GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

PROBABILIDAD

UNIDAD UNO

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

ELABORADO POR: ALDO ZIRAHUEN CERDA GARCIA

INGENIERIA INDUSTRIAL

2° SEMESTRE

2 de Febrero del 2007

UNIDAD 1: ESTADISTICA DESCRIPTIVA

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

El estudiante obtendrá, analizara y representara gráficamente los resultados o soluciones obtenidas y comprenderá las características de las medidas de dispersión y tendencia central y aplicara sus propiedades para resolver problemas a partir de datos tomados de situaciones reales en el área de ingeniería en estudio sintetizándolos mediante descripciones numéricas y representándolos de una forma ya sea mediante un histograma, ojiva o polígono de frecuencia.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Se conoce como medidas de tendencia central a:

• La media aritmética: es la suma de los valores de cierto número de cantidades dividido entre su número.

• Mediana: se define como el valor que divide a un conjunto de datos previamente ordenados de menor a mayor, y es el punto intermedio entre todos ellos.

• Moda: es un conjunto de datos de una distribución de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia, por ejemplo en los valores: 1,2,5,5,6,6,6,6,7,8,9,9,9 la moda es el 6. La moda es el valor más representativo o típico de una serie de valores en el sentido que ocurre con mayor frecuencia.

• Rango medio: es el promedio aritmético de las medidas de mayor a menor.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1: Los totales anuales en miles de millones de dólares para las exportaciones agrícolas de Estados unidos de América de 1996 a 2006 son de 21.9, 21.9, 23.0, 23.6, 29.4, 34.7, 41.2, 43.3, 39.1, y 33.7, Determinar la media, moda, mediana y rango medio.

RESULTADO:

Ejemplo 2:

Los datos siguientes son las docenas/mes de calcetines fabricados en Cannon, mills:

104,102,85,60,93,103,94,97,81,75,79,104,97,95,65,75,89,104,103,100,90,104,71,69,88.

-Encontrar las medidas de tendencia central.

RESULTADO:

MEDIA GEOMETRICA Y MEDIA ARMONICA:

La geométrica ayuda a conocer las tasas de crecimiento y la armónica es mas referida a los rendimientos ya sea de una producción y ayuda a localizar también para el estudio de costos.

EJEMPLOS:

Ejemplo geométrico:

La población de un pueblo cercano a la ciudad de Uruapan en los últimos 6 años a sido de 3 200 000 habitantes a 3 570 000 habitantes.

Calcular la tasa de crecimiento total en los 6 años y el promedio anual.

RESULTADO:

Ejemplo armónica:

Se toman los datos de dos obreros donde se arma una pieza, el primero lo logra en tres días seguido del segundo que logra el objetivo en cuatro días. Calcular el rendimiento de un trabajador representativo de los rendimientos de los dos obreros.

Rendimiento representativo=

MEDIDAS DE DISPERSION:

Para emplear las medidas de dispersión se emplea el uso del rango, desviación cuartil, la desviación media, la varianza y la desviación estándar.

-Rango= es la diferencia del numero menor y el numero mayor.

-Desviación cuartil: Hace referencia a los números de separación de los valores d x: el primer cuartil corresponde al 25% (), el segundo representa al 50% representado con , y así sucesivamente siguiendo la misma referencia para el cuartil tres. Nota si en lugar de dividir en cuatro partes iguales se hace en diez partes, se tienen nueve puntos de división, correspondiendo a cada uno un decil: de donde el primer decil es el valor por debajo del cual esta el diez por 10% de las observaciones, para el segundo decil el 20% y así sucesivamente.

-Desviación media (DM): es una medida de dispersión muy objetiva, y cuanto mayor sea su valor mayor es la dispersión de los datos.

-Varianza: sirve de base para calcular la desviación estándar o desviación típica.

-Desviación estándar o típica: es la raíz cuadrada de la varianza es la más importante de todas las medidas de dispersión ya que incluye más o menos el 68% de los términos de una distribución normal.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1:

En la tabla siguiente se representan las longitudes en centímetros de ochenta piezas de madera que fueron seleccionadas en una bodega. Presentar datos en forma resumida y ordenada.

50.1 50.6 51.1 50.8 52.2 51.9 51.2 52

50.6 49.1 51.8 51 50.8 51.8 51.1 49.7

50.7 51.4 51.9 50.4 51.7 51 49.5 52

51.1 51.8 50.3 51.5 51.7 50.3 49.9 49.7

52 51.3 51.1 50.8 49.4 50.3 51.1 51.2

50.8 51.5 51.1 51.2 50.3 51.3 51.7 51.8

51.4 51 51.7 50.1 52.1 51 52.8 51.1

49.9 50.9 50.2 51.5 51 50.2 49.6 51.3

51.8 50.3 50.5 51.7 51.7 50.4 49.6 51.2

51.3 51.2 51.6 51.5 51.9 51.6 53.1 51.8

Clases limites de clase tr fr Cuenta

I 49-<50 49.5 9 IIII/ IIII

II 50-<51 50.5 20 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/

III 51-<52 51.5 44 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII

IV 52-<53 52.5 6 IIII/ I

V 53-<54 53.5 2 I

80

FREC. REL FREC. REL. ACUMULADA

Fr

0.112 0.112

0.25 0.362

0.055 0.912

0.075 0.987

0.0125 1

Ejemplo dos:

La tabla siguiente muestra los costos por litro de gasolina de alto octanaje en las ciudades del mundo.

CIUDADES COSTO X LITRO

Ámsterdam 57

Bruselas 53

Buenos aires 38

Hong kong 57

Johannesburgo 48

Londres 56

Madrid 59

Manila 46

México 25

Montereal 47

Nairobi 57

New Cork 40

Oslo 65

Paris 58

Rió de Janeiro 42

Roma 76

Singapur 59

Sydney 43

Tokio 79

Ejemplo tres:

Calcular el cuartil en el cuadro de frecuencias agrupadas, en donde se han registrado las alturas de un grupo de alumnos.

Clases	Frecuencias
121.5-126.5	2
126.5-131.5	3
131.5-136.5	8
136.5-141.5	23
141.5-146.5	27
146.5-151.5	20
151.5-156.5	16
156.5-161.5	3
161.5-166.5	2
total=	N=104

EL PRIMER CUARTIL ESTA EN LA CLASE 136.5-141.5

SUMAMOS 2+3+5=13 Para calcular los trece alumnos que faltan y para realizar este cálculo hacemos:

13:5::1: x NOTA: el 5 se obtiene de 141.5-136.5=5

Despejamos x

13x=5

x=

Este valor lo multiplicamos por 13 que era el valor faltante de conocer y obtenemos:

Obteniendo el valor 5 más 13 obtenemos que el valor del cuartil es igual a 18.

Ejemplo cuatro:

Los datos acontinuacion hacen referencia al número de cigarros fumados durante un fin de semana por un grupo de quince fumadores:

X	10	15	17	20	22
F	1	3	5	2	4

X f fx

10 1 10 100 100

15 3 45 225 675

17 5 85 289 1445

20 2 40 400 800

22 4 88 484 1936

HISTOGRAMA, POLIGONO DE FRECUENCIA Y OJIVA:

Histograma:

Para realizar el histograma utilizas para Y los valores de fr y para X los valores de tr.

Basándonos de los datos del ejemplo uno anteriormente realizado obtenemos una grafica de:

Fr	tr
9	49.5
20	50.5
44	51.5
6	52.5
1	53.5

Grafica Ojiva:

En la grafica ojiva empleas para x los valores de la frecuencia acumulada (Fr) que se obtiene este valor de ir sumando la frecuencia relativa hasta llegar ala unidad y para Y son los valores del límite de clase.

