Física

Problemas de cálculo

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Sección 3.1

2. Un alumno acelera en una autopista, es su porche rojo, cuando su sistema de radar advierte que hay un obstáculo 400 pies adelante. De inmediato aplica los frenos, comienza a desacelerar y ve un zorrillo en la carretera, directo a él.

Suponga que la “caja negra” del porche registra la velocidad del coche cada 2 segundos y que produjo la siguiente tabla. Suponga que la velocidad disminuye durante 10 segundos que tarda en detenerse aunque no necesariamente a una tasa constante.

Tiempo desde que se aplicaron los frenos (seg) 0 2 4 6 8 10

Velocidad (ft/s) 100 80 50 25 10 0

con la información de esta tabla, ¿Cuál es su mejor estimación de la distancia total que recorrió el auto del alumno antes de detenerse?

¿Cuál de las siguientes afirmaciones pude avalar a partir de la información de los datos y de la tabla?

(Elegir y justificar.)

El automóvil se detuvo antes de atropellar al zorrillo.

Los datos de la “caja negra” no son concluyentes. El zorrillo pudo, o no, haber sido atropellado.

El desafortunado zorrillo fue atropellado por el auto.

Solución:

" Izquierda " Derecha

100(2)= 200 80(2)= 160

80(2)= 160 50(2)= 100

50(2)= 100 25(2)= 50

25(2)= 50 10(2)= 20

10(2)= 20 0(2)= 0

530 pies 330 pies

b) ii

3. Rogelio se inscribe en un maratón. Su amigo Luis lo sigue en bicicleta y mide su velocidad cada 15 minutos. Rogelio comienza rápido, pero después de hora y media esta tan cansado que debe detenerse los datos de Luis se resumen a continuación:

Tiempo recorrido (min) 0 15 30 45 60 75 90

Suponiendo que nunca fue creciente la velocidad de Rogelio, calcule estimaciones superior e inferior de la distancia recorrida durante la primera hora.

Determine estimaciones superiores e inferiores de la distancia total recorrida por Rogelio, en la hora y media.

¿Con qué frecuencia necesitaría medir Luis la velocidad de Rogelio para que las estimaciones superior e inferior coincidieran con la distancia real recorrida con una diferencia menor de 0.1 milla?

Solución

" Izquierda " Derecha

15 min (12 mi/h) (1h/60min)= 3.00 15 min (11 mi/h) (1h/60min)= 2.75

15 min (11 mi/h) (1h/60min)= 2.75 15 min (10 mi/h) (1h/60min)= 2.50

"=5.75 mi "= 5.25 mi

" Izquierda " Derecha

15 min (12 mi/h)(1h/60min)= 3.00 15 min (12 mi/h)(1h/60min)= 3.00

15 min (11 mi/h)(1h/60min)= 2.75 15 min (11 mi/h)(1h/60min)= 3.00

15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 2.50 15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 3.00

15 min (8 mi/h)(1h/60min)= 2.00 15 min (8 mi/h)(1h/60min)= 3.00

15 min (7 mi/h)(1h/60min)= 1.75 15 min (7 mi/h)(1h/60min)= 3.00

"=14.5 mi "=11.5 mi

c) v= d/t; t= d/v t= 0.1 mi / 12 mi/hr= 8.33 x 10-3 hr

5 min = 30 segundos

4. En una gasera se produce gas de carbón. Los contaminantes del gas se eliminan con lavadores, cuya eficiencia disminuye constantemente a medida que pasa el tiempo. Las siguientes mediciones, hechas al principio de cada mes, muestran la cantidad de contaminantes que escapan con el gas:

Tiempo (meses) 0 1 2 3 4 5

Determine una estimación máxima y una mínima de la cantidad total de contaminantes que escaparon durante el primer mes.

Determine una estimación máxima y una mínima de la cantidad total de contaminantes que escaparon durante los seis meses.

Con que frecuencia se deben hacer las mediciones para que las estimaciones maximas y minimas difieran menos de una ton respecto a la cantidad exacta de contaminantes que escaparon durante los primeros seis meses.

