Introducción

En este proyecto trataremos acerca de la Geometría Analítica y las contribuciones más sobresalientes que en ella se han efectuado, la misma es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.

De igual forma se desarrollará los términos: Secciones Cónicas, que son las curvas generadas por la intersección de un cono de doble hoja y de un plano.

También conoceremos más a fondo los diferentes tipos de Secciones Cónicas los cuales son: Eclipse, Parábola e Hipérbola.

Índice

Pagina

Geometría Analítica........................................................... 4

Historia de las Secciones Cónica……………………………….. 8

Blaisel Pascal…………………………………………………..… 9

Apolonio de Perga…………………………………………...… 10

Leonhard Euler………………………………………………....... 11

Secciones Cónicas………………………………………………… 12

Aplicaciones de las Secciones Cónicas…………………… 14

Las Cónicas como Lugares Geométricos…………………. 14

Cónicas Degeneradas…………………………………….….. 14

Expresión Analítica de las Cónicas………………………….. 15

Elipse………………………………………………………………….. 16

Propiedad del Elipse………………………………………….... 18

Ecuación Reducida del Elipse……………………………….. 18

Hipérbola…………………………………………………………….. 19

Expresión Analítica de la Hipérbola…………………………. 20

Parábola……………………………………………………………… 22

Expresión Analítica de la Parábola…………………………... 23

Conclusión……………………………………………………………. 24

Bibliografía……………………………………………………..……… 25

Geometría Analítica

Considerado el primer filósofo moderno, René Descartes utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico. Desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para ecuaciones gráficas y figuras geométricas. Descartes está considerado como el creador de la geometría analítica.

La teoría de Descartes se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, utilizando el método de las coordenadas.

Por coordenadas de un punto del plano, Descartes entendía un par de números que medían las distancias de dicho punto a dos rectas perpendiculares entre si.

De esta forma se conseguía en vez de determinar un punto geométricamente, determinarlo por medio de dos números, por eso se suele decir que es una aritmetización del plano.

Antes de Descartes, cuando se planteaba una ecuación con dos incógnitas se decía que el problema era indeterminado, puse no se podía determinar el valor de las incógnitas simultáneamente.

Descartes consideró el problema de una manera diferente. Propuso que la x fuese considerada como la abscisa del punto y la y como la ordenada. Entonces la ecuación f(x,y)=0 queda perfectamente determinada como una curva en el plano.

La Geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.

Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la figura 1, el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades del horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4.

Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.

En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una

Circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen x2 + y2 = 9. Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas.

Historia de las Secciones Cónicas

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.

Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.

Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente no se conservó ejemplar alguno.

Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas. Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo alguno por mejorarla.

De esta conocida obra tan sólo se han conservado los cuatro primeros de sus ocho libros en el griego original. El matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, conservándose esta traducción hasta nuestros días. En 1710, el matemático inglés Edmund Halley publicó la primera traducción al latín de los siete libros conservados, y desde entonces se han sucedido las publicaciones en varias lenguas. Del octavo libro no se tienen muchas referencias.

Blaisel Pascal

(1623-1662)

Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la Teoría de la Probabilidad.

El padre de Pascal, Étienne Pascal, tenía una educación ortodoxa y decidió educar el mismo a su hijo. Decidió que Pascal no estudiara matemáticas antes de los 15 años y todos los textos de matemáticas fueron sacados de su hogar. Pascal, sin embargo, sintió curiosidad por todo esto y comenzó a trabajar en geometría a la edad de 12 años. Descubrió que la suma de los ángulos de un triángulo corresponden a dos ángulos rectos y cuando su padre comprobó esto se enterneció y entregó a Pascal un texto de Euclídes.

A la edad de 16 años Pascal presentó sólo un trozo de papel con escritos a las reuniones con Mersenne. Contenía un número de teoremas de geometría proyectiva, incluyendo incluso el hexágono místico de Pascal.

Pascal inventó la primera calculadora digital (1642). El aparato llamado Pascaline, se asemejaba a una calculadora mecánica de los años 1940.

