El razonamiento lógico.

La lógica estudia las condiciones para que un razonamiento sea valido.

Pero en el caso de la matemática y la lógica, el lenguaje artificial requerido ha de ser formal o simbólico. Esto quiere decir que constara de:

Definimos la lógica como la ciencia que estudia los principios de la inferencia formalmente valida.

Inferencia: estudia los principios para que un razonamiento sea valido.

Inferencia o razonamiento: consiste en pasar de unas afirmaciones tomadas como punto de partida (premisas) a otras que se siguen de estas (conclusión).

La lógica se ocupa de la validez de los racionamientos y no de la verdad de los enunciados que los constituyen (le verdad es cuestión de las ciencias o del sentido común). Lo que interesa a la lógica es el estudio de las relaciones formales entre los enunciados.

Un argumento, racionamiento, inferencia es formalmente valida cuando de la verdad de las premisas se sigue necesariamente la verdad de la conclusión o lo que es lo mismo un razonamiento es valido cuando es imposible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa.

Ejemplo de razonamiento formalmente valido.

Siete es un número entero.

Siete es divisible por uno.

En este caso el razonamiento es valido pero los enunciados que lo integran son falsos, por tanto comprobamos que la capacidad lógica no tiene nada que ver con la verdad material de los enunciados.

Lo básico y lo fundamental en todo razonamiento es la necesidad que se establece entre las premisas y la conclusión, de modo que la verdad de las primeras lleva inevitablemente a la verdad de la conclusión.

Ejemplo de razonamiento invalido.

Si estudio lo suficiente entonces estoy satisfecho conmigo mismo. Es así que estoy satisfecho conmigo mismo. Conclusión: estudio lo suficiente.

Este razonamiento es inválido porque puedes estar satisfecho por otras cosas como que el Valencia ha ganado la Liga.

El calculo proposicional o calculo de enunciados estudia las relaciones que se dan entre los enunciados sin analizar su estructura interna, es decir, tomados como un todo, como una unidad lingüística, tomadas en bloque, es decir, prescindiendo de los elementos que lo integran. Por ejemplo la proposición “Todos los hombres son mortales”, que esta compuesta de varios elementos, en el calculo proposicional se simboliza simplemente con la letra p.

El cálculo de proposiciones consiste en un sistema formal en el que podemos expresar enunciados y realizar transformaciones entre las proposiciones. En un sistema formal hay unos símbolos dados para formar las palabras del lenguaje que, en nuestro caso, llamaremos “formulas bien formuladas”

Conectores:

Las reglas según las cuales podemos construir las formulas bien formuladas son:

En algunas ocasiones, tener que haces uso de paréntesis para expresar correctamente el enunciado. Esto es debido a que los símbolos lógicos tienen diferente “dominancia”. De mayor a menor se ordenan:

Cuando aparezcan conectivos de igual fuerza, es necesario utilizar paréntesis para indicar que conectivo caracteriza la formula. En el caso de los conectivos de diferente fuerza, no es necesario paréntesis cuando el carácter lo dé el de mayor fuerza. El de mayor dominancia siempre fuera del paréntesis.

Con las tablas de verdad podemos conocer siempre el valor de verdad o falsedad de una formula compuesta. Este tipo de formulas, cuya verdad o falsedad depende del valor de verdad de sus componentes simples, se denominado formulas contingentes. Sin embargo, hay formulas compuestas cuyo valor de verdad es independiente de los valores de verdad de su componentes simples, es decir, depende solo de la forma.

Cuando el valor que toman es siempre V, se llaman formulas validas o tautológicas. Cuando el valor que toman es F, se llaman formulas contradictorias.

En las tablas de verdad siempre se empieza por la parte izquierda del conector principal y después la derecha.

Las tablas de verdad son útiles como método de decisión, pero se hacen inviables cuando las variables de un argumento son muchas. Por eso es mas fácil utilizar reglas de inferencia por medio de las cuales poder pasar desde una o varias premisas hasta la conclusión. La finalidad es demostrar que la conclusión se sigue de las premisas. A todo este proceso se le denomina deducción.

Para exponer los argumentos, habitualmente expresamos primero las premisas y después la conclusión, ligada a ellas mediante partículas como “luego”, “por lo tanto”, etc. La partícula luego representa una relación lógica existente entre las premisas y la conclusión, se simboliza por ( ), que se denomina seductor.

Cuando no lo den separado, las premisas se unen con un conjuntor y la conclusión con un implicador.

Una deducción formal es una secuencia finita de formulas tales que cada una de ellas puede ser una de las siguientes: