UNIVERSIDAD DE CHILE

Vicerrectoría de Asuntos Académicos

Programa Académico de Bachillerato

“Las Matemáticas: Dogma y Racionalismo”

Contraposición de ambas visiones, basado en el razonamiento matemático

“Las matemáticas son universales y, por sobre

todo, la ciencia generalísima del orden y la medida”

Rene Descartes

I N T R O D U C C I O N

Es indiscutible el gran valor han tenido las matemáticas a través de la Historia, el que presenta hoy en día y con el que se proyecta para el futuro. No solo porque constituye la principal herramienta de trabajo de las ciencias exactas y/o puras, como la Física, la Química, la Astronomía, etc. y el estudio, dentro de un campo mas exacto, de los entes abstractos, como números y figuras geométricas, por ejemplo, así como las relaciones que se establecen entre ellos; sino también porque permite el desarrollo cognitivo de quienes la aplican, por medio del empleo de varios métodos de razonamiento, pero… ¿Cuáles con estos métodos? ¿Cómo se aplican?

En el siguiente trabajo se presentara los distintos tipos de razonamiento que se aplican en la matemáticas, partiendo de una breve explicaciones de las múltiples dimensiones y enfoques con las que se conoce el razonamiento, para, al final, tratar de establecer cual de todos estos es el que se adecua mas al razonamiento matemático.

Sin embargo, el fin último de este trabajo es, a partir de lo que se desarrolle por lo expuesto, es exponer las principales diferencias entre el razonamiento, expresado en Descartes y expuesto por Heidegger, contra los dogmas de la religión, en el sentido de la comprensión de los hechos.

D E S A R R O L L O

CONCEPCIONES DEL RAZONAMIENTO

A través de la Historia, se han desarrollado múltiples teorías del razonamiento, las que merecen ser entendidas, brevemente, para poder adentrarnos a la cuestión de nuestro trabajo

• Concepción tradicionalista

Históricamente, el razonamiento se ha entendido como una facultad exclusiva de los seres humanos. El razonamiento era lo que delimitaba las diferencias entre ser humano o no serlo. Esta postura era la que mantenía Descartes y, hoy en día, la siguen manteniendo algunas personas. Sin embargo, esto se cuestiona con la teoría de la evolución y, a partir de aquí, algunos autores adoptan esta concepción.

• Concepción evolucionista

Para el evolucionismo, el razonamiento es “una actividad inferencial, más que compartismo con algunos animales de nuestra escala evolutiva”. La teoría de la evolución dice que no somos una especie al margen de las otras especies. A través de las investigaciones de la antropóloga británica Byrne, se observa que los chimpancés son capaces de llevar a cabo procesos de razonamiento, por medio de la inferencia, por lo que se cuestiona la concepción tradicionalista.

• Concepción cognitiva

Para esta concepción, el razonamiento es “aquella actividad que tiene un objetivo preciso pero que no suele usar procedimientos rutinarios” (Jonson-Laird). Los procesos deductivos no se realizan, generalmente, de forma automática. Es independiente del sustrato físico. Aunque animales y humanos realicen inferencias, es independiente del sustrato físico, ya que los ordenadores resuelven problemas de lógica, tanto inductivos como deductivos.

Sin embargo, estableciendo un consenso en lo expuesto por las múltiples visiones sobre lo que es el razonamiento, podemos trabajar sobre la base de que:

El razonamiento corresponde a una acción de pensar, ordenando ideas en la mente, para llegar a deducir una consecuencia o conclusión

TIPOS DE RAZONAMIENTO

A pesar de la disparidad de opiniones en torno a la definición del “razonamiento”, en lo que respecta a los tipos de razonamiento, hay un mayor acuerdo entre los teóricos. El razonamiento admite dos consideraciones: una psicológica, donde la estructura psíquica influye fuertemente sobre el desarrollo del proceso mental, y una lógica, o estudio formal del mismo, en donde se trata de comprender la estructura, el fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano.

La investigación demuestra que las personas no pueden resolver problemas si no logran la representación mental o interna de éstos. Para lo cual se necesita comprender el enunciado del problema y visualizar las relaciones entre los datos, el resultado esperado y los operadores que permiten pasar del estado inicial del problema al estado final, o sea la solución, mediante un proceso sistemático de razonamiento.

