Pseudocódigo del método de Bisección

1.- Dada la función escójanse dos valores iniciales para xi y xs de tal manera que sustituyéndolos en la f(x) se encuentre un cambio de signo para determinar entre que intervalos se encuentra la raíz, si esto se cumple ahí que multiplicar f(xi)*f(xs) y el resultado debe ser menor a cero.

2.- La primera aproximación se encuentra de la siguiente manera:

xr =xi + xs

2

3.- Ahora ahí que determinar en que sub-intervalo esta la raíz para eso se hace lo siguiente

a) si f(xi)*f(xs)<0

entonces la raíz esta en el primer sub-intervalo y xs = xr

b) si f(xi)*f(xs)>0

entonces la raíz se encuentra en el segundo sub-intervalo y xi=xr

c) si f(xi)*f(xs)=0 ó f(xs)*f(xr)=0

entonces xr es la raíz

4.- Después se calcula el error aproximado ( ea%=100(xr(valor actual)-xr(valor anterior)))

xr(valor actual)

Se vuelve a calcular la siguiente aproximación

(regresar al paso 2 y seguir hasta aquí nuevamente)

y se deja de realizar hasta que el ea% sea igual a 0.01, o se encuentre la raíz.

INTRODUCCIÓN(Falsa Posición).

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: 

Teorema del Valor Intermedio

Sea
continua en un intervalo
y supongamos que
. Entonces para cada
tal que
, existe un
tal que
. La misma conclusión se obtiene para el caso que
. 

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si
y
tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente
, y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir
tal que
, es decir, debe haber por lo menos una raíz de
en el intervalo
.

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea
continua,

En este caso, tenemos que
y
tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo
.

En este caso, tenemos que
y
tienen el mismo signo, y de aquí que
y
tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo
.

En este caso se tiene que
y por lo tanto ya localizamos la raíz. 

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejemplo 1
Aproximar la raíz de
hasta que
. 

Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de
se localiza en el intervalo
. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que
y
tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función
sí es continua en el intervalo
. Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos: 

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos


iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla: 




Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo
.

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo
.

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos
, y hacemos la tabla: 




Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo
.

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: 

Aprox. a la raíz	Error aprox.
1.25
1.375	9.09%
1.3125	4.76%
1.28125	2.43%
1.296875	1.20%
1.3046875	0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Option Explicit

Dim sig As String

Dim b As String

Dim a As Double

Dim aux As Double

Dim xi As Double

Dim xs As Double

Dim xr As Double

Dim fxi As Double

Dim fxs As Double

Dim fxr As Double

Dim ff As Double

Dim ea As Double

Dim correcto As Integer

Private Sub cmdcalcular_Click()

fxi = (Exp(-xi)) - xi

fxs = (Exp(-xs)) - xs

xr = (xi + xs) / 2

fxr = (Exp(-xr)) - xr

ff = fxi * fxr

Label2.Caption = Label2.Caption & vbCrLf & Format(xi, "0.#####")

Label4.Caption = Label4.Caption & vbCrLf & Format(xs, "0.#####")

If (ff > 0) Then

sig = "+"

xi = xr

ElseIf (ff < 0) Then

sig = "-"

xs = xr

End If

If (correcto > 0) Then

ea = Abs(((xr - a) / xr) * 100)

End If

Label1.Caption = Label1.Caption & vbCrLf & correcto

Label3.Caption = Label3.Caption & vbCrLf & Format(fxi, "0.#####")

Label5.Caption = Label5.Caption & vbCrLf & Format(fxs, "0.#####")

Label6.Caption = Label6.Caption & vbCrLf & Format(xr, "0.#####")

Label7.Caption = Label7.Caption & vbCrLf & Format(fxr, "0.#####")

Label8.Caption = Label8.Caption & vbCrLf & sig

Label9.Caption = Label9.Caption & vbCrLf & Format(ea, "0.####")

a = xr

If (ea < 0.01) And (correcto > 0) Then

frmbiseccion.Visible = False

cmdcalcular.Enabled = False

frmprincipal.Visible = False

MsgBox "Raiz Encontrada en Xr=" & xr, vbExclamation, "JORGE ARAIZA 8/OCT/2001 "

frmbiseccion.Visible = True

End If

correcto = correcto + 1

End Sub

Private Sub cmdsalir_Click()

Unload Me

frmprincipal.Visible = True

End Sub

Private Sub Command1_Click()

Label1.Caption = " I"

Label2.Caption = " xi"

Label3.Caption = " f(xi)"

Label4.Caption = " xs"

Label5.Caption = " f(xs)"

Label6.Caption = " xr"

Label7.Caption = " f(xr)"

Label8.Caption = " f(xi) f(xr)"

Label9.Caption = " Ea %"

correcto = 0

cmdcalcular.Enabled = True

xi = 0

xs = 1

End Sub

Private Sub Form_Load()

xi = 0

xs = 1

ea = 0

correcto = 0

frmprincipal.Visible = False

End Sub






ALGORITMO DE FALSA POSICIÓN.

1.- Proponer 2 valores para Xi y Xs respectivamente, tales que fxi*fxs sea menor a cero.

2.- Definir el error permitido e=0.01% .

3.- Con los valores de fxi y fxs ahí que calcular el valor de Xr.

Xr = Xs - F(Xs)*(Xi-Xs)

F(Xi)-F(Xs)

4.- Calcular el valor de F(Xr).

5.- Calcular el [ea]%, si el ea es menor a e entonces el valor de Xr es donde se encuentra la raíz y ahí termina sino paso 6

([ea]=(Xractual-Xranterior) *100).

Xractual

6.- si F(Xi)*F(Xr) es mayor a 0

a). Entonces Xi=Xr.

b) si F(Xi)*F(Xr) es menor a 0 entonces Xs = Xr.

Regresar al paso 3 hasta que ea<0.01.

DIAGRAMA DE FLUJO.

INTRODUCCIÓN(Falsa Posición).

Método de la falsa posición

El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la ecuación del método de la secante). La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. En la figura(1) se representa geométricamente este método.
 
 

   


Figura(1): Representación geométrica del método de la falsa posición.

[scale=0.9]eps/falpos

  

La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método. Por otra parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).
 
 

   


Figura(2): Modificación del método de la falsa posición propuesta por Hamming. La aproximación a la raíz se toma a partir del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo (figura a) o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo (figura b).

[scale=0.9]eps/hamming

  

Sin embargo, el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse (ver figura (1)). Para obviar este problema, se ha propuesto una modificación del método, denominada método de Hamming. Según este método, la aproximación a una raíz se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0,f(x0)/2) y (x1,f(x1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a partir de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1, f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo. En la figura (2) se representa gráficamente el método de Hamming.

Como hemos comentado, el método de Hamming requiere determinar la concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración. Un método relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en evaluar la función en el punto medio del intervalo, f(xm) (en donde xm se calcula como en el método de la bisección) y comparar este valor con la media de los valores de la función en los extremos del intervalo, 
. Tenemos entonces que:







CODIGO DEL PROGRAMA DE FALSA POSICION.

Dim sig As String

Dim xi As Double

Dim xs As Double

Dim fxi As Double

Dim fxs As Double

Dim xr As Double

Dim fxr As Double

Dim ea As Double

Dim i As Double

Dim ff As Double

Dim a As Double

Private Sub cmdcalcular_Click()

fxi = Exp(-xi) - xi

fxs = Exp(-xs) - xs

xr = xs - ((fxs * (xi - xs)) / (fxi - fxs))

fxr = Exp(-xr) - xr

ff = fxi * fxr

Label5.Caption = Label5.Caption & Format(xs, "00.######") & vbCrLf

Label3.Caption = Label3.Caption & Format(xi, "00.######") & vbCrLf

If (ff > 0) Then

xi = xr

sig = "+"

End If

If (ff < 0) Then

xs = xr

sig = "-"

End If

If (i = 0) Then

a = xr

End If

If (i > 0) Then

ea = Abs(((a - xr) / xr) * 100)

a = xr

End If

If (ea < 0.01) And (i > 0) Then

frmprincipal.Visible = False

frmfalsa.Visible = False

MsgBox "Raiz Encontrada en Xr= " & xr, vbCritical, "JORGE ARAIZA"

frmfalsa.Visible = True

cmdcalcular.Enabled = False

End If

i = i + 1

Label2.Caption = Label2.Caption & i & vbCrLf

Label4.Caption = Label4.Caption & Format(fxi, "00.######") & vbCrLf

Label6.Caption = Label6.Caption & Format(fxs, "00.######") & vbCrLf

Label7.Caption = Label7.Caption & Format(xr, "00.######") & vbCrLf

Label8.Caption = Label8.Caption & Format(fxr, "00.######") & vbCrLf

Label9.Caption = Label9.Caption & sig & vbCrLf

Label10.Caption = Label10.Caption & Format(ea, "00.######") & vbCrLf

End Sub

Private Sub CMDLIMPIAR_Click()

