la siguiente figura L1//L2.

a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?

c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?

d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x + 5) cm., CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.

 

Aplicando semejanza 

1.   A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 10 metros, mientras que una vara de 6 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros. Determina la altura del árbol.

2.   5 kilos de papas valen $ 750, ¿Cuánto valen 8 kilos?

¿Qué opinas de este procedimiento que inventó un alumno, aplicando el teorema de Thales?

Resuelve con el mismo método: Si una docena de huevos vale $72, ¿cuánto valen 4 huevos?

Utilizando el teorema de Thales

1. Dividir un trazo en 3 partes de igual medida.

2. Dividir un trazo AB en la razón 2:3

3. Calcula la medida del trazo EF si E y F dividen respectivamente los lados AC y BC del triángulo ABC, en la razón 2:3 siendo AE más largo que EC.

4. Se quiere fijar un cuadro de 80 cm por 60 cm sobre un rectángulo de papel. La persona dueña del cuadro quiere que se mantenga la razón entre las medidas de los lados de la tela. Además, agrega que le gustaría que este marco de color no tuviera más de 5 cm de ancho. ¿Qué soluciones se pueden proponer para las medidas de este marco?

5.  En un dibujo como el siguiente en que AB // CD // FG anotar medidas posibles de los trazos que se generan. ¿A cuáles y a cuántos trazos, como mínimo, es posible asignarles medidas, arbitrariamente, para que la figura quede determinada?

6. Si la razón entre la diagonal de un rectángulo y su lado mayor es 5:4, entonces en qué razón están el lado mayor con el lado menor del rectángulo. Explicar el procedimiento realizado.

Distancias o alturas

1. Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. Elige dos de esos métodos y realiza algunas las estimaciones que el profesor te indique.

En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.

Mirando con un solo ojo, se cubre la altura del árbol con una varita o un lápiz que se sostiene en la mano. Girar la mano en 90º y que una persona se ubique en el punto que corresponde al extremo libre de la varita.

Colocar al pie de un poste una persona o vara de altura conocida. Ubicarse a una distancia adecuada, mirando con un solo ojo y recurriendo a un lápiz o varita que se sostiene con la mano, cubrir la persona y contar cuántas veces cabe en la altura de dicho poste.

Para una misma hora la razón entre la longitud de un objeto y de su sombra es la misma.

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

Con el brazo estirado, utilizar como mira el dedo pulgar para ubicar dos puntos sobre el edificio, mirando primero con un ojo y después con el otro. Estimar la distancia entre ambos puntos, multiplicarla por 10 para obtener una estimación de la distancia que los separa del edificio. El factor 10 deriva de la razón entre la medida aproximada de la distancia entre ambos ojos (6 cm) y la longitud de los brazos (60 cm) un promedio aproximado y cómodo para hacer los cálculos

Ejercicios

1-Una empresa ha diseñado un juego para niños que permite armar figuras como la del dibujo. Las piezas y sus medidas son las siguientes:

Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio:”lo que mide 5 cm pasará a medir 8 cm”; el resto de las medidas se deben ajustar a ese criterio para mantener la proporción.

2-Dividir un trazo en 3 partes de igual medida.

3-Dividir un trazo AB en la razón 2:3

4-Si la razón entre la diagonal de un rectángulo y su lado mayor es 5:4, entonces en qué razón están el lado mayor con el lado menor del rectángulo. Explica el procedimiento realizado.

5-Un rectángulo inscrito en un triángulo tiene su base sobre la base c del triángulo. Escribir la altura x del rectángulo sabiendo que ella es la mitad de la base del rectángulo, en función de la altura h del triángulo y de la base c del triángulo.

6-El dibujo siguiente ilustra un modelo de tangrama. Una empresa decide hacer para la venta una cantidad de estos puzzles de modo que el área total sea el doble del área del cuadrado del modelo.

¿Qué procedimientos podrían utilizar para diseñar el nuevo tangrama? Analizar la razón de semejanza si se duplica el área.

7-En el siguiente dibujo, ABCD es un cuadrado y los vértices de la figura inscrita dividen el lado en la razón 1:4.

Demostrar que las figuras que se generan son cuadrados, y determinar la razón de semejanza entre dos cuadrados consecutivos.

8-En el trapecio del dibujo, MN es paralela a las bases. Si el punto M divide al lado AD de modo que MD:MA = 1:4, ¿cuánto mide MN si la base menor del trapecio mide 25 cm y la mayor 60 cm?

La semejanza conserva la alineación en el mismo orden ; los segmentos homólogos son proporcionales, y la razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza; además, los ángulos homólogos son iguales .

Criterios de semejanza Para triangulos

• Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos iguales A-A-A

• Dos triángulos son semejantes cuando tienen un Angulo igual y los lados que lo forman proporcionales. L-A-L

• Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo opuesto a los lados mayores L-L-A

• Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados proporcionales L-L-L

Observaciones

Al tener dos triángulos semejantes se cumplen:

La razón entre sus perímetros es igual a la razón de semejanza

La razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza

Ejercicios

En la figura

De estas proporciones, es o son verdaderas.

Solo I

Solo II

Solo III

Solo I y II

Solo i y III

En el romboide de la figura adjunta, AD = 48 cm, AE = 24 cm y EF = 18 cm. Entonces FB mide:

28 cm

32 cm

36 cm

42 cm

54 cm

En la figura siguiente, los dos pentágonos son regulares y con sus lados respectivamente paralelos. La razón entre el área del pentágono menor y el mayor es.

¿Cuál es la altura del árbol?

¿ Cuantos triángulos observas?¿Son ellos semejantes?

¿ Que transformaciones puedes utilizar para establecer la semejanza?

Intenta interpretar geométricamente los resultados

Intenta demostrar el teorema de Pitágoras a partir de los resultados obtenidos

Semejantes pero no iguales

1.8 mt

3. 5 mt

2. 5 mt

h