REGULADORES DE MINIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO

Objetivos

• Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.

• Aplicar al caso anterior los reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar no presentan retardos adicionales.

• Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores.

• Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos parámetros del regulador.

Realización de la practica

Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretizacion a T=0.1 segundos genera la función de transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Se pide:

Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida.

Nota: Hay que tener unas consideraciones a la hora de realizar este sistema en Simulink

• El `Sample time' en todos los parámetros ha de ser de 0.1

• Se toma un valor de `Noise Power' en el bloque de ruido blanco de 0.0005

• Y finalmente, en Simulations->Solver Options->Type colocar `Fixed Step' y debajo, colocar un tamaño de 0.1.

Una vez realizado dicho esquema en simulink, hay que realizar la simulación, con la que obtendremos valores suficientes para plasmar graficas y observar el comportamiento del sistema con ruido frente al tiempo. Esto se realizara con la función de Matlab:

Plot (tout, variable determinada, `color', tout, variable...)

En la grafica inferior se muestra el comportamiento del sistema analizando tanto la salida de éste frente a una referencia escalón unitario como los valores relativos del ruido.

Donde la parte superior de la grafica es la referencia escalón, el valor de en medio es la salida del sistema y la inferior es el valor del ruido blanco.

Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control , r = 0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada.

El regulador de mínima varianza obtenido (Sus cálculos se encuentran en la sección `cálculos' apartado b) es el siguiente:

Que introducido en el sistema y simulado posteriormente, se obtienen las siguientes graficas de ruido (n), salida de sistema (y) y señal escalón (ref) frente a tiempo:

Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en simulación.

Para el cálculo de la primera acción de control me remito al apartado `c' de la sección de Cálculos. Pues dicho valor es:

Mientras que el obtenido de realizar la simulación (simplemente hay que poner en la ventana de Matlab el comando `u(1)') es:

Como se observa, la acción de control es del orden de 10 unidades. Por tanto se puede suponer que la simulación es correcta.

Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?

Para ver el método de obtención del regulador me remito a al apartado de cálculos `d'. Dicho regulador es el siguiente:

Una vez introducido dicho parámetro en el sistema y hecha la simulación obtenemos el siguiente comportamiento (grafica de ruido (n), salida de sistema (y) y señal escalón (ref) frente a tiempo):

Primera acción de control

Calculada teóricamente:

Obtenida experimentalmente mediante matlab:

Diferencias del sistema respecto al regulador de mínima varianza obtenido con r = 0 :

Apartado `d' Apartado `b'

Como se puede observar en el regulador del apartado `d', el primer termino de la secuencia de valores de la salida posee un valor mucho menor que el primer regulador. Por tanto la respuesta del segundo regulador es mucho mejor que la del primero, ya que si el primer valor es mucho mejor, todos los valores siguientes de la secuencia serán también menores y en consecuencia mejores.

Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.

Para el calculo del regulador me remito a la sección de cálculos apartado `e'. Pues bien. El regulador de mínima varianza obtenido es:

El cual colocado en nuestro sistema queda de la siguiente manera:

Y hecha la simulación al igual que en los apartados anteriores, es decir: grafica de ruido (n), salida de sistema (y) y señal escalon (ref) frente a tiempo obtenemos la siguiente grafica:

Que para observar que se ha hecho bien, el primer valor de la acción de control es:

Calculada teóricamente:

Obtenida experimentalmente mediante matlab:

Con lo que podemos derivar que el cálculo esta bien hecho.

Grafica apartado `e' Grafica apartado `b'

Como se puede observar si estudiamos las dos graficas conjuntamente, se observa en la del apartado `e' una mayor oscilación entre los valores máximos y mínimos debidos al ruido. Es decir, la varianza es mucho mayor. Con lo que la regulación en el apartado `e' es mucho peor que la del apartado `b'.

Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dicho sistemas.

Nota: Observar sección de cálculos, apartado `f'.

CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS

PRACTICA 1

REGULADORES DE MINIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO

Objetivos

• Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.

• Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a controlar SI presentan retardos adicionales.

• Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores.

• Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos parámetros del regulador.

• Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un termino integral.

Realización de la practica

Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretizacion a T=0.1 segundos genera la función de transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Se pide:

Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida.

Nota: Hay que tener unas consideraciones a la hora de realizar este sistema en Simulink

• El `Sample time' en todos los parámetros ha de ser de 0.1

• Se toma un valor de `Noise Power' en el bloque de ruido blanco de 0.0005

• Y finalmente, en Simulations->Solver Options->Type colocar `Fixed Step' y debajo, colocar un tamaño de 0.1.

Una vez realizado dicho esquema en simulink, hay que realizar la simulación, con la que obtendremos valores suficientes para plasmar graficas y observar el comportamiento del sistema con ruido frente al tiempo. Esto se realizara con la función de Matlab:

Plot (tout, variable determinada, `color', tout, variable...)

En la grafica inferior se muestra el comportamiento del sistema analizando tanto la salida de éste frente a una referencia escalón unitario como los valores relativos del ruido.

En donde se puede visualizar el comportamiento aleatorio del ruido blanco, cuyos picos oscilan siempre entre ±0.2, una entrada escalón unitario y la salida `y2' de nuestro sistema, oscilante según el ruido introducido.

Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos resultados.

Nota: A fin de comprobar los pasos que llegan a esta solución me remito al apartado de cálculos en las hojas posteriores.

Se sabe que el filtro de ruido puede descomponerse de la forma siguiente:

Según una división clásica de la forma:

Sabemos que tanto el retardo estructural como el de la planta es de l unidad. Por tanto `d'=1, es decir, el cociente deberá ser de primer orden. así, habiendo realizado la división entre D/C, obtenemos el polinomio E y F, que son de la forma:

Una vez hecha la simulación en Simulink, obtenemos:

Representando la salida de este sistema frente a la salida del hecho en el apartado `a' obtenemos la siguiente grafica. Como se ve, las dos se encuentran superpuestas y por tanto son iguales ambas graficas.

Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un factor de ponderación de la acción de control, r=0. Simular el sistema y visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la simulación para una entrada de la forma u(t)=sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última simulación?

Sabemos que el factor de ponderación de la acción de control es 0 y que el comportamiento del ruido se puede modelizar mediante un proceso ARMAX. Pues bien, la función de transferencia que minimice la varianza es la siguiente: (Para ver los cálculos me remito al apartado de cálculos)

Introduciendo el regulador en la simulación obtenemos la siguiente salida:

Donde la grafica de en medio simula la acción de control generada, la de arriba representa la salida del sistema mientras que la inferior representa el ruido aleatorio modelizado mediante un proceso ARMAX. Como se observa, la acción de control se estabiliza en 1.5.

Si representamos la salida del sistema frente a una entrada escalón obtenemos:

Que según se puede observar, la salida del sistema varia frente a la salida del sistema anterior. en la siguiente grafica se observan los mismos parámetros en donde se ha muestreado hasta 100.

Como se puede ver tanto la entrada como la salida poseen forma senoidal además de haberse disminuido la varianza notablemente.

Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y comprobar que realmente es la obtenida en simulación.

Para el cálculo de la primera acción de control me remito al apartado `d' de la sección de Cálculos en la pagina ___. Pues dicho valor es:

Mientras que el obtenido de realizar la simulación (simplemente hay que poner en la ventana de Matlab el comando `u(1)') es:

Como se observa, la diferencia entre las acciones de control calculadas (teóricas y practicas) es notable. Esto es debido a que la acción de control calculada de manera teórica es planteada para procesos sin ruido y ante entrada escalón unitario, mientras que en la obtenida mediante simulink es la `real'. Es decir, la acción de control teórica es una medida totalmente cualitativa, y sirve únicamente para saber si es grande o pequeña para poder reducirla directamente sobre el papel, ya que la relación entre las acciones de control calculadas de forma teórica y practica son totalmente lineales (proporcionales).

Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido, salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?

Para ver el método de obtención del regulador me remito a la pagina del apartado de cálculos `e'. Dicho regulador es el siguiente:

Una vez introducido dicho parámetro en el sistema y hecha la simulación obtenemos el siguiente comportamiento (grafica de ruido (n), salida de sistema (y) y la acción de control (u) frente a tiempo):

Primera acción de control

Calculada teóricamente:

Obtenida experimentalmente mediante matlab:

Diferencias del sistema respecto al regulador de mínima varianza obtenido con r = 0 :

Apartado `d' Apartado `c'

Como se puede observar en el regulador del apartado `d', el primer termino de la secuencia de valores de la salida posee un valor mucho menor que el primer regulador. Por tanto la respuesta del segundo regulador es mucho mejor que la del primero, ya que si el primer valor es mucho mejor, todos los valores siguientes de la secuencia serán también menores y en consecuencia mejores.

Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.

Para el calculo del regulador me remito a la pagina ____ de la sección de cálculos apartado `e'.

Pues bien. El regulador de mínima varianza obtenido es:

El cual colocado en nuestro sistema queda de la siguiente manera:

Y hecha la simulación al igual que en los apartados anteriores , es decir: grafica de ruido (n), salida de sistema (y) y la acción de control (u )frente a tiempo obtenemos la siguiente grafica:

Con lo que podemos derivar que el cálculo esta bien hecho.

Grafica apartado `f' Grafica apartado `c'

Como se puede observar, el valor de la amplitud ha bajado con respecto de los valores anteriores.

Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los resultados obtenidos la estabilidad de dicho sistemas.

Nota: Observar sección de cálculos, apartado `f'.

Ecuación Característica:

Para el regulador del apartado e), añadir un termino de acción integral que elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α=0,0.5,0.8 y 1. Comentar las respuestas obtenidas.

• Para α=0, el regulador de termino integral cancela su efecto integral y queda únicamente con un factor proporcional igual a 1. Por tanto nos situaríamos en el apartado e).

• Para α=0.5 el regulador integral tiene parte proporcional y parte integral por igual, por tanto obtendríamos un regulador de la forma:

Así pues, la salida quedaría de la forma:

Se puede observar claramente que con la adición del termino medio integral medio proporcional el sistemas se desestabiliza completamente, para verlo, solo es necesario observar la escala en `y'.

• Para α=0.8, el regulador introducido tiene mas características de termino integral que de termino proporcional. Así, este queda de la forma:

Obteniéndose la respuesta del sistema siguiente:

Al igual que antes, es sistema se desestabiliza completamente.

• Para α=1, el regulador obtenido es únicamente de acción integral

Como se observa también éste se desestabiliza.

Practica 1: REGULADORES DE MINIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO