Física
Problemas de cálculo
Sección 3.1
2. Un alumno acelera en una autopista, es su porche rojo, cuando su sistema de radar advierte que hay un obstáculo 400 pies adelante. De inmediato aplica los frenos, comienza a desacelerar y ve un zorrillo en la carretera, directo a él.
Suponga que la “caja negra” del porche registra la velocidad del coche cada 2 segundos y que produjo la siguiente tabla. Suponga que la velocidad disminuye durante 10 segundos que tarda en detenerse aunque no necesariamente a una tasa constante.
Tiempo desde que se aplicaron los frenos (seg) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (ft/s) 100 80 50 25 10 0
con la información de esta tabla, ¿Cuál es su mejor estimación de la distancia total que recorrió el auto del alumno antes de detenerse?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones pude avalar a partir de la información de los datos y de la tabla?
(Elegir y justificar.)
El automóvil se detuvo antes de atropellar al zorrillo.
Los datos de la “caja negra” no son concluyentes. El zorrillo pudo, o no, haber sido atropellado.
El desafortunado zorrillo fue atropellado por el auto.
Solución:
a)
" Izquierda " Derecha
100(2)= 200 80(2)= 160
80(2)= 160 50(2)= 100
50(2)= 100 25(2)= 50
25(2)= 50 10(2)= 20
10(2)= 20 0(2)= 0
530 pies 330 pies
b) ii
3. Rogelio se inscribe en un maratón. Su amigo Luis lo sigue en bicicleta y mide su velocidad cada 15 minutos. Rogelio comienza rápido, pero después de hora y media esta tan cansado que debe detenerse los datos de Luis se resumen a continuación:
Tiempo recorrido (min) 0 15 30 45 60 75 90
Suponiendo que nunca fue creciente la velocidad de Rogelio, calcule estimaciones superior e inferior de la distancia recorrida durante la primera hora.
Determine estimaciones superiores e inferiores de la distancia total recorrida por Rogelio, en la hora y media.
¿Con qué frecuencia necesitaría medir Luis la velocidad de Rogelio para que las estimaciones superior e inferior coincidieran con la distancia real recorrida con una diferencia menor de 0.1 milla?
Solución
a)
" Izquierda " Derecha
15 min (12 mi/h) (1h/60min)= 3.00 15 min (11 mi/h) (1h/60min)= 2.75
15 min (11 mi/h) (1h/60min)= 2.75 15 min (10 mi/h) (1h/60min)= 2.50
"=5.75 mi "= 5.25 mi
b)
" Izquierda " Derecha
15 min (12 mi/h)(1h/60min)= 3.00 15 min (12 mi/h)(1h/60min)= 3.00
15 min (11 mi/h)(1h/60min)= 2.75 15 min (11 mi/h)(1h/60min)= 3.00
15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 2.50 15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 3.00
15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 2.50 15 min (10 mi/h)(1h/60min)= 3.00
15 min (8 mi/h)(1h/60min)= 2.00 15 min (8 mi/h)(1h/60min)= 3.00
15 min (7 mi/h)(1h/60min)= 1.75 15 min (7 mi/h)(1h/60min)= 3.00
"=14.5 mi "=11.5 mi
c) v= d/t; t= d/v t= 0.1 mi / 12 mi/hr= 8.33 x 10-3 hr
5 min = 30 segundos
4. En una gasera se produce gas de carbón. Los contaminantes del gas se eliminan con lavadores, cuya eficiencia disminuye constantemente a medida que pasa el tiempo. Las siguientes mediciones, hechas al principio de cada mes, muestran la cantidad de contaminantes que escapan con el gas:
Tiempo (meses) 0 1 2 3 4 5
Determine una estimación máxima y una mínima de la cantidad total de contaminantes que escaparon durante el primer mes.
Determine una estimación máxima y una mínima de la cantidad total de contaminantes que escaparon durante los seis meses.
Con que frecuencia se deben hacer las mediciones para que las estimaciones maximas y minimas difieran menos de una ton respecto a la cantidad exacta de contaminantes que escaparon durante los primeros seis meses.