Solución

a) " Izquierda " Derecha

5 ton/mes (1 mes)= 5 tonmin 7 ton/mes (1 mes)= 7 tonmax

" Izquierda " Derecha

5 ton/mes (1 mes)= 5 ton 7 ton/mes (1 mes)= 7 ton

7 ton/mes (1 mes)= 7 ton 8 ton/mes (1 mes)= 8 ton

8 ton/mes (1 mes)= 8 ton 10 ton/mes (1 mes)= 10 ton

10 ton/mes (1 mes)= 10 ton 13 ton/mes (1 mes)= 13 ton

13 ton/mes (1 mes)= 13 ton 16 ton/mes (1 mes)= 16 ton

16 ton/mes (1 mes)= 16 ton 20 ton/mes (1 mes)= 20 ton

"= 59 ton min "= 74 ton max

(Ton) contaminante = (contaminante ton/mes) [tiempo (meses)]

Tiempo (MESES) = 1 TON = 0.066 MESES (30 días) = 2 DÍAS

(20-50 TON/MES)

6. Cuando 0 " t " 1 un escarabajo se arrastra a la velocidad v expresada por la fórmula

v = 1

1+ t

donde t está en horas y v en metros/hora. Use " t = 0.2 para estimar la distancia que recorre el insecto durante esta hora. Calcule una estimación máxima y una mínima. Calcule una nueva estimación con el promedio de las dos.

v = d/t; d = v*t

Solución

V(0) = 1/[1+0] = 1

V(0.2) = 1/[1+0] = 0.833

V(0.4) = 1/[1+0] = 0.714

V(0.6) = 1/[1+0] = 0.625

V(0.8) = 1/[1+0] = 0.555

V(1.0) = 1/[1+0] = 0.500

" Izquierda " Derecha

(1)(0.2)= 0.2 (0.833)(0.2)= 0.167

(0.833)(0.2)= 0.167 (0.714)(0.2)= 0.143

(0.714)(0.2)= 0.143 (0.625)(0.2)= 0.125

(0.625)(0.2)= 0.125 (0.0.555)(0.2)= 0.111

(0.555)(0.2)= 0.111 (0.500)(0.2)= 0.100

"= 0.746 "= 0.646

0.746 + 0.646 = 0.696

9. La figura es la grafica de la velocidad v (en m/s) de un objeto. Estime la distancia total que recorre el objeto entre t = 0 y t =6

Solución

" Izquierda " Derecha

0(1) = 0 15(1) = 0

15(1) = 15 20(1) = 0

20(1) = 20 25(1) = 0

25(1) = 25 30(1) = 0

30(1) = 30 35(1) = 0

35(1) = 35 40(1) = 0

"= 125 "= 165

11. Cuando un avión trata de subir lo más rápidamente posible, la rapidez con la que sube disminuye con la altura. (Esto se debe a que el aire es menos denso a mayores altitudes). La tabla muestra datos de funcionamiento.

Calcule las estimaciones máxima y mínima del tiempo que requiere este avión [ara subir desde el nivel del mar hasta 10, 000 ft.

Si dispusiera de datos sobre la rapidez de ascenso en incrementos de 500 ft, ¿Cuál seria la diferencia entre una estimación superior y una inferior del tiempo de subida, basadas en 20 subdivisiones?

