RESTO CUADRATICO LA UNIDAD

Generalidades.-Aportaciones de estos cuadrados.-Procedimientos para su conocimiento.-Ejemplos.

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Todo número , entero , positivo ,impar ,compuesto ,que llamaremos N, tiene como mínimo cuatro números menores de N, que elevados al cuadrado ,generan como resto cuadrático “1”.

“ A priori” conocemos dos de ellos:

1² y ( N - 1 )²

El presente trabajo ,que exponemos bajo el título “Resto cuadrático la unidad”, da

a conocer los procedimientos a través de los cuales es posible hallar los otros dos cuadrados ,menores que

N,que también generan el “uno” como residuo cuadrático. A su vez el conocer esto, nos proporciona:

1º.-Saber los factores que dividen a N.-Factorización que no tiene como base los cuadrados de Fermat.

2º.-Nos informa de que la base de uno de los cuadrados,es igual a la diferencia de dos números,que tienen

de particular ,que al ser elevados al cuadrado,sus congruencia son iguales a las bases, módulo N.

3º.-Proporciona,mediante una simple operación, el hallar los 3º y 4º cuadrados,que generan como resto 2²,

3² , 4² etc….

4º.-Nos muestra la relación directa de los citados cuadrados , con los cuadrados de factorización de

Fermat.

5º.-Por último, pone a nuestra disposición las citadas propiedades o peculiaridades , que pueden ser base

de otros estudios.

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PROCEDIMIENTOS PARA CONOCER LOS CUADRADOS QUE GENERAN

COMO RESTO LA UNIDAD

Procedimiento A

N = impar,compuesto,positivo = A ² + B ² = C ³ + D ²

planteamos la ecuación diofántica ,

N × c - B = A × e

y nos proporciona que ,

e ² " ( N - 1 ) ( módulo N )

igualmente ,planteamos otra ecuacion .

N × d - D = f × C

en el que también , f ² " ( N - 1 ) ( módulo N )

es decir que , e ² × f ² " 1 ( mod. N )

Ejemplo :

N = 62317 = 206 ² + 141 ² = 174 ² + 179 ² 62317 c - 141 = 206 e

resolviendo la ecuación, e = 5747

por otra parte , 62317 d - 179 = 174 f f = 12534

5747 ² " 62316 ( módulo 62317 ) 12534 ² " 62316 ( módulo 62317 )

• × 12534 " 56763 ( módulo 62317 )

56763 ² " 1 ( módulo 62317 )

en cuanto a la factorización de 62317 ,

las bases de los 4 cuadrados son : 62316 ; 1 ; 56763 ; 5554 .

62316 - 56763 = 9 × 617 62316 - 5554 = 562 × 101

N = 62317 = 617 × 101

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Procedimiento B

Para todo N = x . y , se trata de buscar 2 parejas de números consecutivos que tengan como factores entre

otros , “ x ” “ y ”.

N = x . y ; a . x + 1 = b . y d . x = e . y + 1

( b . y ) ² " b . y ( módulo N ) ( d . x ) ² " d . x ( módulo N )

( b . y - d . x ) " 1 ( módulo N )

Ejemplo :

N = 62317 = 617 x 101 617 a + 1 = 101 b b = 336 336 x 101 = 33936

617 a = 101 b + 1 a = 46 46 x 617 = 28382

33936 - 28382 = 5554 5554 ² " 1 ( módulo 62317 )

33936 y 28382 , tienen la siguiente peculiaridad ,

33936 ² " 33936 ( módulo 62317 )

28382 ² " 28382 ( módulo 62317 )

Procedimiento C

Tiene su fundamento en los cuadrados de Fermat :

N = x . y F ² - N = f ²

B . N . - F = a . f a ² " 1 ( módulo N )

Ejemplo :

N = 62317 = 617 × 101

las bases de los cuadrados de Fermat son : (617 + 101)/2 = 359 ; (617- 101)/2 = 258

62317 b - 258 = 359 a , resolvemos la ecuación ,

a = 5554

5554 ² " 1 ( módulo 62317 )

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1

3