Ejercicios resueltos de programación lineal

1 A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ?Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

Sea:

x= cantidad invertida en acciones A

y= cantidad invertida en acciones B

La función objetivo es:

Y las restricciones son:

La zona de soluciones factibles es:

Siendo los vértices del recinto:

A intersección de u,t:

B intersección de r,u:

C intersección de r,s:

D intersección de s,t:

La función objetivo toma en ellos los valores:

Siendo la solución óptima invertir 6 millones en acciones tipo A y 4 en acciones tipo B

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2 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 ptas. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ?Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

Llamemos:

x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.

y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.

La función objetivo es:

f(x, y)=5x+7y

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Vértices:

A(0, 100)

B intersección de s,t:

C intersección de r,t:

D (120, 0)

Siendo los valores de la función objetivo:

Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 ptas..

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3 Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 50000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 pesos el kg. y las de tipo B a 80 pesos el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 pesos y el kg. de tipo B a 90 pesos, contestar justificando las respuestas:

Llamemos:

x= kg. de naranjas tipo A comprados.

y= kg. de naranjas tipo B comprados.

La función objetivo que da el beneficio es:

Y las restricciones:

La zona de soluciones factibles es:

Y los vértices:

A(0, 625)

B intersección de r,s:

C(700, 0)

Y, en ellos la función objetivo toma los valores:

Ha de comprar 200 kg. de naranjas A y 500 de naranjas B para obtener un beneficio máximo de 6600 pesos.

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4 Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio

Sean:

x= n: de trajes.

y= n: de vestidos

a= precio común del traje y el vestido.

Función objetivo:

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

Vértices:

A(0, 40)

B intersección de r y s:

C(40, 0)

Los valores de la función objetivo son:

El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

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5 Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ?Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

Llamamos:

x= n: de viviendas construidas tipo A

y= n: de viviendas construidas tipo B.

La función objetivo es:

Las restricciones son:

La zona de soluciones factibles queda, pues:

Siendo los vértices:

A intersección de r,s:

B intersección de r,t:

C (0, 0)

Y la función objetivo toma los valores:

Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio máximo de 130 millones.