Solución

" Izquierda " Derecha

1000/925 = 1.08 1000/875 = 1.14

1000/875 = 1.14 1000/830 = 1.20

1000/830 = 1.20 1000/780 = 1.28

1000/780 = 1.28 1000/730 = 1.37

1000/730 = 1.37 1000/685 = 1.46

1000/685 = 1.46 1000/635 = 1.57

1000/635 = 1.57 1000/585 = 1.71

1000/585 = 1.71 1000/535 = 1.87

1000/535 = 1.87 1000/490 = 2.04

1000/490 = 2.04 1000/440 = 2.27

"= 14.72 min "= 15.91 max

" Izquierda " Derecha

500/925 = 0.54 500/900 = 0.55

500/900 = 0.55 500/875 = 0.57

500/875 = 0.57 500/852.5 = 0.59

500/852.5 = 0.59 500/830 = 0.60

500/830 = 0.60 500/805 = 0.62

500/805 = 0.62 500/780 = 0.64

500/780 = 0.64 500/755 = 0.66

500/755 = 0.66 500/730 = 0.68

500/730 = 0.68 500/707.5 = 0.71

500/707.5 = 0.71 500/685 = 0.73

500/685 = 0.73 500/660 = 0.76

500/660 = 0.76 500/635 = 0.79

500/635 = 0.79 500/610 = 0.82

500/610 = 0.82 500/585 = 0.85

500/585 = 0.85 500/560 = 0.89

500/560 = 0.89 500/535 = 0.93

500/535 = 0.93 500/512.5 = 0.97

500/512.5 = 0.97 500/490 = 1.02

500/490 = 1.02 500/465 = 1.07

500/465 = 1.07 500/440 = 1.14

"= 14.99 "= 15.59

15.59 - 14.99 = 0.6Sección 3.2

1. En una copia de la figura trace rectángulos que representen cada una de las siguientes sumas de Riemann, para la función f en el intervalo 0 " t " 8. Calcule el valor de cada suma.

Suma izquierda con "t = 4

Suma derecha con "t = 4

Suma izquierda con "t = 2

Suma derecha con "t = 2

Solución

a) " Izquierda b) " Derecha

32(4) = 128 24(4) = 96

24(4) = 96 0(4) = 0

224 96

c) " Izquierda d) " Derecha

32(2) = 64 30(2) = 60

30(2) = 60 24(2) = 48

24(2) = 48 14(2) = 28

14(2) = 28 0(2) = 0

200 136

2. Escriba los términos de la suma con n = 5, que se podrían usar para aproximar a:

"3 1/1+ x dx. No evalué esos términos.

Solución

"3 1/1+ x dx = ln |1+x| 73

7-3/5 =4/5 = 0.8

10. a) Con una calculadora o computadora determine "0 (x2 + 1)dx. Represente este valor como el área bajo una curva.

b) Estime "0 (x2 + 1)dx con una suma izquierda con n = 3. Represente esta suma en una grafica de f(x) = x2 + 1. Esta suma, ¿es una estimación máxima o mínima de valor real que se determino en el inciso a)?

c) Estime "0 (x2 + 1)dx con una suma derecha y con n = 3. Represente esa suma en su grafica; ¿es una estimación mayor o menor?

Solucion

"0 (x2 + 1)dx; 6-0/3 = 2

a) "0 (x2 + 1)dx = "0 x2 dx + "0 dx = x3/3 + x = [(6)3/3] + 6 = 7 u2

" Izquierda " Derecha

[(0)2+1]2=2 [(2)2+1]2=10

[(2)2+1]2=10 [(4)2+1]2=34

[(4)2+1]2=34 [(6)2+1]2=74

INTERVALO IZQUIERDA DERECHA

1 2 10

2 10 34

3 34 74

"= 46 "= 118 MAYOR

Estime el área de las regiones mencionadas

14. Bajo la curva y = cos"x para 0 " x " 2

Solución

"0 cos"x dx = 2 cos ("x)+ 2"x sin ("x) - 2 = 0.69

16. Bajo la curva y = x2 y y = x3 para 0 " x " 1

Solución

" x2 dx = x3/3 x3/3 - x4/4 = (1)3/3 - (1)4/(4) = 1/12 = 0.083

" x3 dx = x4/4

20. Calcule la integral definida "0 cos"xdx e interprete el resultado en términos de áreas.

Solución

"0 cos"xdx = 2 cos (2) + 4 sin (2) - 2 = 0.138

2 4

21. Sin calcular la integral diga si

"0 e-x sin x Solución positiva

24. En la figura aparece la grafica de y = f(x).

a) ¿Qué es "-3 f(x)?

b) Si el área de la región sombreada es A, estime "-3 f(x)?

f(x)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Solución

EL ÁREA BAJO LA CURVA DE 0 A -3

4 + A/2

Sección 3.3

2. Para el coche y el camión del ejemplo 4, pagina 185.

¿Qué tan rápido aumenta o disminuye la distancia entre ellos a las 3 PM?

