República Bolivariana De Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para La Educación

Liceo Bolivariano “Juan Lovera”

Macarao-Caracas

Cátedra De Matemática

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas

Una progresión aritméticaes una clase de sucesiónde números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término generalde la progresión a_n, que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a₁.

a_n= a₁+ (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

Progresiones geométricas

Es otra forma común de progresiones,y se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

El término general a_nde una progresión geométrica puede escribirse como:

a_n= a₁× r^n-1

Términos y ecuaciones para:

Progresiones aritméticas

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los nprimeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

donde a₁es el primer término y a_nel último. Demostrémoslo.

Sea una progresión aritmética de término general a_ny de diferencia d:

aplicando la propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:

pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que a₁+ a_n, de manera que:

(VII)

Ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de (VII)se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos de 5? El resultado es inmediato:

a₁= 5

a_n= 500.000

n = 100.000

S_n= 100.000

S_n= 2,500025 · 10¹⁰

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.

Así también, para hallar la suma de los nprimeros enteros positivos:

lo que también se conoce como número triangular.

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.

Esto se puede explicar más detalladamente:

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n

S = n+ (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 (por la propiedad conmutativa de la suma se pueden expresar los sumandos en este orden)2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1) (hay nsumandos)

2S = n(n+1)

S = n(n+1)/2

En el caso del problema de Gauss, nvale 100 y S= 100·101/2 = 5050.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica"

Progresiones geométricas

Si son los términos de una progresión geométrica con razón entonces se cumple la regla recursiva

La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término por su inmediato anterior:

Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en

de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:

Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que

Dado que a_0=3, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo: