Propiedades matemáticas.

Cualidades de los objetos matemáticos, estudiadas por las distintas ramas de las matemáticas. Las propiedades matemáticas se pueden clasificar en distintos grupos de acuerdo con diversos criterios. Según los objetos que puedan cumplirlas se pueden distinguir, entre las más básicas y generales, las propiedades de las relaciones binarias sobre los conjuntos, las propiedades de las operaciones, las de las funciones o aplicaciones y las propiedades de los conjuntos.

Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a. Piensa que conmutar es cambiar, o sea que si cambiamos el orden de los sumandos, no se cambia el resultado. 7+5=5+7 Esta definición es de la segunda página: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c Piensa que asociar es unir, o sea, que si en una suma de tres, unimos los número por un lado dos y por otro uno, da igual que unamos 1º y 2º y le sumamos el 3º que si unimos 2º y 3º y le sumamos el 1º. (7+5)+4=7+(5+4) 12+4=7+9 Esta definición es de la segunda página: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3 Piensa que distributiva viene de distribuir, con lo cual es como repartir. 4*9=24+12, que sería el resultado de hacer los paréntesis en la primera parte y de hacer las multiplicaciones y sumarlas en la segunda. Esta definición es de la segunda página: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

Propiedad Conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de multiplicandos (el orden de los factores no altera el producto).
Ejemplo: a x b = b x a

Propiedad Asociativa: No importa cómo agrupes los elementos de un conjunto cuando sumas o multiplicas, el resultado siempre será el mismo.
Ejemplo: (a x b x c + d + e) = (b + c x d x e + a)

Propiedad Distributiva: La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número.
Ejemplo: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Propiedad del Elemento Neutro: El producto de cualquier número multiplicado por 1 es ese mismo número.
Ejemplo: a x 1 = a b x 1 = b c x 1 = c

NOTA: El neutro depende de la operación y el conjunto:
El neutro de la suma es el 0, y es el absorbente de la multiplicación.
El neutro de la multiplicación es el 1, pero no es nada en relación de la suma.
Conjunto vacío absorbente de la intersección y es neutro para la unión.
Y así con todas las operaciones que se te ocurran

Programación matemática: clasificación.

Los programas de programación matemática se pueden clasificar desde distintos

criterios:

I) Por el tipo de funciones que intervienen:

a) Problemas lineales: la función objetivo y todas las funciones restricción son

lineales.

b) Problemas no lineales: alguna o todas las funciones del problema son no lineales.

Como caso particular cabe destacar el de la programación cuadrática que tiene la

función objetivo cuadrática y las funciones restricción lineales, ya que son

numerosas sus aplicaciones económicas y econométricas.

II) Por las restricciones funcionales:

a) Sin restricciones.

b) Con restricciones.

Con todas las restricciones de igualdad.

Con restricciones mixtas (de igualdad y desigualdad).

III) Por la convexidad:

a) Problemas convexos: si cumplen las condiciones de convexidad (f cóncava

y X convexo para problemas de maximización, o bien f convexa y X

convexo para problemas de minimización).

b) Problemas no convexos: si no verifican alguna de las anteriores

condiciones.

IV) Por la diferenciabilidad:

a) Problemas diferenciables: si todas las funciones que lo componen son

diferenciables.

b) Problemas no diferenciables: si alguna o todas sus funciones son no

diferenciables.

V) Por la naturaleza de la variable:

a) Programación continua: la variable x ∈ Rn.

b) Programación discreta: la variable toma valores discretos; pueden ser, por

ejemplo, valores enteros.

Los problemas que en temas sucesivos abordaremos son los siguientes:

Programación Clásica.

Sin restricciones: problema no lineal, sin restricciones, diferenciable, con x ∈ Rn.

Con Restricciones: problema no lineal, con restricciones de igualdad, diferenciable,

x∈Rn.

Programación No Lineal.

Problema no lineal, con restricciones mixtas, convexo o no, diferenciable o no y x ∈

Rn.

Programación Lineal.

Problema lineal, con restricciones mixtas, convexo, diferenciable y x ∈ Rn..

Los programas de programación matemática se pueden clasificar desde distintos

criterios:

I) Por el tipo de funciones que intervienen:

a) Problemas lineales: la función objetivo y todas las funciones restricción son

lineales.

b) Problemas no lineales: alguna o todas las funciones del problema son no lineales.

Como caso particular cabe destacar el de la programación cuadrática que tiene la

función objetivo cuadrática y las funciones restricción lineales, ya que son

numerosas sus aplicaciones económicas y econométricas.

II. Por las restricciones funcionales:

a) Sin restricciones.

b) Con restricciones.

Con todas las restricciones de igualdad.

Con restricciones mixtas (de igualdad y desigualdad).

III) Por la convexidad:

c) Problemas convexos: si cumplen las condiciones de convexidad (f cóncava

y X convexo para problemas de maximización, o bien f convexa y X

convexo para problemas de minimización).

d) Problemas no convexos: si no verifican alguna de las anteriores

condiciones.

IV) Por la diferenciabilidad:

c) Problemas diferenciables: si todas las funciones que lo componen son

diferenciables.

d) Problemas no diferenciables: si alguna o todas sus funciones son no

diferenciables.

V) Por la naturaleza de la variable:

c) Programación continua: la variable x ∈ Rn.

d) Programación discreta: la variable toma valores discretos; pueden ser, por

ejemplo, valores enteros.

Las matemáticas o la matemática es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones de los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales. Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspira y hace uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conduce al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo. Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología. El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.