TREBALL DE RECERCA

Punt de partida: s'han presentat davant meu diferents qüestions: quin era el nombre màxim i mínim de zones que podíem fer amb un determinat nombre de rectes, quina era la formula que ens ajudaria a extreure els màxims i els mínims,..., i després fer la mateixes investigacions però treballant amb cercles amb comptes de rectes.

Investigacions realitzades: en primer lloc, en grup, hem intentat esbrinar quin era el nombra mínim de zones que podíem realitzar amb 3 rectes, i aquest es el resultat obtingut:

Com es pot veure, per tal d'aconseguir el mínim de zones, hem d'aconseguir que les rectes no es creuin entre elles, però poden estar en diagonal, horitzontal o vertical, però com ja he dit, sempre i quan no es creui cap recta.

Per obtindre el màxim de zones vam haver de realitzar aquest dibuix:

Si comptem les zones obtingudes, ens adonem que hi ha 7. això es pot produir perquè totes elles es tallen entre elles, es a dir, cada recta esta tallada 2 vegades. Per tal de que es compleixi aquesta situació, s'ha d'evitar que hi hagi un punt on es creuin les 3 rectes a la vegada.

Acte seguit, també en grups, vam tornar a fer la mateixa operació, però aquest cop vam utilitzar 4 rectes en comptes de 3:

Aquest cas es exactament igual al anterior. Les rectes no s'han de creuar entre si. El dibuix del màxim nombre de zones es el següent:

Ara torna a ser igual que abans: no pot haver un punt on es creuin 3 rectes, però totes s'han de creuar amb totes les rectes.

Però no ens vam conformar amb això i encara vam fer una altre proba, afegint una recta més als nostres estudis, fent així que hi hagués un total de 5 rectes.

En els dos últims dibuixos, l'explicació es exactament la mateixa q en els casos anteriors.

Resultats i conclusions: Un cop amb tantes dades recopilades, s'ha de trobar una fórmula que ens permeti generalitzar i que ens faci obtindre aquests resultats sense tantes dil·lacions. En el cas de les zones minimes, la formula es molt senzilla, sense cap complicacio i es dedueix al observar la taula següent, que conte les dades obtingudes:

RECTES	MÍNIM	MÀXIM/Cn
3	4	7
4	5	11
5	6	16

Z=R+1

La lletra Z, representa les zones que obtindrem i la lletra R son les rectes q utilitzarem. A aquest nombre de rectes li afegirem 1 per tal d'obtindre el nombre de zones. Per exemple:

Z=6+1

Z=7

En aquest cas, estem buscant les zones que obtindriem en el cas d'utilitzar 6 rectes, i veiem que n'obtindriem 7:

Ara, per esbrinar la formula dels màxims, hem de tornar a observar la taula amb les dades recollides:

Cn	RECTES	MÍNIM	MÀXIM/Cn
C3	3	4	7
C4	4	5	11
C5	5	6	16

Si obserbem detingudament l'apartat de MÀXIM/Cn, veiem com afegim el mateix nombre de zones que les rectes que utilitzem, per exemple, amb 4 rectes afegim 4 zones més respecte al màxim de zones amb una recta menys, per tant, podem extreure la següent formula:

Cn= Cn-1+R

Aquesta formula significa que el màxim de zones, es a dir Cn (cas indeterminat) es igual al màxim de zones del cas anterior sumat amb el nombre de rectes que han estat utilitzades. Per exemple:

C5= C5-1+5

C5= C4+5

C5=11+5

C5=16

(PRIMER DIBUIX DE LAPÀGINA 3)

Amb aquestes dues formules, seria molt més senzill poder obtindre noves dades.

Investigacions realitzades(2):Després d'aqueta investigació sens presenta que fem exactament el mateix, però en comptes d'utilitzar rectes, utilitzem cercles, i això es el que farem a continuació:

Hem d'evitar que es creuin uns amb els altres por aconseguir el nombre mínim de zones.

Aquest cas és d'una complexitat molt elevada, i per tal d'aconseguir aquest nombre tan elevat de zones, s'ha d'experimentar moltíssim i intentar el major nombre de creuaments entre tots el cercles i també fer que toquin les parets per crear aquest nombre tan elevat.

Ara em de fer el mateix procediment, però afegint un nou cercle:

Igual que en el cas anterior, no es poden creuar o si es toquen entre ells, no poden tocar les parets.

Resoltats i conclusions(2)Degut a la dificultat, no escriurem més resultats, i a més ja en tenim suficients per determinar les formules:

Cn	CERCLES	MÍNIM	MÀXIM
C3	3	4	20
C4	4	5	30

La formula q utilitzarem per determinar el mínim serà exactament igual a la utilitzada amb les rectes, però substituint la R per un C, es a dir:

Z=C+1

Un exemple per aplicar la fórmula seria el següent:

Z=6+1

Z=7

En el cas de l'altre fòrmula, varia lleugerament:

Cn= Cn-1+10

Per exemple:

C4= C4-1+10

C4= C3+10

C4=20+10

C4=30

(ÚLTIM DIBUIX DE LA PAGINA 6)

Altres investigacions: durant la investigació amb els cercles, he tingut una idea, i he pogut comprovar que per tal d'aconseguir el màxim de zones amb 2 cercles hi ha 2 possibilitats diferents, que et dones un resultat de 9 zones:

O bé, cm sabem, podem col·locar una circumferència inscrita i l'altre circumscrita, com amb qualsevol figura geomètrica.

4

3

2

1

MINIM: 4 zones

MÀXIM: 7 zones

MÍNIM: 5 zones

MÀXIM: 11 zones

MÍNIM: 6 zones

1

MÀXIM: 16 zones

MÍNIM: 5 zones

MÀXIM: 20 zones

MÀXIM: 30 zones

MÍNIM: 4 zones

7

6

5

4

3

2