Label2.Caption = ""

Label3.Caption = ""

Label4.Caption = ""

Label5.Caption = ""

Label6.Caption = ""

Label7.Caption = ""

Label8.Caption = ""

Label9.Caption = ""

Label10.Caption = ""

xi = 0

xs = 1

ea = 0

i = 0

cmdcalcular.Enabled = True

End Sub

Private Sub cmdsalir_Click()

Unload Me

frmprincipal.Visible = True

End Sub

Private Sub Form_Load()

i = 0

ea = 0

Label2.Caption = ""

Label3.Caption = ""

Label4.Caption = ""

Label5.Caption = ""

Label6.Caption = ""

Label7.Caption = ""

Label8.Caption = ""

Label9.Caption = ""

Label10.Caption = ""

xi = 0

xs = 1

End Sub






PSEUDOCODIGO DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON.

1.- Dada la función f(x), ahí que calcula un valor para Xi (X inicial) .

2.- Definir el margen de error (e=0.01).

3.- Derivar la función dada y utilizar la siguiente formula.

Xi+1=Xi - f(Xi)

f1(Xi)

3.- Ahora se conoce el valor de Xi+1.

4.- Se calcula el error aproximado( ea%=100(xi+1(valor actual)-xi+1(valor anterior)))

xi+1(valor actual)

si este es menor al error definido, Xi es el valor de la raíz, y ahí termina la búsqueda.

5.- El valor de Xi = Xi+1.

INTRODUCCIÓN.

Método de Newton-Raphson.
Está basado en el uso de una línea tangente como aproximación de f(x), cerca de los puntos donde el valor de la función es cero.


1.- Escoger un número inicial (x0)
2.- Calcular la siguiente aproximación de x1 utilizando la fórmula:





3.- Si | xn-xn+1 | < ð entonces xn+1 es una raíz

De otra forma pasar al punto 2




Codigo del programa de newton raphson.

Dim xi As Double

Dim fxi As Double

Dim a As Double

Dim iteracion As Double

Dim ea As Double

Private Sub cmdcalcular_Click()

fxi = xi - (((Exp(-xi)) - xi) / ((-Exp(-xi) - 1)))

lbli.Caption = lbli.Caption & iteracion & vbCrLf

lblxi.Caption = lblxi.Caption & Format(fxi, "0.########") & vbCrLf

If (iteracion > 1) Then

ea = Abs(((fxi - a) / fxi) * 100)

End If

lbleaa.Caption = lbleaa.Caption & Format(ea, "0.########") & vbCrLf

xi = fxi

a = fxi

If (ea < 0.01) And (iteracion > 1) Then

frmNewton.Visible = False

cmdcalcular.Enabled = False

frmprincipal.Visible = False

MsgBox "Xr= " & fxi, vbCritical, "Raiz Encontrada"

frmNewton.Visible = True

End If

iteracion = iteracion + 1

End Sub

Private Sub CMDLIMPIAR_Click()

a = 0

iteracion = 1

xi = 0

lbli.Caption = ""

lblxi.Caption = ""

lbleaa.Caption = ""

cmdcalcular.Enabled = True

ea = 0

End Sub

Private Sub cmdsalir_Click()

Unload Me

frmprincipal.Visible = True

End Sub

Private Sub Form_Load()

a = 0

iteracion = 1

xi = 0

End Sub




INTRODUCCION.

Método de la Secante

Es similar al método de Newton, pero la derivada se reemplaza por una diferencia dividida. El método requiere de dos puntos para empezar a iterar. Las iteraciones en este caso son




Se puede demostrar que el orden de convergencia para este método es aproximadamente 1.6

Pseudocodigo de la Secante.

1.- Requiere dos valores para xi-1 y xi.

2.- Al darle estos valores se utiliza la sig. formula:

xi+1=xi-f (xi) (xi-1-xi)

f (xi-1)-f (xi)

3.- Se calcula el error aproximado y si este es menor a 0.01 entonces ahi finaliza el programa, sino se repite hasta que se cumpla lo anterior.

4.- Si el error fue mayor a 0.01, entonces xi-1=xi; xi=xi+1, y se debe volver al paso 2

DIAGRAMA DE FLUJO DEL METODO DE LA SECANTE.