Ejemplo: basándonos de los datos del ejercicio uno obtenemos la siguiente grafica:

Fr	Limite de clase
49	0
50	0.112
51	0.25
52	0.55
53	0.75
54	1

Polígono de frecuencia:

Para realizar estos datos se toma como X los valores de t0 (antes del valor de tr) y para los valores de Y se toman los datos de frecuencia relativa y con los datos del ejemplo uno obtenemos la siguiente grafica:

tr0,tr6	fr´
48.5	0
49.5	0.112
50.5	0.25
51.5	0.55
52.5	0.075
53.5	0.0125
54.5	0

CONCLUSIÓN:

Este tipo de medidas con ciertas tendencias centrales o dispersas son muy importantes y tienen una gran aplicación en la solución de problemas en el área de estudio apartir de datos agrupados o datos no agrupados para poder entender mejor el comportamiento de algunas variables que para algunas empresas representa tiempo, esfuerzo o costos y que se pueden optimizar mediante la aplicación de este tipo de cálculos estadísticos y que se pueden representar de una manera fácil y entendible mediante de gráficos e histogramas con la información necesaria para el interesado ayudándolo a un mejor entendimiento y comprensión del problema en cuestión.

GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

PROBABILIDAD

UNIDAD DOS

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

ELABORADO POR: ALDO

INGENIERIA INDUSTRIAL

2° SEMESTRE

de Marzo del 2007

UNIDAD DOS: FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

El estudiante obtendrá, analizara y representara los resultados o soluciones obtenidas y comprenderá las características de un Teorema de Bayes así como el espacio muestral y eventos, combinaciones y permutaciones, ayudando para entender mejor la Probabilidad condicional así como unos axiomas de probabilidad y aplicara sus propiedades para resolver problemas a partir de datos tomados de situaciones reales en el área de ingeniería en estudio sintetizándolos mediante descripciones numérica.

TEOREMA DE BAYES:

Formula de Bayes = también se le conoce como la probabilidad de las “causas” debido a que las son una partición del espacio muestral S, uno y solo una de los sucesos ocurre es decir que uno de los sucesos debe ocurrir y solamente uno. ( Es la causa donde B ya ocurrió).

Ejemplos:

Ejemplo uno:

En una empresa de circuitos para computadora se toman encuenta la producción de tres grupos de trabajadores el primero A produce el 68% de la producción total de la maquiladora mientras que el grupo B produce el 32% del total. Obteniendo que el grupo A el 2% de su producción es defectuosa en tanto el del grupo B el 5%.

¿Calcular la probabilidad de que al revisar al azar un circuito sea defectuoso y la probabilidad de que al revisar aleatoriamente un circuito defectuoso este provenga del grupo B?

RESPUESTA:

Para obtener la probabilidad de revisar a azar un circuito y sea defectuoso lo hacemos multiplicando el porcentaje de producción defectuosa multiplicándolo por la producción que produce a esto sumándole el porcentaje del grupo B que se multiplica por su producción. Como de la siguiente manera:

Obteniendo este valor es ya más fácil conocer la probabilidad del que el circuito defectuoso sea del B, esto se obtiene con la ayuda del Teorema de Bayes de la siguiente manera:

Ejemplo dos:

Una fábrica con tres sucursales produce 40,35 y 25 por ciento del total de la producción. Obteniendo como resultado de artículos defectuosos un porcentaje del 4%, 6% y 8%. Si se elige aleatoriamente un artículo calcular la probabilidad de: a) de que no sea defectuoso, b) si resulto defectuoso cual es la probabilidad de que proceda de la primera sucursal y c) si no resulto defectuoso cual es la probabilidad de que proceda de la segunda sucursal.

RESPUESTA:

El producto es de la primera sucursal.

El producto es de la segunda sucursal.

El producto es de la tercera sucursal.

B: El producto es defectuoso.

a) Probabilidad de que no sea defectuoso.

b) Si salio defectuoso la probabilidad de que proceda de la primera sucursal?

c) Si no resulto defectuoso cual es la probabilidad de que proceda de la sucursal

Ejemplo tres:

En una escuela el 40% de los alumnos son de tercer grado, el 25% de cuarto año el 20% de quinto año y el 15% del sexto año. Todos los de tercer grado cursan ingles, el 40% de cuarto grado, 20% de quinto año y 10% de sexto. ¿Si aleatoriamente escogemos a un alumno y este cursa ingles cual es la probabilidad de que sea de cuarto grado?

RESPUESTA:

Cursa el tercer año

Cursa el cuarto año

Cursa el quinto año

Cursa el sexto año

B: Cursa ingles

Cursa tercer año y cursa Ingles

Cursa cuarto año y cursa Ingles

Cursa quinto año y cursa Ingles

Cursa sexto año y cursa Ingles

ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS.

-Espacio muestral: Es la colección de todos los datos posibles de un experimento y se representa con la letra S.

-Evento: Es cualquier subcoleccion o subconjunto de un espacio muestral S y se representa con diagrama de Venn.

Ejemplos:

Ejemplo uno:

Suponga que un experimento consiste en examinar 3 fusibles, cada fusible puede ser defectuoso “D” o no defectuoso “N”.

Listar el espacio muestral para este experimento:

b) Anotar los datos que conforman a cada uno de los experimentos siguientes:

El primer fusible esta defectuoso.

El primer fusible y el último están defectuosos.

Todos los fusibles son buenos.

Al menos un fusible esta defectuoso

A lo mas un fusible esta defectuoso

RESPUESTAS:

a) S=(NNN,NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)

D=defectuoso

N=no defectuoso

b)(DND,DNN,DDN,DDD)

(DND,DDD)

(NNN)

(NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)

= (NDN,NND,DNN,NNN)

Ejemplo dos:

Considere el experimento de tirar un dado rojo y uno negro y observar como cae; Un espacio muestral de 36 resultados posibles es como sigue donde la primera entrada es el resultado del dado rojo y la segunda la del dado negro.

S= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

a) De una descripción para los eventos siguientes:

El dado negro muestre 1= {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}

Los dados coinciden, ambos muestren el mismo numero= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

La suma de los dados es siete = {(3,4), (4,3), (5,2), (2,5), (6,1), (1,6)}

La suma de los dados es once= {(5,6), (6,5)}

Los dados muestran uno= {(1,1)}

Los dados muestran cuatro = {(4,4)}

Ejemplo tres:

Del ejemplo anterior de los dados buscar:

a) La suma es par: {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

b) La suma es divisible entre cinco: {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,5), (6,4), (4,6)}

c) La suma es un número primo: {(1,1), (1,2), (1.4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2), (5,6), (6,1), (6,5)}

d) El número del dado negro es dos unidades mayor que el del dado rojo: {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)}

e) L a suma es impar: {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)}

f) La suma no es divisible exactamente entre cinco: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

Evento no E: Si E es un evento contenido en un espacio muestral S, entonces el evento no denotado por () es el que contiene todos los resultados en S que no están contenidos en E. Ejemplo S= {(1, 2, 3, 4, 5,6)} E= {(4,6)} y = {(1, 2, 3,5)}.

Eventos compuestos: Cuando los eventos son conjuntos, los operadores de unión y de intersección pueden usarse para formar eventos compuestos; si E y F son eventos, entonces y son eventos compuestos.

: es el evento de que ocurren E o F o ambos.

: es el evento de que tanto E como F ocurran al mismo tiempo.

Ejemplos:

Ejemplo uno:

Alejandro va a una estación de servicio automotriz rápido a comprar ¼ de liquido para transmisión y un ¼ de aceite para su coche, si hay disponibles 3 marcas de liquido para transmisión (x, y, z) y 6 marcas de aceite (A, B, C, D, E, F) Alejandro puede hacer 18 compras, suponga además que las 3 marcas del liquido de transmisión y las 6 de aceite coinciden cada una en el precio. Como Alejandro no sabe mucho sobre el aceite que usa su coche decide hacer sus compras adivinando sea E el evento de que Alejandro compre la marca X o la Z del líquido de transmisión y F el evento de que compre la marca de aceite A o B. Calcule lo siguiente:

RESPUESTA:

a) El espacio muestral del experimento:

Liquido: X, Y, Z

Aceite: A, B, C, D, E, F

{(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}

b) Evento

{(Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F)}

c) Evento

{(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}

d) Evento

{(X,A), (X,B), (Z,A), (Z,B)}

E= Alejandro compre X o Z (liquido)

F= Alejandro compre A o B (aceite)

Ejemplo dos:

Un experimento consiste en preguntar al azar a tres consumidores si compraron la marca A de mantequilla de cacahuate. Use una S para si y una N para no.

a) Espacio muestral:

S= {(SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNN)}

El evento de que al menos dos personas digan si y F el que la primera encuestada diga no, contestar los eventos siguientes:

b) E= {(SSS, SSN, SNS, NSS)}

F= {(NSS,NSN,NNS,NNN)}

c) ={(SNN,NSN,NNS,NNN)}

d) ={(SSS,SSN,SNS,NSS,NSN,NNS,NNN)}

e) = {(SSS,SSN,SNS)}

FACTORIAL:

El producto de cualquier numero entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama FACTORIAL de n y se expresa con el símbolo n!