Solución
a) " Izquierda " Derecha
5 ton/mes (1 mes)= 5 tonmin 7 ton/mes (1 mes)= 7 tonmax
b)
" Izquierda " Derecha
5 ton/mes (1 mes)= 5 ton 7 ton/mes (1 mes)= 7 ton
7 ton/mes (1 mes)= 7 ton 8 ton/mes (1 mes)= 8 ton
8 ton/mes (1 mes)= 8 ton 10 ton/mes (1 mes)= 10 ton
10 ton/mes (1 mes)= 10 ton 13 ton/mes (1 mes)= 13 ton
13 ton/mes (1 mes)= 13 ton 16 ton/mes (1 mes)= 16 ton
16 ton/mes (1 mes)= 16 ton 20 ton/mes (1 mes)= 20 ton
"= 59 ton min "= 74 ton max
c)
(Ton) contaminante = (contaminante ton/mes) [tiempo (meses)]
Tiempo (MESES) = 1 TON = 0.066 MESES (30 días) = 2 DÍAS
(20-50 TON/MES)
6. Cuando 0 " t " 1 un escarabajo se arrastra a la velocidad v expresada por la fórmula
v = 1
1+ t
donde t está en horas y v en metros/hora. Use " t = 0.2 para estimar la distancia que recorre el insecto durante esta hora. Calcule una estimación máxima y una mínima. Calcule una nueva estimación con el promedio de las dos.
v = d/t; d = v*t
Solución
V(0) = 1/[1+0] = 1
V(0.2) = 1/[1+0] = 0.833
V(0.4) = 1/[1+0] = 0.714
V(0.6) = 1/[1+0] = 0.625
V(0.8) = 1/[1+0] = 0.555
V(1.0) = 1/[1+0] = 0.500
" Izquierda " Derecha
(1)(0.2)= 0.2 (0.833)(0.2)= 0.167
(0.833)(0.2)= 0.167 (0.714)(0.2)= 0.143
(0.714)(0.2)= 0.143 (0.625)(0.2)= 0.125
(0.625)(0.2)= 0.125 (0.0.555)(0.2)= 0.111
(0.555)(0.2)= 0.111 (0.500)(0.2)= 0.100
"= 0.746 "= 0.646
0.746 + 0.646 = 0.696
2
9. La figura es la grafica de la velocidad v (en m/s) de un objeto. Estime la distancia total que recorre el objeto entre t = 0 y t =6
Solución
" Izquierda " Derecha
0(1) = 0 15(1) = 0
15(1) = 15 20(1) = 0
20(1) = 20 25(1) = 0
25(1) = 25 30(1) = 0
30(1) = 30 35(1) = 0
35(1) = 35 40(1) = 0
"= 125 "= 165
11. Cuando un avión trata de subir lo más rápidamente posible, la rapidez con la que sube disminuye con la altura. (Esto se debe a que el aire es menos denso a mayores altitudes). La tabla muestra datos de funcionamiento.
Calcule las estimaciones máxima y mínima del tiempo que requiere este avión [ara subir desde el nivel del mar hasta 10, 000 ft.
Si dispusiera de datos sobre la rapidez de ascenso en incrementos de 500 ft, ¿Cuál seria la diferencia entre una estimación superior y una inferior del tiempo de subida, basadas en 20 subdivisiones?
Solución
a)
" Izquierda " Derecha
1000/925 = 1.08 1000/875 = 1.14
1000/875 = 1.14 1000/830 = 1.20
1000/830 = 1.20 1000/780 = 1.28
1000/780 = 1.28 1000/730 = 1.37
1000/730 = 1.37 1000/685 = 1.46
1000/685 = 1.46 1000/635 = 1.57
1000/635 = 1.57 1000/585 = 1.71
1000/585 = 1.71 1000/535 = 1.87
1000/535 = 1.87 1000/490 = 2.04
1000/490 = 2.04 1000/440 = 2.27
"= 14.72 min "= 15.91 max
b)
" Izquierda " Derecha
500/925 = 0.54 500/900 = 0.55
500/900 = 0.55 500/875 = 0.57
500/875 = 0.57 500/852.5 = 0.59
500/852.5 = 0.59 500/830 = 0.60
500/830 = 0.60 500/805 = 0.62
500/805 = 0.62 500/780 = 0.64
500/780 = 0.64 500/755 = 0.66
500/755 = 0.66 500/730 = 0.68
500/730 = 0.68 500/707.5 = 0.71
500/707.5 = 0.71 500/685 = 0.73
500/685 = 0.73 500/660 = 0.76
500/660 = 0.76 500/635 = 0.79
500/635 = 0.79 500/610 = 0.82
500/610 = 0.82 500/585 = 0.85
500/585 = 0.85 500/560 = 0.89
500/560 = 0.89 500/535 = 0.93
500/535 = 0.93 500/512.5 = 0.97
500/512.5 = 0.97 500/490 = 1.02
500/490 = 1.02 500/465 = 1.07
500/465 = 1.07 500/440 = 1.14
"= 14.99 "= 15.59
15.59 - 14.99 = 0.6Sección 3.2
1. En una copia de la figura trace rectángulos que representen cada una de las siguientes sumas de Riemann, para la función f en el intervalo 0 " t " 8. Calcule el valor de cada suma.