¿Cuál es el significado práctico (en términos de distancia entre los vehículos) de que la velocidad del coche sea máxima más o menos a las 2 PM?

Solución

35 millas + 40 millas = 75 millas

Al ser la máxima velocidad del coche (aproximadamente 75 millas a las 2 horas) es su máxima distancia que alcanzará con respecto a esa velocidad, ya que después de esto su velocidad baja gradualmente

3. Para el coche y el camión del ejemplo 4, pagina 185, suponga que el camión parte a mediodía. Todo lo demás igual.

Trace una nueva grafica que muestre las velocidades del coche y el camión en función del tiempo.

¿Cuántas veces se intersectan las dos graficas? ¿Qué significa cada intersección en términos de la distancia entre los dos?

Solución

b) 2 VECES: LA DISTANCIA ENTRE LOS VEHÍCULOS ESTÁN EN UN EXTREMO LOCAL YA QUE LLEVAN LA MISMA VELOCIDAD.

6. Si f(x) se mide en libras y x se mide en pies. ¿Cuáles son las unidades de "a f(x) dx

Solución

f(x) = libras libras " pie

(x) = pies

17.

a) ¿Cuál es el promedio de f(x) = "1-x2 en el intervalo 0 " x " 1?

b) ¿Cómo se puede decir si este promedio es mayor o menor que 0.5 sin hacer cálculo alguno?

Solución

"0 "1-x2 dx = x/2 "1-x2 + ½ arcsen x

a = 1 = ½ "1-02 + ½ arcsen (1) = 0.785 " 0.79

u = x

du = dx

21. La cantidad H de horas de luz diurna en Madrid en función de la fecha, se determina aproximadamente con la formula:

H = 12 +2.4 SIN[(t-80)].

En donde t es la cantidad de días transcurridos desde el inicio del año. Calcule la cantidad promedio de horas de luz en Madrid:

a) en enero b) en junio c) durante un año

d) comente las magnitudes relativas des sus respuestas a los incisos a), b), c). ¿Por qué son razonables?

Solución

a)*CONVERSIÓN DIRECTA *24

H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(744-80)] = 9.81 hrs

H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(151-80)] = 14.4 hrs

H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(0-80)] = 12 hrs

SE EMPIEZA A CONTAR DESDE INICIO DE AÑO Y SE RESTA EL MES QUE SE TE PIDE, EXCEPTO AL INICIO.

25. Para la función par f, en la figura, considere el promedio de f en los siguientes intervalos:

(I) 0 " x " 1 (II) 0 " x " 2 (III) 0 " x " 5 (III) -5 " x " 2

¿Para qué intervalo es mínimo el promedio de f?

¿Para qué intervalo es máximo el promedio de f?

¿Para qué intervalo son iguales los valores del promedio?

Solución

IV Y I

f (x)

-2 2 5

Sección 3.4

1. En la figura se ve la grafica de una derivada, f'(x). Complete la tabla de valores de f(x) sabiendo que f (0) = 2

* 1 f' (x)

1 2 3 4 5 6

Solución -1

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 2 -1 -2 -3 0 5 6

4. * ¿Qué es mayor, f (0) o f (1)?

Solución

f (0)

5. * Haga una lista en orden creciente de lo siguiente: f (4) -f (2), f (3) -f (2),

f(4) - f(3) 2

Solución

f (3) -f (2) f (4) -f (2) f(4) - f(3)

8. La rapidez de consumo del petróleo en el mundo aumenta constantemente. Suponga que el consumo (en millones de barriles al año) se representa con la función r = f (t) estando en t en años y que t = 0 es el inicio de 1990.

Escriba una integral definida que represente la cantidad total de petróleo consumido entre el inicio de 1990 y el inicio de 1995.

Suponga que r = 32e0.05t. Con una suma izquierda que tenga 5 subdivisiones calcule el valor aproximado de la cantidad total de petróleo usado entre 1900 y el de 1995.