Tradicionalmente, el razonamiento se ha divido en:

• Razonamiento Analógico : Se obtiene un enunciado particular partiendo de otro también particular, en virtud

• Razonamiento Inductivo : El que concluye un juicio universal o general, partiendo de instancias particulares. Este razonamiento se utiliza ampliamente en el método de inducción para demostrar la veracidad de cualquier cálculo matemático.

• Razonamiento Deductivo : Partiendo de de una aserción universal o general, concluye una particular, identificado con el silogismo.

Antes de seguir desarrollando el tema, se hace necesario comprender el término de silogismo, ya que en esto se basa el razonamiento deductivo riguroso. El silogismo corresponde a una herramienta, que contiene de tres proposiciones (mayor, menor y conclusión), tal que la conclusión es deducida de la mayor por medio de la menor.

Tradicionalmente, el razonamiento deductivo, se ha considerado que va de lo general a lo particular y, el inductivo, en sentido inverso. Actualmente, esta definición es pobre. Hay otros conceptos que diferencian ambos tipos de razonamiento:

Se utiliza el concepto de validez para el razonamiento deductivo y, para el inductivo, el concepto de probabilidad.

Un razonamiento es deductivo si la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Cuando se deriva necesariamente de las premisas es válido y, si es válido, significa que, siendo las premisas verdaderas, las conclusiones también lo serán. El razonamiento deductivo es proposicional, de tipo silogístico, de relaciones... De este tipo de razonamiento, se pueden obtener razonamientos válidos e inválidos. Son validos si, cuando son las premisas verdaderas, las conclusiones también lo son. De lo contrario, los razonamientos serían inválidos. Un argumento es válido cuando es imposible que su conclusión sea falsa, siendo sus premisas verdaderas. Véase como ejemplo, el siguiente silogismo:

• Todos los artistas son banqueros.

• Todos los banqueros son cantantes.

• Conclusión: Todos los artistas son cantantes.

Lo que se dice en la conclusión, estaba en las premisas, por tanto, no se incrementa la información semántica. Esto es una característica de este razonamiento. La conclusión, ya implícitamente, estaba en las premisas. Con este tipo de razonamiento, no se crea conocimiento, mientras que en el inductivo sí. Un ejemplo de razonamiento inductivo sería el siguiente:

• La mayoría de los cisnes son blancos.

• Esto es un cisne.

Podríamos concluir que el cisne es blanco, pero, que la mayoría sean blancos, no quiere decir que lo sean todos. De este modo, también podríamos concluir que es negro, yendo más allá de las premisas. No hay certeza absoluta, hay, simplemente, probabilidad. En el razonamiento deductivo, la certeza es del 100%, pero no en el inductivo. En el razonamiento inductivo, se va más allá de las premisas.

Deducir es elaborar inferencias, y ello lo hacemos en la vida cotidiana. Dentro de esto, las inferencias deductivas son aquellas que pueden ser válidas e inválidas.

Ejemplo: Si llueve, entonces hace frío

Llueve

Luego hace frío.

Se entiende que hay validez cuando, a partir de premisas verdaderas, no se sigue una conclusión falsa. De premisas falsas, pueden derivarse conclusiones verdaderas, y, sin embargo, el argumento ser válido. No es válido exclusivamente si, a partir de premisas verdaderas, sacamos una conclusión falsa.

La teoría de modelos, la de Rips y la de Braine y O´Brien, están inspiradas en teorías de la lógica, pero son teorías psicológicas.

La verdad se da cuando lo que se describe en las premisas se corresponde con la realidad, aunque también podemos hablar de cosas imaginadas y de validez al mismo tiempo.

SOBRE LA LOGICA

Sin embargo, no debemos dejar de lado la lógica, como aquella dimensión que encierra toda la serie de procesos que permiten llegar a la veracidad. Dentro de esto ¿Cómo nos dice la lógica que un argumento es valido?

Hay muchos métodos para saber si un argumento es válido. Vamos a ver los dos principales:

• Las tablas de verdad: se usan los valores de verdad de las proposiciones.

• Las reglas de inferencia.