Suma izquierda con "t = 4
Suma derecha con "t = 4
Suma izquierda con "t = 2
Suma derecha con "t = 2
Solución
a) " Izquierda b) " Derecha
32(4) = 128 24(4) = 96
24(4) = 96 0(4) = 0
224 96
c) " Izquierda d) " Derecha
32(2) = 64 30(2) = 60
30(2) = 60 24(2) = 48
24(2) = 48 14(2) = 28
14(2) = 28 0(2) = 0
200 136
2. Escriba los términos de la suma con n = 5, que se podrían usar para aproximar a:
"3 1/1+ x dx. No evalué esos términos.
Solución
"3 1/1+ x dx = ln |1+x| 73
7-3/5 =4/5 = 0.8
10. a) Con una calculadora o computadora determine "0 (x2 + 1)dx. Represente este valor como el área bajo una curva.
b) Estime "0 (x2 + 1)dx con una suma izquierda con n = 3. Represente esta suma en una grafica de f(x) = x2 + 1. Esta suma, ¿es una estimación máxima o mínima de valor real que se determino en el inciso a)?
c) Estime "0 (x2 + 1)dx con una suma derecha y con n = 3. Represente esa suma en su grafica; ¿es una estimación mayor o menor?
Solucion
"0 (x2 + 1)dx; 6-0/3 = 2
a) "0 (x2 + 1)dx = "0 x2 dx + "0 dx = x3/3 + x = [(6)3/3] + 6 = 7 u2
b)
" Izquierda " Derecha
[(0)2+1]2=2 [(2)2+1]2=10
[(2)2+1]2=10 [(4)2+1]2=34
[(4)2+1]2=34 [(6)2+1]2=74
c)
INTERVALO IZQUIERDA DERECHA
1 2 10
2 10 34
3 34 74
"= 46 "= 118 MAYOR
Estime el área de las regiones mencionadas
14. Bajo la curva y = cos"x para 0 " x " 2
Solución
"0 cos"x dx = 2 cos ("x)+ 2"x sin ("x) - 2 = 0.69
16. Bajo la curva y = x2 y y = x3 para 0 " x " 1
Solución
" x2 dx = x3/3 x3/3 - x4/4 = (1)3/3 - (1)4/(4) = 1/12 = 0.083
" x3 dx = x4/4
20. Calcule la integral definida "0 cos"xdx e interprete el resultado en términos de áreas.
Solución
"0 cos"xdx = 2 cos (2) + 4 sin (2) - 2 = 0.138
2 4
21. Sin calcular la integral diga si
"0 e-x sin x Solución positiva
24. En la figura aparece la grafica de y = f(x).
a) ¿Qué es "-3 f(x)?
b) Si el área de la región sombreada es A, estime "-3 f(x)?
f(x)
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Solución
a)
EL ÁREA BAJO LA CURVA DE 0 A -3
b)
4 + A/2
Sección 3.3
2. Para el coche y el camión del ejemplo 4, pagina 185.
¿Qué tan rápido aumenta o disminuye la distancia entre ellos a las 3 PM?
¿Cuál es el significado práctico (en términos de distancia entre los vehículos) de que la velocidad del coche sea máxima más o menos a las 2 PM?
Solución
35 millas + 40 millas = 75 millas
Al ser la máxima velocidad del coche (aproximadamente 75 millas a las 2 horas) es su máxima distancia que alcanzará con respecto a esa velocidad, ya que después de esto su velocidad baja gradualmente
3. Para el coche y el camión del ejemplo 4, pagina 185, suponga que el camión parte a mediodía. Todo lo demás igual.
Trace una nueva grafica que muestre las velocidades del coche y el camión en función del tiempo.
¿Cuántas veces se intersectan las dos graficas? ¿Qué significa cada intersección en términos de la distancia entre los dos?
Solución
a)
b) 2 VECES: LA DISTANCIA ENTRE LOS VEHÍCULOS ESTÁN EN UN EXTREMO LOCAL YA QUE LLEVAN LA MISMA VELOCIDAD.
6. Si f(x) se mide en libras y x se mide en pies. ¿Cuáles son las unidades de "a f(x) dx
Solución
f(x) = libras libras " pie
(x) = pies
17.
a) ¿Cuál es el promedio de f(x) = "1-x2 en el intervalo 0 " x " 1?
b) ¿Cómo se puede decir si este promedio es mayor o menor que 0.5 sin hacer cálculo alguno?
Solución
a)
"0 "1-x2 dx = x/2 "1-x2 + ½ arcsen x
a = 1 = ½ "1-02 + ½ arcsen (1) = 0.785 " 0.79
u = x
du = dx
21. La cantidad H de horas de luz diurna en Madrid en función de la fecha, se determina aproximadamente con la formula:
H = 12 +2.4 SIN[(t-80)].
En donde t es la cantidad de días transcurridos desde el inicio del año. Calcule la cantidad promedio de horas de luz en Madrid:
a) en enero b) en junio c) durante un año
d) comente las magnitudes relativas des sus respuestas a los incisos a), b), c). ¿Por qué son razonables?
Solución
a)*CONVERSIÓN DIRECTA *24
H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(744-80)] = 9.81 hrs
b)
H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(151-80)] = 14.4 hrs
c)
H = 12 + 2.4 SIN[0.0172(0-80)] = 12 hrs
d)
SE EMPIEZA A CONTAR DESDE INICIO DE AÑO Y SE RESTA EL MES QUE SE TE PIDE, EXCEPTO AL INICIO.
25. Para la función par f, en la figura, considere el promedio de f en los siguientes intervalos:
(I) 0 " x " 1 (II) 0 " x " 2 (III) 0 " x " 5 (III) -5 " x " 2
¿Para qué intervalo es mínimo el promedio de f?
¿Para qué intervalo es máximo el promedio de f?
¿Para qué intervalo son iguales los valores del promedio?
Solución
II
I
IV Y I
f (x)
x
-2 2 5
Sección 3.4
1. En la figura se ve la grafica de una derivada, f'(x). Complete la tabla de valores de f(x) sabiendo que f (0) = 2
* 1 f' (x)
x
1 2 3 4 5 6
Solución -1
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 2 -1 -2 -3 0 5 6
4. * ¿Qué es mayor, f (0) o f (1)?
Solución
f (0)
5. * Haga una lista en orden creciente de lo siguiente: f (4) -f (2), f (3) -f (2),
f(4) - f(3) 2
Solución
f (3) -f (2) f (4) -f (2) f(4) - f(3)
2
8. La rapidez de consumo del petróleo en el mundo aumenta constantemente. Suponga que el consumo (en millones de barriles al año) se representa con la función r = f (t) estando en t en años y que t = 0 es el inicio de 1990.
Escriba una integral definida que represente la cantidad total de petróleo consumido entre el inicio de 1990 y el inicio de 1995.
Suponga que r = 32e0.05t. Con una suma izquierda que tenga 5 subdivisiones calcule el valor aproximado de la cantidad total de petróleo usado entre 1900 y el de 1995.
Interprete cada uno de los 5 términos de la suma en el inciso b), en términos de consumo de petróleo.
Solución
a)
"0 f (t) dt
b)
"0 32e0.05t
INTERVALO " IZQUIERDA " Derecha
1 32 33.64
2 33.64 35.37
3 35.37 37.18
4 37.10 39.1
5 39.10 41.1
177.27 186.36
0 1 2 3 4 5
APROXIMADAMENTE 177.27 MILES DE MILLONES DE BARRILES
c)
EN 1990 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 32.00 x 109 BARRILES
EN 1991 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 33.64 x 109 BARRILES
EN 1992 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 35.37 x 109 BARRILES
EN 1993 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 37.18 x 109 BARRILES
EN 1994 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 39.08 x 109 BARRILES
EN 1995 SE CONSUMIERON APROXIMADAMENTE 41.09 x 109 BARRILES
9. En la figura aparece la grafica de una función y = f (x). Suponga que f(x) es la rapidez con la que crece (en miles de algas por hora) una población de algas y que x se expresa en horas.
calcule aproximadamente el promedio de la rapidez de crecimiento de esta población durante el intervalo x = -1 a x = 3. Explique cómo llegó a la respuesta.