Interprete cada uno de los 5 términos de la suma en el inciso b), en términos de consumo de petróleo.

Solución

"0 f (t) dt

"0 32e0.05t

INTERVALO " IZQUIERDA " Derecha

1 32 33.64

2 33.64 35.37

3 35.37 37.18

4 37.10 39.1

5 39.10 41.1

177.27 186.36

0 1 2 3 4 5

APROXIMADAMENTE 177.27 MILES DE MILLONES DE BARRILES

EN 1990 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 32.00 x 109 BARRILES

EN 1991 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 33.64 x 109 BARRILES

EN 1992 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 35.37 x 109 BARRILES

EN 1993 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 37.18 x 109 BARRILES

EN 1994 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 39.08 x 109 BARRILES

EN 1995 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 41.09 x 109 BARRILES

9. En la figura aparece la grafica de una función y = f (x). Suponga que f(x) es la rapidez con la que crece (en miles de algas por hora) una población de algas y que x se expresa en horas.

calcule aproximadamente el promedio de la rapidez de crecimiento de esta población durante el intervalo x = -1 a x = 3. Explique cómo llegó a la respuesta.

Calcule aproximadamente el cambio de población de algas durante el intervalo x = 3 a x = -3.

f (x)

-3 3

-3

Solución

-1 -0.75 0 2 2.4 x -3 -2 -1 0 1 2 3

f (x) 3 -0.2 -1 -0.75 0 2 2.4

-1 0 1 2 3

"-1 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " -0.75 dx - " -1 dx = 0.25x = 0.25

"0 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 0 dx - " -0.75 dx = 0.75x = 0.75

"1 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 2 dx - " 0 dx = 2x = 2

"2 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 2.4 dx - " 2 dx = 0.4x = 0.4

" = 3.4

-1-0.75+0+2+204 = 2.65

3.4-2.65 = 0.375 mil algas

b) 3 -0.2 -1

-3 -2 -1

1 2

"3 f (x) dx = " -0.2 dx - " 3 dx = -3.2x = -3.2

-4

"-2 f (x) dx = " -1 dx - " -0.2 dx = -0.8x = -0.8

y1 = 1+0.75+0+2+2.4 = 6.15

y = 3+0.2+1 = 4.2

6.15+4.2 " 1.725 mil algas

Intervalos

15. Suponga que "a f (x) dx = 8, "a f ((x))2 dx = 12, "a g (t) dt = 2, "a g ((x))2 dx = 3. Determine la integral correspondiente.

(f (x)) 2 - (g (x)2) dx

Solución

"a (f (x)) 2 dx - "a (g (x)2 dx = F - F = 12 - 3 = 9

17. "a cf (z) dz

Solución

"a cf (z) dz = 8c

21. a) ¿Es "-1 ex^2 dx = positiva, negativa o cera? Explique por qué.

Solución

ES POSITIVA, ADEMÁS DE QUE ex^2 > 0

875

100

Velocidad (mi/h)

Rapidez de escape de contaminantes (ton/mes)

0.6

0.4

0.2

0.8

1.0

v (en m/s)

t (s)

635

925

Altitud (miles de ft)

Rapidez de ascenso (ft/min)

875

830

780

730

685

635

585

535

490

440

685

780

685

730

780

830

875

925

440

490

585

490

535

585

635

2.5

780

805

852.5

2.5

805

830

1.5

830

1.5

852.5

300 " d " 530 pies

0.5

875

900

0.5

900

925

6.5

610

635

685

5.5.5

635

660

5.5

660

4.5

685

707.5

4.5

707.5

730

3.5

730

755

9.5

440

465

512.5

9.5

465

490

8.5

490

8.5

512.5

535

7.5

535

560

7.5

560

585

3.5

755

780

6.5

585

610

f(t)

6.2

5.4

4.6

3.8

Velocidad en (mph)

Tiempo (horas) a partir del mediodía

Velocidad en (mph)

-2

-1

19. "a +5 f (x-5) dx = 8

b+5

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