Ejemplos:

0!= 1 (por definición)

1!= 1 (1)= 1

2!= 2 (1)= 2

3!= 3 (2) (1)= 6

4!= 4 (3) (2) (1)= 24

5!= 5 (4) (3) (2) (1)= 120

PERMUTACIONES:

Se le conoce como permutación del conjunto cuando el problema de un conteo consiste en ordenar elementos de un conjunto.

Las permutaciones se pueden clasificar en:

• Lineales: Se presenta cuando los elementos se ordenan en una fila.

• Circulares: Se presenta cuando los elementos deben ser colocados alrededor de un círculo en una secuencia cíclica o cerrada. La formula es= (n-1)!

Una ordenación de un conjunto de “n” objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos, tomados todos a la vez y es igual a n!

-Para ordenar r objetos de entre n objetos distintos:

nPr=

7, 6, 5, 4= en la calculadora seria 7 nPr 4= 840

-Para permutaciones con objetos repetidos del tipo 1, del tipo 2, del tipo 3, se utiliza la siguiente formula:

Per=

Ejemplos:

Ejemplo uno:

a) Hallar el número de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMARA.

b) ¿Cuántas de ellas principian y terminan con A?

c) ¿Cuántas tienen tres A juntas?

d) ¿Cuantas empiezan con A y terminan con M?

RESULTADOS:

a) nPr=

b) A- -4!- - A = 24

c) 4, 3, 2, 1= 24 (se toma a la A como un solo objeto)

d) A - - - - M= 12

Ejemplo dos:

a) ¿De cuantas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila?

b) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también?

c) ¿De cuantas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas?

d) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si se sientan alternados?

RESPUESTA:

a) 5!= 120

b) (2! 3!)2= 24

c) 2 4!= 48

d) (H) (M) (H) (M) (H)= 3*2*2*1*1= 12

Ejemplo tres:

a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir en un autobús?

b) Si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible?

c) Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra, ¿en cuantas formas es esto posible?

RESPUESTA:

a) 6!=

b) 4! 3!= 144

c) 6! - (5! 2)= 480

Ejemplo cuatro:

Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades son de 2,4 y 5 pasajeros respectivamente. ¿En cuantas formas es posible transportar a las nueve personas con todos los vehículos?

RESPUESTA:

2	4	5	TOT. 9
2	4	3	9
2	3	4	9
2	2	5	9
1	4	4	9
1	3	5	9

Ejemplo cinco:

Suponga que se desea determinar el numero de permutaciones de 5 objetos tomados 3 a la vez, podemos pensar este problema como el de colocar cinco objetos distintos en tres cajas.

RESPUESTA:

Aplicando la formula de

Donde r=3 y n= 5

Tenemos que:

COMBINACIONES:

Una colección de n objetos tomados r a la vez es una selección de r o de n objetos donde el orden no se toma en cuenta. (El orden no afecta).

Su formula es:

Ejemplos:

Ejemplo uno:

Una señora tiene 11 amigos de confianza:

a) ¿De cuantas maneras puede invitar a cinco de ellos a comer?

b) ¿De cuantas maneras si dos de ellos son casados y no asisten el uno sin el otro?

c) ¿De cuantas maneras si dos de ellos no la llevan bien y no asisten juntos?

RESPUESTA:

a)

b)

C)

Ejemplo dos:

Un estudiante tiene que resolver diez preguntas de 13 en un examen.

a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

b) ¿Cuántas maneras si las dos primeras son obligatorias?

c) ¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria?

d) ¿Cuántas si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?

e) ¿Cuántas si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?

RESPUESTA:

a)

b)

c)

d)

e)

Ejemplo tres:

Hay 10 puntos A, B… en un plano; en una misma línea no hay 3.

a) ¿Cuántas líneas forman los puntos?

b) ¿Cuántas líneas no pasan por A o B?

c) ¿Cuántos triángulos determinan los puntos?

d) ¿Cuántos triángulos de estos se forman con los puntos A?

e) ¿Cuántos triángulos contienen el la AB?

RESPUESTA:

a)

b)

c)

d)

e)

TEORIA CLASICA DE LA PROBABILIDAD

P(A)=

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1) Entre mas cercano al 1 la incertidumbre es menor. Tenemos más seguridad de que ocurrirá lo previsto.

2) P (S)= 1 La probabilidad del universo es la unidad.

3) P ()= P (A) + P (B) - P (A

Ejemplos:

Ejemplo uno:

Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales, 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad (p) de que:

a) Ninguna sea defectuosa.

b) Una exactamente sea defectuosa.

c) Una por lo menos sea defectuosa.

RESPUESTA:

a) P (ninguna sea defectuosa)=

b) P (una exactamente sea defectuosa)=

c) P (una por lo menos sea defectuosa)=

Ejemplo dos:

Se lanza una moneda 9 veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener:

a) 4 águilas y 5 soles

b) A lo mucho 3 águilas

RESULTADO:

a) P (4a y 5s)=

b) P (a lo mucho 3a)=

PROBABILIDAD CONDICIONAL:

La probabilidad condicional se aplica en el calculo de sucesos cuando se sabe que a ocurrido otro con el cual se relacionan(los sucesos son dependientes).

Ejemplos:

Ejemplo uno:

En cierta ciudad 40% de la población tiene cabellos castaños 25% tienen ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar

a) Si tiene cabellos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños.

b) Si tiene ojos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni ojos no cabellos castaños?

RESPUESTA:

a) P (OC. /CC.)=

b) P (

c) P (

Ejemplo dos:

La victima de un accidente, morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo ARH positiva, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda 2 minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y 2 minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre ARH positivo, ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva la victima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de sangre?

RESPUESTA:

10 minutos de vida

2 minutos definir el tipo de sangre

2 minutos de transfusión

40% tiene ARH positivo

1° persona- 0.4

2° persona- 0.4

3° persona- 0.4

4° persona- 0.4

P--- 0.4+ (0.6*0.4) + (0.6*0.6*0.4) + (0.6*0.6*0.6*0.4)= 0.8704x100= 87.04%

Ejemplo tres:

Una caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 a 9 y otra caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja a azar y se saca una carta, si la carta indica un numero par se saca otra carta de la misma caja; si la carta es impar, se saca una carta de la otra caja.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números pares?

b) Si ambas cartas muestran números pares, ¿Cuál es la probabilidad de que procedan de A.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 cartas tengan números impares?

RESPUESTA:

a) P (PP)=

b) P (Proc.A/PP)=

c) P (II)=

CONCLUSIÓN:

Este tipo de teoremas, eventos, espacios, combinaciones, permutaciones entre otros son aplicables para resolver diferentes tipos de problemas tomando en cuenta cierto tipo de limitaciones o característicos del problema que el alumno entendiendo una vez el tema puede aplicar estas características que son de suma importancia para resolver diversos problemas en el área de estudio partiendo de datos reales encontrando soluciones reales. Con la finalidad de minimizar costos esfuerzos y tiempos y optimizar adecuadamente ciertos procesos logrando una mayor productividad para la empresa.

GOBIERNO DEL ESTADO DE MICHOACAN DE OCAMPO

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

PROBABILIDAD

UNIDAD TRES

MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS

ELABORADO POR: ALDO

INGENIERIA INDUSTRIAL

2° SEMESTRE

de Abril del 2007

UNIDAD TRES: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS.