Fomentó estudios en geometría, hidrodinámica e hidroestática y presión atmosférica, dejó inventos como la jeringa y la presión hidráulica y el descubrimiento de la Ley de Presión de Pascal.

Apolonio de Perga

(262-190 A.C.)

Apolonio fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral.

Apolonio de Perga estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejandría.

Mientras, Apolonio, "El gran geómetra", estuvo en Pergamo escribió la primera edición de su famoso libro "Secciones Cónicas". que consta de 8 libros. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclídes , Aristóteles y otros. Los libros del 5 al 7 son originales; en estos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. El da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución.

Muchos de sus otros libros están perdidos, el libro número 8 de "Secciones Cónicas" está perdido, mientras que los libros del 5 al 7 sólo existen en traducción Arábica; sin embargo nosotros conocemos algunos de sus otros trabajos a partir de los escritos de otros personajes. Sabemos que él obtuvo una aproximación de pi entre 22/7<pi<223/71 conocido por Arquímedes

Apolonio, considera un solo cono y hace variar la oblicuidad del plano que lo corta. De esta manera obtuvo como curva fundamental la parábola cuya ecuación es y2 = 2pix. Las otras dos curvas las caracteriza por: y2<2pix, que equivale a la hipérbola ("exceso").

Leonhard Euler

(1707-1783)

Matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.

Aunque se obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Secciones Cónicas

Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.

El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano  con el eje e.

Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome b.

Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo b.

Si b = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

Si b < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < b < a) como cuando es paralelo a él (b = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a y b.

La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.

Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen una excentricidad mayor que uno.

• APLICACIONES DE LAS CÓNICAS

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.

• LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS

Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:

El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (dist PF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.

• CÓNICAS DEGENERADAS

Las cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o incluso un punto, serían cónicas degeneradas.

• EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LAS CÓNICAS

Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias

Elipse

Es una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano, , que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo b mayor que a, pero menor de 90º (a < b < 90º).

Si a es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si a es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y un número fijo k,
, la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k:

; d1 + d2 = k.

Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

• Centro, O.

• Eje mayor, AA´.

• Eje menor, BB´.

• Distancia focal, OF.

Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:

• 
  . El eje mayor mide 2a.

• 
  . El eje menor mide 2b.

• 
  . La distancia entre focos es 2c.

• 
  .

Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2

La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a

Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.

• PROPIEDADES DE LA ELIPSE

Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF', la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.

• ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE

Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

que se llama ecuación reducida de la elipse.

Hipérbola

Una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano  que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo b menor que a.

La hipérbola se puede definir como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F , llamados focos, y un número positivo k,
, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia de distancias a los focos es igual a k:


; |d1 - d2| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r , en la hipérbola destacan los siguientes elementos:


• Centro, O.
• Vértices, A y A .
• Distancia entre los vértices,
.
• Distancia entre los focos,
.

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que


b2 = c2 - a2

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

Expresión Analítica de la Hipérbola

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF , entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es:


x2 - y2 = a2

y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.

Parábola

Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano  que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo a.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

• Eje, e.
• Vértice, V.
• Distancia de F a d, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

Expresión Analítica de la Parábola

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:


y2 = 2px

Las curvas de ecuación y = ax2 + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.

Conclusión

En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las secciones cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un espacio bidimensional y en relación a sistema de coordenadas ortonormales, con la relación y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.


También hemos podido Identificar y establecer la relación existente entre el Álgebra y la Geometría como consecuencia de la asociación de ecuaciones y figuras geométricas.

Bibliografía

• http://www.mat.usach.cl/histmat/html/pasc.html

• http://www.mat.usach.cl/histmat/html/apol.html

• http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Conicas_con_regla_y_compas/Resumen.htm

• http://www.henciclopedia.us.es/wiki.phtml?title=secci%F3n+c%F3nica

• http://www.fractalia.com.ar/geometria_tipos.htm

• http://www.xtec.es/~jdomen28/article6.htm

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