PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES

Karl Friederich Gauss és considerat com el príncep de les Matemàtiques. D'ell expliquen la següent història :

“ ...Un dia el professor de la classe on estudiava Gauss els va castigar. Els va dir que al final de l'hora es quedarien fins que haguessin fet la següent suma:

1+2+3+4+5+..................+96+97+98+99+100

Al cap d'uns moments, i quan tots els seus companys estaven sumant desesperadament, Gauss, de sis o set anys d'edat, es va aixecar, va anar cap el professor i li va dir que l'esmentada suma donava 5.050.

El professor, que ja coneixia el resultat, va quedar meravellat i li va preguntar com ho havia fet. El jove Gauss li va contestar i en aquell instant va descobrir aquesta teoria de les progressions....”

Intentarem desenvolupar aquest teoria i entendre el raonament del gran matemàtic.

DEFINICIÓ

“ Una progressió aritmètica és una successió de números de tal manera que un s'obté de l'altre sumant una mateixa quantitat anomenada diferència de la progressió”

Exemple 1: Escriure una p.a. on el primer terme sigui 5 i la diferència sigui d =3

5, 8, 11, 14, 17, ..... (fàcil....)

Exemple 2: Escriure una p.a. on el primer terme és i la diferència és

(No tan fácil....)

Exercicis:

1.- Escriu els 7 primers termes d'una p.a. sabent que

i) el primer és -3 i d=5

ii) el primer és i d = -2

iii) el quart és 15 i d = 2

iv) el tercer és 9 i el quart és 6

v) el quart és 12 i el sisé 18

2.- De les següents successions de números, indica quines són p.a., i calcula la diferència:

7, 15, 23, 31, ....

-9, -5, -1, ....

12, 8, 4, 0, ....

1, 3, 6, 10, 15,....

Explica com es pot obtenir la diferència d'una p.a. (fonamental)

QÜESTIÓ DE SIMBOLOGIA

Fixem-nos que fins ara hem hagut de parlar de: Primer, quart ....o sisè terme. Si volem fer matemàtiques de forma correcte hauríem d'inventar-nos una simbologia. Anem a veure-ho.

Al valor del primer terme d'una p.a. li direm una lletra amb el “subíndex 1”

Al valor del segon terme .........................................................”subíndex 2”

I així successivament

Exemple 3:

En la progressió -1, 5, 11, 17, 23, 29,... el val 23

el val 5

la diferència d val 6

Exercici 3

Escriure els 5 primers termes d'una progressió sabent que

De la progressió anterior que val ?

Escriu els cinc primers termes d'una progressió aritmètica on

FÓRMULA DEL TERME GENERAL.

Fixem-nos que l'únic que hem fet és fer correspondre el subíndex amb l'ordre del terme.

En lloc de parlar del podríem parlar del quan

En lloc de parlar del podríem parlar del quan

Exemple 4:

Escriu els termes de la successió i veure si és una p.a.. En aquest cas calcular la diferència.

Si

Si

Si

Si

I així successivament. Per tant la successió és -3, -1, 1, 3,.... i efectivament és una p.a. de diferència 2.

Exercici 4:

Escriu uns quants termes de les següents successions i esbrina si és p.a.. En aquest cas calcula la diferència:

i)

ii)

iii)

A una fórmula com les anteriors se'n diu fórmula del Terme general.

El problema que ens proposem resoldre és el següent.

Suposem la p.a. : 3, 7, 11, 15, 19 ...

Evidentment

Quina és la fórmula del terme general ?

Dit de una altra manera; hem d'obtenir una fórmula que al anar substituint la per 1, 2, 3, 4 anem obtenint

DEDUCCIÓ

Intentem entendre línia a línia el següent raonament

Si hem entès aquests raonaments ja estem capacitats per entendre la fórmula general

Si l'apliquem al nostre cas ens queda

Resumint

Comprovem-ho

Efectivament. El resultat és el que buscàvem.

Ara cal memoritzar la fórmula

PROBLEMES SOBRE LA FÓRMULA DEL TERME GENERAL

Exemple 5

Calcular la diferència d'una p.a. on el vuitè terme és 12 i el primer és - 4.

(Fixem-nos que en la fórmula del terme general hi ha quatre incògnites: )

A l'enunciat del nostre problema hem de localitzar tres incògnites i calcular la quarta que és la incògnita.

Quan diu que el vuitè terme és 12 vol dir que per altra banda diu que .

De la fórmula

Exemple 6

Els termes d'una p.a. són 15, 13, 11, ...........-3 . Quants termes hi ha en la p.a?

Evidentment no ho hem de calcular seguint la progressió i comptant. Ho hem de fer a través de la fórmula.

Localitzem les dades i la incògnita

Aplicant la fórmula

Exercici 5

Calcular el dotzè terme (sense continuar la progressió) de

Quin és el primer terme d'una p.a. on la diferència é - 4 i el desè terme és 1?

Quants termes de la progressió hem d'agafar per arribar a 715.?

SUMA DELS TERMES D'UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA

Anem a veure, ara que ja estem en condicions, el mecanisme que va utilitzar Gauss per fer de forma immediata l'operació que li van proposar. Deduirem una fórmula general.

DEDUCCIÓ

Imaginem 8 termes d'una p.a. de primer terme

5 8 11 14 17 20 23 26

sumen 31

----------

sumen 31

---------------------------

sumen 31

----------------------------------------------

sumen 31

-----------------------------------------------------------------

Fixem-nos que la suma del primer terme i l'últim que la suma del segon i el penúltim que la suma del tercer i l'avantpenúltim i que la suma del quart i del quart per la cua .

Per tant si els volguéssim sumar tots podríem

¡¡¡¡ MULTIPLICAR ¡¡¡¡¡

Es a dir, hem sumat el primer més l'últim i ho hem multiplicat per la meitat de termes. Si anomenem a la suma dels n primers termes d'una p.a

Això ens porta a la segona fórmula fonamental

Apliquem aquesta fórmula a l'exemple de Gauss. No oblidem la operació que havia de fer

¡¡Eureka¡¡

Exemple 7

Calcular la suma dels següents termes -3 + 2+ 7+ ...............+ 52 + 57

Es una p.a. on . Per poder aplicar la fórmula de la suma ens falta saber el número de termes. Per aconseguir-ho farem servir la fórmula del terme general

Per tant hi ha 13 termes. Ara apliquem la fórmula de la suma

Exercici 6

Sumar els 20 primers múltiples de 3

Sumar els 15 primers termes de la p.a. -8, -11, -14,....

Sumar -7+(-5)+(-3)+................+53

El quinzè terme d'una p.a. de diferència 4 val 43. Calcular el primer terme i la suma de tots

El primer i l'últim terme d'una progressió són -3 i50 respectivament. Si entre tots sumen 235 calcular el número de termes i la diferència. Escriu la progressió.

INTERPOLACIÓ

Exemple 8

Imaginem-nos que tenim dos números; per exemple: 3 i 23, i ens demanen que entre aquests dos números hi situem 4 números i que entre tots formin una progressió aritmètica.

A una situació com la anterior se li diu: Interpolar entre 3 i 23 quatre números aritmètics.

Per solucionar-ho podem interpretar els següent:

3, .................................., 23 és una progressió aritmètica on

La n=6 ja que comptem els quatre termes que hem d'interpolar juntament amb els dos dels extrems.

Ara, per tant, hem d'aplicar la fórmula del terme general:

Si la diferència és 4, la progressió és : 3, 7, 11, 15, 19, 23.

Compte per que la diferència pot ser fraccionaria o negativa.

Exercici 7

Interpola 5 números aritmètics entre -4 i -21