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

El estudiante obtendrá, analizara y representara los resultados o soluciones obtenidas y comprenderá las características ya sea de una distribución normal, así como otras distribuciones como la de Poisson además de la Hipergeometrica, las binomial además de la binomial negativa que ayudaran para resolver los problemas tomados de situaciones tanto de área de Ingeniería así como de momentos cotidianos.

DISTRIBUCION DE PORBABILIDAD:

La variable que asocia a un numero con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como “variable aleatoria”.

Una “variable aleatoria” es una función que asigna un numero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. También la variable aleatoria es la asignación de un número con los posibles resultados de un experimento.

Una “variable aleatoria discreta” es una variable aleatoria con un rango finito o infinito contable.

La “distribución de probabilidad” o distribución de una variable aleatoria, es una descripción del conjunto de valores posibles de x, junto con la probabilidad asociada con cada una de esos valores. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria, es el resumen más útil de un experimento aleatorio; para una variable aleatoria que pueda tomar un número pequeño de valores, lo más simple es proceder como una distribución de probabilidad, listando los valores posibles junto con las probabilidades respectivas.

-Datos discretos: generalmente se cuentan enteros.

-Datos continuos: generalmente se miden intervalos.

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

Un ingeniero pide prestado el diseño de un proceso el cual cuenta con 5 claves para el arranque, intenta con cada una de las 5 claves hasta que consigue activarlo. Sea la variable x el número de intentos necesarios para arrancar el proceso. Encuentre la distribución de probabilidad.

RESOLUCION:

x	p(x)
1	1/5
2	1/4
3	1/3
4	1/2
5	1

Ejemplo dos:

En un laboratorio experimental se realizo una prueba a tres visitantes, se les pide que hagan corresponder cada una de las tres sustancias con la formula química que identifica a cada sustancia. Si un visitante asigna aleatoriamente las tres formulas a las tres sustancias, encuentre la distribución de probabilidad para Y, el numero de correspondencias correctas.

RESOLUCION:

Y	P(Y)
0	2/6
1	3/6
3	1/6

	X	Y	Z
1	x	y	z	3
/	x	z	y	1
/	z	y	x	1
/	y	x	z	1
0	z	x	y	0
0	y	z	x	0

P(y)	Y
3/6	0
2/6	1
1/6	3

Ejemplo tres:

-Cinco pelotas numeradas 1, 2, 3, 4, 5 se encuentran en una hurna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco y se anotan sus números. Encuentra la distribución de probabilidad para lo siguiente:

a) El mayor de los dos números seleccionados.

b) La suma de los dos números seleccionados.

RESOLUCION:

a)

Y	P(Y)
2	1/10
3	2/10
4	3/10
5	4/10

12
13	23
14	24	34
15	25	25	45

Ó

b)

Y	P(Y)
3	1/10
4	1/10
5	2/10
6	2/10
7	2/10
8	1/10
9	1/10
	1

DISTRIBUCION BINOMIAL:

Una distribución binomial tiene las siguientes propiedades:

1) El experimento consiste en “n” intentos repetidos.

2) Los resultados de cada uno de los intentos, pueden clasificarse como un éxito o como un fracaso.

3) La probabilidad de éxito permanece constante para todos los intentos (p).

4) Los intentos repetidos son independientes.

Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x, el número de éxitos en las “n” pruebas:

Donde:

b= probabilidad de éxito

q= 1-p probabilidad de fracaso

x= la variable aleatoria, el numero de éxitos en las n pruebas.

n= el numero de pruebas.

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

Si 20% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas, calcula la probabilidad de que en cinco piezas elegidas al azar se obtengan:

a) Una pieza defectuosa.

b) Ninguna defectuosa.

c) A lo mas dos piezas defectuosas.

RESOLUCION:

=

Con:

n=5

x=1

p=20%=0.2 piezas defectuosas.

q=1-p=1-0.2=o.8

a) P (una pieza defectuosa) =

b) Ninguna pieza defectuosa.

n=5

x=0

p=0.2

q=0.8

p (cero piezas defectuosas)

c) A lo más 2 piezas defectuosas:

n=5

x=2

p=0.2

q=0.8

p (2 piezas defectuosas)=

AHORA:

P(a lo mas 2 piezas defectuosas)= P (0 piezas defectuosas)

=0.3276+0.4096+0.2048= 0.942

Ejemplo dos:

En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robo, la necesidad de dinero para comprar droga. Encuentra la probabilidad de que dentro de los cinco próximos asaltantes reportados en esa área.

a) Entre 1 y 3 se debieron a la necesidad de dinero para comprar drogas.

b) Exactamente 2 se debieron a la necesidad de dinero para comprar drogas.

c) Cuando mucho 3 se debieron a la misma razón.

RESOLUCION:

a) p=0.75

q=0.25

n=5

x=1, 2, 3

p ()= p (1)+p (2)+p (3)

b=

b) P (2)=

0.70	0.80
0.4718	0.2627

c) p(x= F (3)-acumulado a 3=

a=x-0.4718

b=0.2627-0.4718=-0.2091

c=0.75-0.70=0.05

d=0.80-0.70=0.10

x=0.36705

Ejemplo tres:

La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9 ¿Cuál es la probabilidad?

a) De que exactamente cinco de los próximos siete pacientes sobrevivan.

b) Por lo menos dos sobrevivan de los siete pacientes.

c) Exactamente uno muera de entre los siete.

RESOLUCION:

a) p(x=5)

n=7

p=0.9

q=0.1

b=

UTILIZANDO TABLAS:

b (x=5)=F(5)-F(4)

=0.1497-0.0257=0.12

b) b (2)+b (3)+b (4)+b (5)+b (6)+b (7)=1-0=1

c) como ahora se busca la probabilidad de muerte, se intercambian las p. de éxito y fracaso. p=0.1 y q=0.9

b (x=1)=

USANDO TABLAS:

b(x=1)= 0.5503-0.4783= 0.372

p=0.1

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

Contiene las mismas propiedades indicadas para un experimento binomial, con la excepción de que los intentos se repetirán hasta que ocurra un numero determinado de éxitos, esta es, en lugar de encontrar la probabilidad de x éxitos en n intentos donde n es fijo, ahora se buscara la probabilidad de que el k-esimo éxito ocurra en el x-esimo intento.

Si repetidos intentos independientes pueden resultar en un éxito con una probabilidad P y en un fracaso con una probabilidad Q=1-P entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X el número del intento en el cual ocurre el k-esimo intento es:

donde:

x=el numero del intento en el cual ocurre el k-esimo éxito

k=numero de éxitos

p=probabilidad de éxito.

q=probabilidad de fracaso (1-p).

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja tendrá que elaborar el inventario de un almacén. Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos.

RESOLUCION:

2*2*2=8

+	+	+
+	+	-
+	-	+
-	+	+
-	-	+
-	+	-
+	-	-
-	-	-

p (1)+p (2)+p (3)

p (éxito)=6/8

p (fracaso)=2/8

si k=1 es una distribución geométrica.

g=

g (1)+g (2)+g (3)

g=

Ejemplo dos:

Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una empresa manufacturera es 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que?

a) La 6° persona escucha tal historia sea la 4° que la crea

b) La 3° persona que escucha la historia sea la 1° en creerla.

RESOLUCION:

a) x=6

k=4

b) x=3 g= (0.8) (0.2)

k=1

DISTRIBUCION DE POISSON

Un experimento de poisson contiene las siguientes propiedades:

-El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo a región específicos es independiente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto. De esta manera se dice que el proceso de poisson no tiene memoria.

-La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurran fuera de ese intervalo.

-La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña, es despreciable.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson x, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica indicada por t es:

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

El número de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo es de 4 ¿Cuál es la probabilidad de que entren:

a) 6 partículas en 1 milisegundo.

b) Entre 3 y 5 partículas en 1 milisegundo.

c) Menos de 5 partículas en 1 milisegundo.

RESOLUCION:

a) F (6)-F (5)= 0.8893-0.7851= 0.1042

FORMULA:

p(x=6)=

b) p (3

c) p (x<5)= f (4)= 0.6288

Ejemplo dos:

Si la probabilidad de que en una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0.001. Calcular la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar:

a) De exactamente 3 personas.

b) Mas de 2 presenten reacción dañina.