Las tablas de verdad consisten en ver el discurso y buscar las proposiones. Tienen una directa relacion con las premisas, de las cuales a paritr de dos o mas de estas, se puede llegar a una conclusión, siempre que se cumple cierto esquema. Dentro de la afirmación “si llueve, se moja la calle”, hay dos proposiciones: “llueve” y “se moja la calle”. Estas proposiciones, a su vez, pueden ser verdaderas o falsas.

Para simplificar los esquemas, vamos a llamar “P” a los antecedentes y a las consecuencias “Q”.

Se busca cuáles son las proposiciones y se unen, formando una proposición compuesta y, para ello, hacen falta partículas: conjunción, disyunción, condicional...

• Llueve y la calle se moja.

• Llueve o la calle de moja

P	Q	P o Q excl.	P o Q pero ambos	P ssi Q	Si P Q
V	V	F	V	V	V
V	F	V	V	F	F
F	V	V	V	F	V
F	F	F	F	V	V

P y Q (conjunción) Es verdadero cuando es verdad que llueve y la calle está mojada.

P	Q	P Y Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

P o Q Puede ser inclusivo o exclusivo.

Inclusivo: P o Q pero ambos

Exclusivo: P o Q pero no ambos

P	Q	PQ	(P)1 (PQ) Condicional	(P1 (PQ) Q)
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

P	Q	P Q	(PQ) Y P	(Pq) y (p) (Q)	Q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	F	V	F

El argumento es válido porque hemos obtenido una tabla en la que todas las condiciones son verdaderas.

P = llueve Q = hace frío R = bajan las temperaturas

Entonces

P Q Q R P R

P Q R P Q Q R PQ y QR

V V V V V V

V V F V F F

V F V F V F

V F F F V F

F V V V V V

F V F V F F

F F V V V V

F F F V V V

PR (PQ Y QR) (PR)

V V

F V

V V

F V

V V

V V

V V

V V

No hay nadie que defienda que las personas utilizan tablas de verdad al razonar. Hay una implausibilidad psicológica debido al incremento exponencial.

Cuando las personas razonan no tienen en cuenta las situaciones falsas y ello es lo que dice la teoría de modelos. Es más plausible. La teoría de modelos dice que si lo que es falso no lo tenemos en cuenta, lo único que tendríamos en cuenta son las variables que existen.

La teoría de modelos dice que representamos inicialmente lo que se menciona. Ej. Hay un lápiz o una goma. Lo negativo no se representa inicialmente. No representamos todo lo que dice la regla. Otro aspecto es que cuando uno representa un problema, se representa de forma explícita lo que se dice y de forma implícita lo que no. Hay una representación explícita que corresponde con el enunciado. También hay una representación implícita que tiene en cuenta la posibilidad de otras situaciones.

Las reglas de inferencia permiten, en una teoría deductiva, llegar a la verdad de una proposición a partir de una o varias proposiciones tomadas como hipótesis. Usualmente, utiliza un lenguaje de símbolos que permite relacionar los hechos con sus posibles consecuencias. Esta aplicación la entenderemos como lenguaje formal. De esta manera, y tomando el ejemplo anterior, tenemos:

Siendo:

P : Llover Q : Frío R : Baja de temperaturas

Lenguaje natural Lenguaje formal

Si llueve hace frío P Q

Si hace frío bajan las temperaturas Q R

Si llueve, bajan las temperaturas P R

A partir de esto, y utilizando inferencia se establece que:

• P Q

• Q R (ver si deriva en: PR)

• P Supongo P

• Q eliminación de la implicación 1 y 3

• R eliminación 2, 4

• P R

Para relacionar P y R hay que separarlas

Una vez establecidos estos conceptos básicos de razonamiento y lógica, podemos adentrarnos a la esencia del trabajo. Establecer un versus entre dogmatismo y racionalismo.

SOBRE EL DOGMATISMO

La palabra "dogma", de origen griego, significa "doctrina fijada". Para los primeros filósofos significó "opinión". El dogmatismo, opuesto al escepticismo, es una escuela filosófica que "considera a la razón humana capaz de conocer la verdad, siempre que se sujete a métodos y orden en la investigación, dando por supuestas la posibilidad y la realidad del contacto entre el sujeto y el objeto".