Calcule aproximadamente el cambio de población de algas durante el intervalo x = 3 a x = -3.
y
3
f (x)
-3 3
-3
Solución
a)
-1 -0.75 0 2 2.4 x -3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) 3 -0.2 -1 -0.75 0 2 2.4
-1 0 1 2 3
"-1 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " -0.75 dx - " -1 dx = 0.25x = 0.25
"0 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 0 dx - " -0.75 dx = 0.75x = 0.75
"1 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 2 dx - " 0 dx = 2x = 2
"2 f (x) dx = f' (x) = f (x) = " 2.4 dx - " 2 dx = 0.4x = 0.4
" = 3.4
-1-0.75+0+2+204 = 2.65
3.4-2.65 = 0.375 mil algas
2
b) 3 -0.2 -1
-3 -2 -1
1 2
"3 f (x) dx = " -0.2 dx - " 3 dx = -3.2x = -3.2
-4
"-2 f (x) dx = " -1 dx - " -0.2 dx = -0.8x = -0.8
y1 = 1+0.75+0+2+2.4 = 6.15
y = 3+0.2+1 = 4.2
6.15+4.2 " 1.725 mil algas
6
Intervalos
15. Suponga que "a f (x) dx = 8, "a f ((x))2 dx = 12, "a g (t) dt = 2, "a g ((x))2 dx = 3. Determine la integral correspondiente.
(f (x)) 2 - (g (x)2) dx
Solución
"a (f (x)) 2 dx - "a (g (x)2 dx = F - F = 12 - 3 = 9
17. "a cf (z) dz
Solución
"a cf (z) dz = 8c
21. a) ¿Es "-1 ex^2 dx = positiva, negativa o cera? Explique por qué.
Solución
ES POSITIVA, ADEMÁS DE QUE ex^2 > 0
875
100
80
0
2
4
2
50
80
6
4
25
50
8
6
10
50
10
8
0
10
Velocidad (mi/h)
12
11
10
10
9
8
7
15
0
11
12
30
15
10
11
30
15
20
16
15
0
13
1
45
30
10
8
60
45
7
5
75
60
6
Rapidez de escape de contaminantes (ton/mes)
90
75
0
7
5
5
4
16
13
4
3
13
3
2
10
8
2
1
8
7
1
0
7
5
10
6
5
20
16
0.6
0.4
0.2
0
0.8
1.0
40
30
20
10
v (en m/s)
1
2
3
4
5
6
6
5
40
35
25
5
4
35
30
4
3
30
3
2
25
20
2
1
20
15
1
0
15
0
t (s)
1
635
4
3
2
0
925
Altitud (miles de ft)
Rapidez de ascenso (ft/min)
5
6
7
8
9
10
5
875
830
780
730
685
635
6
585
535
490
440
685
780
5
4
685
730
4
3
730
3
2
780
830
2
1
830
875
1
0
875
925
10
9
440
490
585
9
8
490
535
8
7
535
7
6
585
635
3
2.5
780
805
852.5
2.5
2
805
830
2
1.5
830
1.5
1
852.5
300 " d " 530 pies
1
0.5
875
900
0.5
0
900
925
6.5
6
610
635
685
6
5.5.5
635
660
5.5
5
660
5
4.5
685
707.5
4.5
4
707.5
730
4
3.5
730
755
10
9.5
440
465
512.5
9.5
9
465
490
9
8.5
490
8.5
8
512.5
535
8
7.5
535
560
7.5
7
560
585
3.5
3
755
780
7
6.5
585
610
28
32
24
20
16
12
8
4
f(t)
2
4
6
8
4
0
24
32
8
4
0
24
4
2
24
30
2
0
30
32
8
6
0
14
6
4
14
24
6
7
6
4
2
6
6
6
6
7
6.2
5.4
4.6
3.8
3
7
6
6
2
6
2
0
6
4
6
4
4
2
2
4
4
2
0
4
1
2
3
4
5
80
6
60
7
40
8
20
9
10
Velocidad en (mph)
Tiempo (horas) a partir del mediodía
Tiempo (horas) a partir del mediodía
Velocidad en (mph)
8
10
9
7
6
5
4
3
2
1
20
40
60
80
b
1
5
5
0
1
2
3
-2
-1
b
b
b
b
b
b
b
b
19. "a +5 f (x-5) dx = 8
b+5
1
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Enviado por: | Indio Ipo |
Idioma: | castellano |
País: | México |