RESOLUCION:

a)

P(X personas sufran reacción )

con

p (3 personas sufran reacción)=

b) Mas de 2 personas.

P(mas de dos sufran reacción)

P(0 reacciona)=

P(1 reacciona)=

P(2 reacciona)=

total=

NOTA:

EN GENERAL SE APLICA LA DISTRIBUCION DE POISSON CUANDO EL NUMERO DE REPETICIONES DEL EXPERIMENTO ES AL MENOS DE 50(n) Y np ES MENOR QUE 5. EN ESTOS CASOS LA DISTRIBUCION BINOMIAL SE APROXIMA A LA DISTRIBUCION DE POISSON Y CUANDO SE APLICA ESTA, GENERALMENTESE CONOCEN LOS VALORES DE n Y p.

Ejemplo tres:

Las llamadas deservicio entran aun centro de mantenimiento y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que:

-Menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera.

RESOLUCION:

-p(x<2)=

DISTRIBUCION HIPERGEOMETIRCA

Su interés se centra en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k posibles resultados o artículos también considerados éxitos y n-x fracasos de los N-K posibles resultados o artículos también considerados fracasos, cuando una muestra aleatoria de tamaño n, se selecciona de N resultados o artículos totales.

La distribución de la variable aleatoria hipergeometrica x, el numero de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n, seleccionada de N resultados posibles, de los cuales k, son considerados como éxitos y N-K como fracaso.

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitaminas que son similares en apariencia.

Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero no sea arrestado?

n=3

N=15

k=9

x=3

Ejemplo dos:

Una compañía esta interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de dos están defectuosas ¿Que proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados?

RESOLUCION:

N=50

n=5

k=10

x=0, 1, 2

Ejemplo tres:

De un lote de10 misiles, se seleccionan 4 al azar y se lanzan. Si el lote contiene 3 misiles defectuosos que explotara ¿Cuáles la probabilidad de que…

a) los 4 exploten ?

b) a lo mas 2 fallen ?

RESOLUCION:

a) N=10

n=4

k=7

x=4

b) N=10

n=4

k=3

x=2

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CONCLUSIÓN:

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

PROBABILIDAD

UNIDAD CUATRO

MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS

ELABORADO POR:

INGENIERIA INDUSTRIAL

2° SEMESTRE

de Abril del 2007

UNIDAD CUATRO: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS.

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

El estudiante analizara y comprenderá los conceptos y características de una variable aleatoria continua, función de densidad y acumulativa y será capaz de calcular un valor esperado así como la varianza y la desviación estándar, además podrá desarrollar ciertos tipos de distribuciones como uniforme, binomial y normal así como el teorema de Chebyshev y aplicara sus propiedades a casos reales.

DISTRIBUCION NORMAL

Su grafica recibe el nombre de curva normal, es la curva en forma de campana, la cual, describe en forma aproximada, algunos fenómenos de la naturaleza, la industria y la investigación.

Una variable aleatoria continua se llama “variable aleatoria normal” si tiene la distribución en forma de campana.

Las propiedades de la curva normal son las siguientes:

-La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en X=M.

-La curva es simétrica alrededor de su eje vertical, donde se tiene la media (M).

-La curva tiene sus puntos de inflexión en x=M

-La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquier de los 2 direcciones alejándose de la media.

-El área total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1.

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

Dada una distribución normal con M=30 Y Encontrar:

a) A la derecha de x=17

b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22

c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41

d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la izquierda.

e) Los dos valores de x que contiene un intervalo central del 75% de la mitad del área de la curva normal.

RESOLUCION:

a) P(X>17)=

Entonces:

P (Z>-2.16)=1-P (Z<-2.16 (tablas))=1-0.0154=0.9846=98.46%

b) P(x<22)= P (X<-1.33)=0.0918

c) P (32<x<41)=

P (0.33<Z<1.83)= P (Z<1.83)-P (Z<0.33)=0.9664-0.6293=0.3371=33.7%

d) para 0.7995; Z=0.84

e) z---1.15

Ejemplo dos:

Estadísticas publicadas por la Nacional Highway Traffic Safety muestran que una noche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10 conductores esta ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea:

a) Menos de 32?

b) Mas de 49 ?

c) Al menos 35 pero menos de 47?

d) 35 exactamente ?

RESOLUCION:

a) Menos de 32

M=40

=6

b) Mas de 49

c) al menos 35 pero más de 47

M=40

=6

P(35<Z<47)=P34.5-P46.5=1.083-0.916=0.167=0.5636

d) 35 exactamente

P(X=35)=P (34.5<Y<35.5)=

P (Z<-0.75)-P (Z<-0.91)=0.2266-0.1844=0.0452

Ejemplo tres:

El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la Escuela medico Militar tiene una distribución normal de M=100 y una desviación estándar de 10. Calcula cuál es la proporción de reclutas que tienen un coeficiente intelectual entre 100 y 107 en términos de la calificación estándar z.

RESOLUCION:

Ahora como z es positivo y mayor que 0.5000 entonces obtenemos que:

0.5000-0.2580= 0.2420=24.20% de los alumnos tiene un coeficiente intelectual entre 100 y 107 o decir que los alumnos que se encuentran entre 100 y 107 es de 0.2420.

APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL A LA BINOMIAL

Las probabilidades que se asocian con experimentos binomiales pueden obtenerse fácilmente cuando “n” es pequeña, de la formula de la distribución binomial o de las tablas.

La distribución normal frecuentemente es una buena aproximación a la distribución discreta, cuando esta ultima toma la forma de campana simétrica.

Para aproximar propiedades binomiales cuando “n” es suficiente mente grande utilizamos el siguiente teorema:

Donde:

M=np

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

-Una moneda se lanza 400 veces, encuentre:

a) La probabilidad de obtener entre 185 y 210 caras.

b) Exactamente 205 caras.

c) Menos de 176 o más de 227 caras.

RESOLUCION:

a) n=400

p=0.5

q=0.5

M=np=(400)(0.5)=200

P

b) P(X=205)=P (204.5)

c) P (176

P ()

Ejemplo dos:

-Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras tiene un ingrediente que esta por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora.

¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz?

RESOLUCION:

p=0.05

q=0.95

n=200

M=np=200(0.05)=10

Ejemplo tres:

-Si 20% de los residentes en una ciudad prefiere un automóvil blanco que cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 automóviles que produzca la industria automotriz :

a) Entre 170 y 185 sean blancos?

b) Al menos 210 sean blancos?

p=0.2

q=0.8

n=1000

M=np=200

a)

P (169.5

b)

P (Y

TEOREMA DE CHEBYSHEV

La desviación estándar muestral S indica la dispersión de los datos respecto a la media muestral, si los valores de los datos se acumulan cerca de la media, entonces S es pequeña; si se dispersan considerablemente respecto a la media, entonces S es grande, pero ¿Cómo podemos determinar cuales valores de S son grandes y cuales son pequeños?

Un teorema que lleva el nombre del matemático Ruso Pafnuty Luovich Chebyshev (1821-1894) nos da alguna información útil sobre como la magnitud de la desviación estándar de cualquier conjunto de datos se relaciona con la concentración de estos en torno a la media, según el teorema de Chevyshev la afirmación siguiente es cierta para cualquier conjunto de datos cuantitativos, tanto poblacionales como muéstrales.

El teorema de chebyshev se describe como:

“La expresión representa la proporción mínima de los datos que dista no mas de k desviaciones estándar de la media S ”

NOTA:

Note que el resultado del calculo es una fracción, al multiplicarla por 100 se obtiene el porcentaje mínimo de los datos que no distan mas de k desviaciones estándar de la media de acuerdo con el teorema de Chevyshev para cualquier conjunto de medidas.

Ejemplos:

Ejemplo uno:

-Suponga que la asistencia promedio a un estadio de baseball de ligas mayores para juegos locales es de 35500 personas, con una desviación estándar de 4200. Use el teorema de Ch evyshev para determinar el intervalo que contenga al menos el 80% de las asistencias a los juegos locales.

RESULTADO:

Ejemplo dos:

Suponga que las calificaciones de un grupo de alumnos tiene una media de 25 y una desviación estándar de 3.2.Determinar un intervalo que contenga al menos 90% de las medidas de la muestra.