Dice que "los objetos de la percepción y los objetos del pensamiento nos son dados de la misma manera: directamente en su corporeidad", y sus seguidores "suponen la capacidad cognoscitiva del hombre y suponen que la realidad de hecho existe; su preocupación es la naturaleza".

Nacimiento del dogmatismo

El dogmatismo se da en los siglos VII y VI antes de Cristo: "El dogmatismo, al ser la actividad propia del hombre ingenuo, es la más antigua y primigenia posición tanto en el sentido psicológico como en el histórico. En el período originario de la filosofía griega domina de un modo casi general."

Las reflexiones epistemológicas no aparecen entre los presocráticos (los filósofos jonios de la naturaleza, los eléatas, los pitagóricos). Ellos son principalmente teóricos del mundo natural, lo que escriben entra en la designación genérica sobre la naturaleza. "Estos pensadores se hallan animados todavía por una confianza ingenua de la capacidad de la razón humana."

Para ellos el conocimiento no presenta ningún problema, están imbuidos en el ser y absorbidos por la naturaleza. Ella es la realidad que existe por debajo de todas las "cosas", y que, aunque es común a todas, se distingue de ellas. En cambio las "cosas" múltiples, más que realidades, son apariencias mudables, inestables y de duración limitada: "Esta naturaleza la entienden los presocráticos en un doble sentido: como `substratum' inmudable del ser, por debajo de todas las mutaciones y de las cosas, y, también, como fuerza que hace llegar las cosas a ser, como una fuente inagotable de seres."

Pitágoras

Pitágoras de movió en la dirección del dualismo órfico, de los cuales tomó la doctrina de la trasmigración de las almas. Por lo cual dice que el alma procede de otro mundo, se ha manchado con el pecado y ha de llevar ahora, encadenada al cuerpo, una vida de expiación, hasta que logre verse libre del cuerpo.

Dice que el número es el principio (arjé) de todas las cosas. Con ello se pone el principio de los seres, no en la materia, como hasta ahora, sino en la forma. El número es lo que da forma, lo que hace de lo indeterminado algo determinado.

Este descubrimiento del número ha sido muy productivo para el desarrollo de las modernas ciencias de la naturaleza, que viven cada vez más del número. Por lo tanto, siguiendo con la concepción pitagórica, las relaciones de los cuerpos del universo se expresan a través de números y se manifiestan ordenadas y proporcionadas. Él pone el fundamento del número en la forma y en su naturaleza.

Pitágoras, además, plantea la teoría de la eterna marcha circular de todas las cosas, que tuvo su expresión culminante en la idea del cosmos. En el gran año cósmico se nos revela esa idea de armonía. Así, el proceso cósmico no es una marcha rectilínea, sino que se desarrolla en grandes ciclos: estrellas y sistemas cósmicos vuelven siempre a su sitio y el reloj del mundo torna a recorrer el mismo camino de eternidad en eternidad. Decía: "yo me volveré a encontrar ante vosotros con mi cayado".

SOBRE EL RACIONALISMO

En un sentido muy general, el racionalismo considera que la razón puede obtener conocimientos verdaderos. Su padre, Rene Descartes, tenía el intento originario de hallar la verdad evidente a partir de la cual, y por un método riguroso, fuera alcanzar la las verdades últimas, propias de la metafísica. Primero, comienza dudando de todo (una duda metódica) y se encuentra con una verdad que nace de la misma duda: el yo que duda existo (cogito ergo sum, pienso, luego existo).

La característica del método de Descartes se establece dentro de las siguientes cuatro reglas:

• La evidencia es el criterio de verdad La evidencia implica razonamiento, y la verdad se devela a través de una serie de procesos cognitivos

• Los caracteres esenciales de la verdad son la “claridad y la distinción” La verdad necesariamente debe ser descubierta por un proceso de razonamiento, por lo que requiere de un método claro que permita no desviarse del camino hacia esta y una distinción para ver si lo que se busca es lo indicado, respecto al objetivo planteado.

• Las ideas que se ajusten a estos caracteres se denominan “naturae simplices” Por lo mencionado en el punto anterior, alcanzando esta característica se alcanza la verdad.

