Análisis Numérico

Resolución del Comportamiento de un

Mecanismo por Newton-Raphson

Búsqueda de Raices

Objetivo:

Usando un método para encontrar raíces en una función, se resolverá un problema de un mecanismo. Usando el método de Newton-Raphson y usando una ecuación que describe el comportamiento de un mecanismo, encontraremos los valores adecuados en un intervalo. Usando el entorno de programación QBasic, se hizo un programa que calcula de manera rápida y fácil las raíces esperadas.

Marco Teórico:

Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente usada, Si el valor inicia de la raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto (xi, f(xi)). El punto donde esta tangente cruza al eje x, representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica (un método alterno basado en la serie de Talyor), Podemos obtener una ecuación general para la forma, la cual nos queda:

X i+1 = Xi - (f(Xi) / f'(Xi))

Cómo con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación de Newton-Raphson se puede usar como un criterio de paro. Además, el desarrollo del método con base en la serie de Taylor proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: Ei +1 n= O(E2i).

De esta forma, el error debe ser casi proporcional al cuadrado del error anterior.

El algoritmo del método de Newton-Raphson se obtiene al sustituir la ecuación principal con la fórmula predictiva. Obsérvese, sin embargo, que el programa también debe modificarse para calcular la primera derivada. Esto se puede llevar a cabo simplemente incluyendo una función definida por el usuario.

Además, de acuerdo con las discusiones anteriores sobre los problemas potenciales del método d Newton-Raphson, el programa se podría mejorar al incorporar algunas consideraciones adicionales:

1.- Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del programa.

2.- Al final de los cálculos, la raíz final calculada debería siempre ser sustituida en la función original para calcular en qué casos el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege contra aquellos casos en los que se observa convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de error, mientras que la solución puede estar aún muy lejos de una raiz.

3.- El programa debería siempre incluir un límite máximo sobre el número permitido de iteraciones para estar prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o en caso contrario las soluciones divergentes persistirán en forma interminable.

4.- El programa debería alertar al usuario y tomar en cuenta la posibilidad de que f'(x) pueda ser cero en cualquier momento durante el cálculo.

Descripción del Problema

LA figura mostrada es la gráfica de la función cúbica de la ecuación mostrada. Se hará un programa para investigar el comportamiento del algoritmo de Newton-Raphson conforme dos valores iniciales dados. Uno es 1.8 y el otro 2.5. Se debe determinar el valor para el cual la convergencia cambia de raíces, siendo el incremento de 0.1. La gráfica y la función son las siguientes:

Y = f(x) = -X3 - 2x2 + 50x + 60

Así tenemos una función igualada que podemos igualar a cero con una sola variable, y ya se puede usar el método de Newton-Raphson para encontrar los valores de esta variable en el rango que yo quiera. Entonces es aquí donde utilizo el programa en QBasic. El código del programa se presenta a continuación,

Código del Programa

CLS

PRINT

PRINT

PRINT

PRINT " Programa para obtener TODAS las raíces"

PRINT " de una ecuación en función de x"

PRINT

PRINT " METODO DE NEWTON RAPHSON"

PRINT

PRINT

INPUT " Escribe cuántas cifras significativas "; Cif

INPUT " Escribe la frontera izquierda x "; FI

INPUT " Escribe la frontera derecha x "; FD

INPUT " Escribe el diferencial a usar "; Dif

PRINT

PRINT

PRINT " Las raíces de la ecuación son:"

PRINT

PRINT

ES = .5 * 10 ^ (2 - Cif)

a = FI

r = 0

`y = -(x ^ 3) - (2 * (x ^ 2)) + (50 * x) + 60

DO

c = 0

b = a + Dif

FA = -(a ^ 3) - (2 * (a ^ 2)) + (50 * a) + 60

FB = -(b ^ 3) - (2 * (b ^ 2)) + (50 * b) + 60

IF FA = 0 THEN

PRINT SPACE$(25); a

r = r + 1

c = 1

ELSE

IF FB = 0 THEN

PRINT SPACE$(25); b

r = r + 1

c = 1

END IF

END IF

IF (FA * FB) < 0 AND c = 0 THEN

m = a

DO

FM = -(m ^ 3) - (2 * (m ^ 2)) + (50 * m) + 60

DFM = -(3 * (m ^ 2)) - (4 * m) + 50

m2 = m - (FM / DFM)

FM2 = -(m2 ^ 3) - (2 * (m2 ^ 2)) + (50 * m2) + 60

IF ABS(FM2) < (1 / (10 ^ Cif)) THEN

PRINT SPACE$(25); m2

r = r + 1

c = 1

ELSE

EA = ABS((m2 - m) / m2) * 100

IF EA < ES THEN

PRINT SPACE$(25); m

r = r + 1

c = 1

ELSE

m = m2

END IF

END IF

LOOP UNTIL c = 1

END IF

a = b

LOOP WHILE a < FD

PRINT

PRINT

IF r = 0 THEN PRINT SPACE$(20) + "No se pudo encontrar raíces." ELSE PRINT SPACE$(20) + "Son todas."

Se notará que el programa ya tiene como función la derivada de la ecuación original. Se está usando un intervalo de -10 a 10, ya que los dos valores iniciales propuestos están dentro de este rango. Corriendo el programa, los valores obtenidos son:

-7.562 -1.777 y 6.740

Conclusiones:

Es bastante fácil encontrar estos valores con un algoritmo hecho en la computadora. Nada más se dan los datos requeridos y la máquina hace todo. Con este métodos se puede encontrar fácilmente el comportamiento de un mecanismo, dada una ecuación. Facilita mucho los cálculos.

Bibliografía:

Métodos Numéricos para Ingenieros.

STEVEN CHAPRA

Ed. McGraw Hill

Diseño de Maquinaria.

ROBERT L. NORTON

Ed. McGraw Hill