RESOLUCION:

Ejemplo tres:

Suponga que la muestra tiene como media 540 y como desviación estándar 10.5. Determinar un intervalo que contenga al menos 92% de las medidas de la muestra.

RESOLUCION:

CONCLUSIÓN:

En la mayoría de los procesos industriales intervienen diferentes variables que afectan a la línea de producción, mediante el conocimiento y la aplicación de los temas antes mencionados podemos determinar que parte del proceso esta fallando haciendo una distribución de su comportamiento que nos permita dar una solución o hacer una mejora, buscando siempre la optimización y mejor calidad.

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

PROBABILIDAD

UNIDAD CINCO

REGRESION Y CORRELACION SIMPLE

INGENIERIA INDUSTRIAL

2° SEMESTRE

De ABRIL del 2007

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

El estudiante será capaz de establecer un modelo matemático razonable que describa las relaciones entre las variables bajo estudio y será capaz de medir el grado de dicha relación, además podrá pronosticar la ocurrencia de un evento en determinado periodo de tiempo.

UNIDAD CINCO: REGRESION Y CORRELACION SIMPLE

Una curva de regresión es una función que relaciona cada valor particular x de una variable independiente x con el correspondiente valor esperado de la variable dependiente y.

Para obtener una curva de regresión es necesario establecer la distribución de probabilidad conjunta, la cual es difícil de conocer generalmente.

Existen algunos métodos para estimar la curva de regresión a partir de una muestra representativa de la población. Entre ellos se encuentra el método grafico y el método de los mínimos cuadrados.

-método grafico: se basa en un diagrama denominado de dispersión en el cual se encuentra graficados los n elementos ocultos () con i=1, 2,3… n. obtenidos de una muestra representativa.

Podemos encontrar 4 diagramas de dispersión:

De la figura a) y b) se puede considerar que la curva de regresiones una línea recta. En el inciso a) con pendiente positiva y en el inciso b) con pendiente negativa.

En el inciso c) puede suponerse una parábola como curva de regresión y en el inciso d) se puede considerar una recta horizontal pues no se percibe ninguna relación entre las variables.

El método para estimar la curva de regresión es subjetiva y cambia de una persona a otra, pero puede usarse para determinar que tipo de curva (recta, exponencial, logaritmica, etc) es la mas apropiada para estimar la curva de regresión.

EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Consiste en estimar la curva de regresión de Y dado X mediante una función de tal manera que para una muestra de tamaño n, se minimice la función.

El método de mínimos cuadrados se puede usar para aproximar funciones algebraicas a la curva de regresión, solo se tratara el ajuste de una línea recta de la forma que es la más utilizada. Se puede demostrar que los coeficientes a y b obtenidos con el método de mínimos cuadrados, son buenos estimadores de a y b.

Para encontrar los coeficientes a y b se evalúa en X=s.f. y se sustituye en la ecuación de regresión.

Y se obtiene que:

a=

b=

El método de mínimos cuadrados se basa en la distancia vertical entre los puntos de la muestra, y las ordenadas correspondientes de la recta y no toma en cuenta las distancias horizontales.

EJEMPLOS:

Ejemplo uno:

El número de ingenieros egresados de las escuelas de educación superior y el número de ingenieros recibidos del 2001 al 2007 fueron como se muestra a continuación:

AÑO	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
EGRES.(miles)	8.81	9.24	9.77	10.25	10.74	11.3	11.78
TITULADOS(miles)	3.78	3.99	4.2	4.41	4.62	4.57	5.01

MEDIANTE EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS:

A) ¿Cuál es la estimación de la recta de regresión del numero de ingenieros titulados dado el numero de egresados?

B) Si en un año egresan 20,000 estudiantes ¿Cuántos de ellos pueden esperarse que obtengan el titulo?

RESOLUCION:

A) x= Nº egresado

y= Nº titulados

x	y	s.f.
8.81	3.78	33.3	77.6161
9.24	3.99	37.0671	86.3041
9.77	4.2	41.034	95.4529
10.25	4.41	45.2025	105.0625
10.74	4.62	49.6188	115.3476
11.3	4.87	55.031	127.69
11.78	5.01	59.0178	138.7684
71.94	30.88	320.273	749.2416

a==

b=

B) ecuación de pronóstico

Ejemplo dos:

MESES	AÑO 1	AÑO 2	AÑO 3
E	15	52	?
F	18	54
M	20	55
A	25	60
M	27	61
J	30	65	?
J	32	67
A	40	68
S	45	70
O	48	75
N	50	78
D	51	83	?

a==

b==

AHORA:

=14.5688+2.7978x

PARA ENERO DEL AÑO 3

=14.5688+2.7978 (25)=84.51

PARA JUNIO DEL AÑO 3

=14.5688+2.7978 (30)=98.5025

PARA DICIEMBRE DEL AÑO 3

=14.5688+2.797(36)=115.2896

Ejemplo tres:

Con los datos siguientes encuentre la ecuación de prediccion para el año 2000 y pronostique Diciembre y Septiembre.

MES	1998	1999	2000
E	104	37
F	100	27
M	97	26
A	95	25
M	98	10
J	85	13
J	72	9
A	70	7
S	65	6	?
O	60	5
N	51	5
D	41	1	?

a==

b==

PARA SEPTIEMBRE DEL2000

=109.7572+ (-5.0839) (33)=-58.0115

PARA DICIEMBRE DEL 2000

=109.7572+ (-5.0839) (36)=-73.2632

DISTRIBUCION t DE STUDENT

Ejemplos:

-Ejemplo uno:

Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes de 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmar toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre -t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Que conclusión estriaría de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimiento es aproximadamente normal.

Solución:

Tabla= t 0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711 si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre -1.711 y 1.711 se calcula:

Es un valor arriba de 1.711 si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximado de 0.02. De esto se concluye el fabricante de que el proceso produce un mejor producto del que se piensa.

CONCLUSIÓN:

Mediante el método de mínimos cuadrados podemos hacer que una curva de dispersión tenga una tendencia lineal que nos sea mas favorable para un resultado esperado, también nos es de mucha utilidad para pronosticar las fachas en un sistema de producción o las ventas de determinado producto en un periodo de tiempo establecido, en fin estos métodos son de mucha importancia y de mucha aplicación para la industria.

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UNIDAD I ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1.- Los totales anuales en miles de millones de dólares para las exportaciones agrícolas de Estados unidos de América de 1996 a 2006 son de 21.9, 21.9, 23.0, 23.6, 29.4, 34.7, 41.2, 43.3, 39.1, y 33.7, Determinar la media, moda, mediana y rango medio.

R= Media:31.18

Mediana: 31.55

Moda: 21.9

Rango medio: 32.6

2.- Los datos siguientes son las docenas/mes de calcetines fabricados en Cannon, mills:

104,102,85,60,93,103,94,97,81,75,79,104,97,95,65,75,89,104,103,100,90,104,71,69,88.

-Encontrar las medidas de tendencia central.

R=

89.08

Me=93

Moda=104

Rango medio= 82

3.- La población de un pueblo cercano a la ciudad de Uruapan en los últimos 5 años a sido de 3 200 000 habitantes a 3 570 000 habitantes.

Calcular la tasa de crecimiento total en los 5 años y el promedio anual.

R=

En 5 años=0.1156x100= 11.56%

Anual= 0.0192x100= 1.92%

4.- Se toman los datos de dos obreros donde se arma una pieza, el primero lo logra en tres días seguido del segundo que logra el objetivo en cuatro días. Calcular el rendimiento de un trabajador representativo de los rendimientos de los dos obreros.

R=

Rendimiento representativo=

5.- En la tabla siguiente se representan las longitudes en centímetros de ochenta piezas de madera que fueron seleccionadas en una bodega. Presentar datos en forma resumida y ordenada .Obtener sus frecuencias, sus medidas de tendencia central y sus medidas de dispersión así como su curtosis y sus coeficientes de asimetría.