• Su conocimiento es intuitivo, no se adquiere por medio de ideas innatas Como el hombre es, por esencia un animal curioso, en el sentido de investigar y descubrir las cosas, el conocimiento nace por una inquietud para comprender un fenómeno, no de un estado innato preestablecido.

Definidas las características del modelo de Descartes, podemos comenzar a operar con el. Ante la duda por un hecho, esta comienza a conducirnos a la duda de yo pensante y de ahí a su existencia. Este planteamiento es la base del argumento ontológico que es la prueba clásica de la existencia de Dios, consistente en, tras se considerado perfecto, razonar que si faltase la existencia ya no sería Dios. Del yo se trasciende a la realidad, inclusive la de Dios, razón última de nuestras propias verdades, de la correspondencia entre lo intuido y su existencia real. Descartes establece una distinción entre pensamiento y materia, entre res cognitans y la res extensa. A partir de esto, se da forma al dualismo cartesiano. Para Descartes, la sustancia es “Una cosa que existe de manera que no tiene necesidad sino de sí para existir”. Solo Dios es sustancia y los cuerpos y espíritus (entes) se transforman en sustancias relativas, ya que requiere establecer su necesidad de sí para existir. Dios es sustancia porque corresponde a la premisa y origen de todo.

Este problema de comunicación entre las sustancias nos conduce a la psicología y a la física. Por un lado, la psicología debe fundarse en el principio de la claridad y distinción, para que de esta manera, la voluntad, con su carácter infinito, valore y decida libremente sobre lo que el entendimiento (finito) le presenta elegir, afirmar o negar un juicio. En esta dimensión, Descartes cree hallar el punto de unión entre el pensamiento y la materia. Por otro lado, la física cartesiana considera la extensión como único atributo de la materia. Al ser la materia extensa, implica que posee longitud abstracta, por lo que se relaciona con la forma, para tratar explicación a sus múltiples dimensiones. En consecuencia, se dice que su consideración es geométrica. A su vez, como la materia sujeta a una dimensión geométrica y la extensión como su único atributo, la física debe excluir la cualidad y la acción de la fuerza ya que es sustancia relativa y no fija, que debe resolver primero la necesidad de su existencia.

Este paso tan importante nos permite decir que el seguir la naturaleza y el seguir las normas de la razón permite acercarnos a la esencia de todo, a la Physis. Como la física elimina de la materia lo cualitativo y la acción de la fuerza, protege la esencia de la sustancia relativa de los agentes externos que puedan cambiar su ciclo. A su vez, este ciclo requiere de un procedimiento, de un razonamiento para poder ser comprendido y ligarlo al punto de convergencia entre el pensamiento y la materia, pero en el sentido del discurso explicativo de la cuestión, sino en cuando se deja de ser materia para pasar a ser pensamiento. Para Descartes, esto se puede realizar solo con las matemáticas, ya que la naturaleza, al presentar un carácter cíclico (dynamis) y metódico y constante, a pesar de la gran variedad de entes que se puede encontrar, el razonamiento permite aproximarse a esta dimensión, por medio de su acción pensante y de ordenamiento de ideas. La matemática es esencialmente esto, ORDENAMIENTO DE IDEAS, no solo dentro de esta, sino en el sentido epistemológico del tema.

Por último, para Descartes, al ser las matemáticas una rama del conocimiento que no se basa en la subjetividad de su discurso, como en la filosofía, permite que el sentido a lo que se alude no se desvíe de lo que se trate de aludir. Para Goycochea, “las matemáticas son directas, concisas y no recaen en la subjetividad, que de vez en cuando se vuelve tediosa e innecesaria para lo que se quiere plantear”.

B I B L I O G R A F I A

• Descartes, Rene Discourse de la Méthode, pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences (versión bilingüe), Editorial Centro Grafico

• Salvat Editores S.A., Diccionario Enciclopédico Salvat, Impresión Grafica Estrella S.A., 1997, España

• Fraticola, Paola, La ilustración: el racionalismo cartesiano, Editorial

• Russel, Ana, Razonamiento, Impresiones Universidad de la Laguna, 1997, España

• Heidegger, Martin, La época de la imagen del mundo.

Descartes, Rene, Discourse de la Méthode, pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences (1637)

Implicación:

“si p, entonces q”.

Sólo es falso cuando se dé p y no se de q.