50.1 50.6 51.1 50.8 52.2 51.9 51.2 52

50.6 49.1 51.8 51 50.8 51.8 51.1 49.7

50.7 51.4 51.9 50.4 51.7 51 49.5 52

51.1 51.8 50.3 51.5 51.7 50.3 49.9 49.7

52 51.3 51.1 50.8 49.4 50.3 51.1 51.2

50.8 51.5 51.1 51.2 50.3 51.3 51.7 51.8

51.4 51 51.7 50.1 52.1 51 52.8 51.1

49.9 50.9 50.2 51.5 51 50.2 49.6 51.3

51.8 50.3 50.5 51.7 51.7 50.4 49.6 51.2

51.3 51.2 51.6 51.5 51.9 51.6 53.1 51.8

R=

Clases limites de clase tr fr Cuenta

I 49-<50 49.5 9 IIII/ IIII

II 50-<51 50.5 20 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/

III 51-<52 51.5 44 IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII/ IIII

IV 52-<53 52.5 6 IIII/ I

V 53-<54 53.5 2 I

80

FREC. REL FREC. REL. ACUMULADA

Fr

0.112 0.112

0.25 0.362

0.055 0.912

0.075 0.987

0.0125 1

51.125

Me= 51.25

Mo= 51.23

Rango= 4

Varianza= 1.1843

Desviación estándar= 1.088

Coeficiente de asimetría= -0.29

0.6731

-0.1621

1.4201

Curtosis= 0.134

6.- Del ejercicio anterior realizar una grafica de Ojiva

Fr	Limite de clase
49	0
50	0.112
51	0.25
52	0.55
53	0.75
54	1

7.- La tabla siguiente muestra los costos por litro de gasolina de alto octanaje en las ciudades del mundo.

CIUDADES COSTO X LITRO

Ámsterdam 57

Bruselas 53

Buenos aires 38

Hong kong 57

Johannesburgo 48

Londres 56

Madrid 59

Manila 46

México 25

Montereal 47

Nairobi 57

New Cork 40

Oslo 65

Paris 58

Rió de Janeiro 42

Roma 76

Singapur 59

Sydney 43

Tokio 79

Obtener las medidas de dispersión:

R=

SS=3011

167.2

S=12.9

Rango= 54

=53.15

DM=-.2552

8.- Los datos a continuación hacen referencia al número de cigarros fumados durante un fin de semana por un grupo de quince fumadores:

X	10	15	17	20	22
F	1	3	5	2	4

-Obtener las medidas de dispersión así como sus frecuencias.

R=

X f fx

10 1 10 100 100

15 3 45 225 675

17 5 85 289 1445

20 2 40 400 800

22 4 88 484 1936

=17.8

SS=167.74

11.98

S=3.46

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UNIDAD II FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

1.- En una empresa de circuitos para computadora se toman encuentra la producción de tres grupos de trabajadores el primero A produce el 68% de la producción total de la maquiladora mientras que el grupo B produce el 32% del total. Obteniendo que el grupo A el 2% de su producción es defectuosa en tanto el del grupo B el 5%.

¿Calcular la probabilidad de que al revisar al azar un circuito sea defectuoso y la probabilidad de que al revisar aleatoriamente un circuito defectuoso este provenga del grupo B?

R=Probabilidad (defectuoso)=2.96%, -Provenga de grupo B= 54.05%

2.- Suponga que un experimento consiste en examinar 3 fusibles, cada fusible puede ser defectuoso “D” o no defectuoso “N”.

a) Listar el espacio muestral para este experimento:

b) Anotar los datos que conforman a cada uno de los experimentos siguientes:

El primer fusible esta defectuoso.

El primer fusible y el último están defectuosos.

Todos los fusibles son buenos.

Al menos un fusible esta defectuoso

A lo mas un fusible esta defectuoso

R= a) =(NNN,NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)

b) (DND,DNN,DDN,DDD)

(DND,DDD)

(NNN)

(NDN,NND,NDD,DND,DNN,DDN,DDD)

= (NDN, NND, DNN, NNN)

3.- Alejandro va a una estación de servicio automotriz rápido a comprar ¼ de liquido para transmisión y un ¼ de aceite para su coche, si hay disponibles 3 marcas de liquido para transmisión (x, y, z) y 6 marcas de aceite (A, B, C, D, E, F) Alejandro puede hacer 18 compras, suponga además que las 3 marcas del liquido de transmisión y las 6 de aceite coinciden cada una en el precio. Como Alejandro no sabe mucho sobre el aceite que usa su coche decide hacer sus compras adivinando sea E el evento de que Alejandro compre la marca X o la Z del líquido de transmisión y F el evento de que compre la marca de aceite A o B. Calcular lo siguiente:

a) El espacio muestral del experimento:

b) Evento

c) Evento

d) Evento

R= a) {(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Y,C), (Y,D), (Y,E), (Y,F), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}

b) Y,A), (Y, B), (Y, C), (Y, D), (Y, E), (Y, F)}

c) {(X,A), (X,B), (X,C), (X,D), (X,E), (X,F), (Y,A), (Y,B), (Z,A), (Z,B), (Z,C), (Z,D), (Z,E), (Z,F)}

d) {(X, A), (X, B), (Z, A), (Z, B)}

4.- a) Hallar el número de permutaciones diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra CAMARA.

b) ¿Cuántas de ellas principian y terminan con A?

c) ¿Cuántas tienen tres A juntas?

d) ¿Cuantas empiezan con A y terminan con M?

R= a) 120, b) 24, c) 24 (se toma a la A como un solo objeto), d) 12

5.- Se lanza una moneda 9 veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener:

a) 4 águilas y 5 soles

b) A lo mucho 3 águilas

R=a) P (4a y 5s)= 0.24, b) P (a lo mucho 3a)= 0.25

6.- Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehículos cuyas capacidades son de 2,4 y 5 pasajeros respectivamente. ¿En cuantas formas es posible transportar a las nueve personas con todos los vehículos? R= 4410

7.- Una señora tiene 11 amigos de confianza:

a) ¿De cuantas maneras puede invitar a cinco de ellos a comer?

b) ¿De cuantas maneras si dos de ellos son casados y no asisten el uno sin el otro?

c) ¿De cuantas maneras si dos de ellos no la llevan bien y no asisten juntos?

R= a) 462, b) 210, C) 378

8.- Un estudiante tiene que resolver diez preguntas de 13 en un examen.

a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

b) ¿Cuántas maneras si las dos primeras son obligatorias?

c) ¿Cuántas si una de las dos primeras es obligatoria?

d) ¿Cuántas si tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras?

e) ¿Cuántas si tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras?

R= a) 286, b) 165, c) 110, d) 80, e) 276

9.- Se escogen al azar tres lámparas entre 15 de las cuales, 5 son defectuosas. Hallar la probabilidad (p) de que:

a) Ninguna sea defectuosa.

b) Una exactamente sea defectuosa.

c) Una por lo menos sea defectuosa.

R= a) P (ninguna sea defectuosa)= 26%

b) P (una exactamente sea defectuosa)= 49%

c) P (una por lo menos sea defectuosa)= 0.73

10.- En cierta ciudad 40% de la población tiene cabellos castaños 25% tienen ojos castaños y 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar

a) Si tiene cabellos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños.

b) Si tiene ojos castaños ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni ojos no cabellos castaños?

R=a) P (OC. /CC.)=

b) P (

c) P (

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UNIDAD TRES MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS DISCRETOS.

1.- Un ingeniero pide prestado el diseño de un proceso el cual cuenta con 5 claves para el arranque, intenta con cada una de las 5 claves hasta que consigue activarlo. Sea la variable x el número de intentos necesarios para arrancar el proceso. Encuentre la distribución de probabilidad.

R=

x	p(x)
1	1/5
2	1/4
3	1/3
4	1/2
5	1

2.- Si 20% de las piezas de televisión que fabrica una maquinaria recientemente reparada son defectuosas, calcula la probabilidad de que en cinco piezas elegidas al azar se obtengan:

a) Una pieza defectuosa.

b) Ninguna defectuosa.

c) A lo mas dos piezas defectuosas.

R=

a) 0.4096

b) 0.3276

c) 2 piezas= 0.2048

P(a lo mas 2 piezas defectuosas)= P (0 piezas defectuosas)

=0.3276+0.4096+0.2048= 0.942

3.- Tres personas lanzan una moneda y la que salga dispareja tendrá que elaborar el inventario de un almacén. Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos.

R=0.9843

4.- El número de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo es de 4 ¿Cuál es la probabilidad de que entren:

a) 6 partículas en 1 milisegundo.

b) Entre 3 y 5 partículas en 1 milisegundo.

c) Menos de 5 partículas en 1 milisegundo.

R= a) 0.1042

b) 0.547

c) 0.6288

5.- Si la probabilidad de que en una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0.001. Calcular la probabilidad de que un total de 3000 pacientes sufran el malestar:

a) De exactamente 3 personas.

b) Mas de 2 presenten reacción dañina.

R= a) 0.2240

b) 0.751

6.- Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitaminas que son similares en apariencia.

Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero no sea arrestado?

R=0.1846

7.- Una compañía esta interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de dos están defectuosas ¿Que proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados?

R= 0.95

8.- En un laboratorio experimental se realizo una prueba a tres visitantes, se les pide que hagan corresponder cada una de las tres sustancias con la formula química que identifica a cada sustancia. Si un visitante asigna aleatoriamente las tres formulas a las tres sustancias, encuentre la distribución de probabilidad para Y, el numero de correspondencias correctas

R= RESOLUCION:

Y	P(Y)
0	2/6
1	3/6
3	1/6

	X	Y	Z
1	x	y	z	3
/	x	z	y	1
/	z	y	x	1
/	y	x	z	1
0	z	x	y	0
0	y	z	x	0

P(y)	Y
3/6	0
2/6	1
1/6	3

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UNIDAD CUATRO: MODELOS ANALITICOS DE FENOMENOS ALEATORIOS CONTINUOS.

1.- Dada una distribución normal con M=30 Y Encontrar:

a) A la derecha de x=17

b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22

c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41

d) El valor de x que tiene el 80% del área de la curva normal a la izquierda.

e) Los dos valores de x que contiene un intervalo central del 75% de la mitad del área de la curva normal.

R: a) 0.9846=98.46%

b) 0.0918

c) Z1=0.33

Z2= 1.83

0.3371=33.7%

d) 35.04

e) X1=23.1

X2= 36.9

2.- Estadísticas publicadas por la Nacional Highway Traffic Safety muestran que una noche de fin de semana, en promedio, 1 de cada 10 conductores esta ebrio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado ¿Cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea:

a) Menos de 32?

b) Mas de 49?

c) Al menos 35 pero menos de 47?

d) 35 exactamente?

R=a) -1.47 (tablas)=0.0793

b) 0.0571

c) Z1=1.083 Z2=-0.916=0.167=0.5636

d) Z1=-0.91 Z2=-0.75=0.2266-0.1844=0.0452

3.- El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la Escuela medico Militar tiene una distribución normal de M=100 y una desviación estándar de 10. Calcula cuál es la proporción de reclutas que tienen un coeficiente intelectual entre 100 y 107 en términos de la calificación estándar z. Interpretar el resultado.

R= 0.70

Ahora como z es positivo y mayor que 0.5000 entonces obtenemos que:

0.5000-0.2580= 0.2420=24.20% de los alumnos tiene un coeficiente intelectual entre 100 y 107 o decir que los alumnos que se encuentran entre 100 y 107 es de 0.2420.

4.- Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras tiene un ingrediente que esta por debajo de la dosis mínima, lo que vuelve ineficaz a la píldora.

¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz?

R= 0.4364

5.- Si 20% de los residentes en una ciudad prefiere un automóvil blanco que cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 automóviles que produzca la industria automotriz:

a) Entre 170 y 185 sean blancos?

b) Al menos 210 sean blancos?

R= a) 0.1191

b) 0.2266

6.- Suponga que la asistencia promedio a un estadio de baseball de ligas mayores para juegos locales es de 35500 personas, con una desviación estándar de 4200. Use el teorema de Ch evyshev para determinar el intervalo que contenga al menos el 80% de las asistencias a los juegos locales.

R= X1= 26134

X2= 44866

7.- Suponga que las calificaciones de un grupo de alumnos tiene una media de 25 y una desviación estándar de 3.2.Determinar un intervalo que contenga al menos 90% de las medidas de la muestra.

R= 15.11-35.11

8.- Suponga que la muestra tiene como media 540 y como desviación estándar 10.5. Determinar un intervalo que contenga al menos 92% de las medidas de la muestra.

R=

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UNIDAD CINCO: REGRESION Y CORRELACION SIMPLE

1.- El número de ingenieros egresados de las escuelas de educación superior y el número de ingenieros recibidos del 2001 al 2007 fueron como se muestra a continuación:

AÑO	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
EGRES.(miles)	8.81	9.24	9.77	10.25	10.74	11.3	11.78
TITULADOS(miles)	3.78	3.99	4.2	4.41	4.62	4.57	5.01

Mediante el método de mínimos cuadrados obtener:

A) ¿Cuál es la estimación de la recta de regresión del numero de ingenieros titulados dado el numero de egresados?

B) Si en un año egresan 20,000 estudiantes ¿Cuántos de ellos pueden esperarse que obtengan el titulo?

R=

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LABORATORIO DE CIENCIAS EXPERIMENTALES

Practica Nº

Nombre de la práctica: Medidas de tendencia central y de Dispersión.

Introducción:

¿Cómo se pueden realizar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión a partir de datos numéricos?

Se empieza por conocer si se debe de realizar de la forma agrupada o no agrupada esto para facilitar más la forma de poder sacar tanto las medidas de tendencia central así como las medidas de dispersión.

OBJETIVOS:

El estudiante establecerá un modelo matemático ya sea del modo agrupado o no agrupado esto para un desempeño positivo en la resolución del problema.

Hipótesis___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividades:

Dar respuesta al siguiente problema obteniendo sus medidas de tendencia central así como las de dispersión de una forma agrupada y no agrupada.

-El siguiente conjunto de datos corresponde a las faltas de 40 alumnos del tercer grado de secundaria durante todo el ciclo escolar pasado.

1,8,7,15,20,2,7,9,12,18,2,3,21,17,15,14,13,12,12,18,19,16,16,16,17,0,8,9,11,12,11,12,21,22,6,6,10,3,14,0

DATOS NO AGRUPADOS:

0	12
0	12
1	12
2	13
2	14
3	14
3	15
6	15
6	16
7	16
7	16
8	17
8	17
9	18
9	18
10	19
11	20
11	21
12	21
12	22

-rango= dato mayor-dato menor= 22-0=22

- Numero de clase= se ajusta a la clase 6

NOTA mínimo debe de haber 5 clases.

-Amplitud de clase= se ajusta a 4 la amplitud de clase.

-Moda=12 es el dato que mas se repite.

-Media=

-Mediana: 16

-Varianza:

-Desviación estándar=

-Coeficiente de variación=

MEDIDAS DE ASIMETRIA=

-Coeficiente de asimetría:

Coeficiente de asimetría:

-Curtosis=

Es menor que cero entonces es lepticurtica

DATOS AGRUPADOS:

-Rango= 22-0=22

-Amplitud de la clase=

clase	limites clase	conteo	frecuencia	tr	FREC. Relativa fr.	frec.rela.acumulada
1	0-4		7	2	0.175	0.175
2			4	6	0.1	0.275
3			7	10	0.175	0.45
4			10	14	0.25	0.7
5			8	18	0.2	0.9
6			4	22	0.1	1
total=			40		1

-Media=

Mediana=

-Moda=

Varianza=

-Desviación estándar=

-Coeficiente de asimetría:

MEDIDAS DE ASIMETRIA:

Coeficiente de asimetría=

Curtosis=

La curtosis es lepticurtica.

PROBLEMA:

Para investigar la distribución de los diámetros de ejes de acero producidos en un proceso de laminación, se midieron los diámetros de 90 vigas, como se muestran a continuación.

2.51	2.511
2.527	2.515
2.529	2.528
2.52	2.53
2.535	2.522
2.533	2.521
2.525	2.527
2.531	2.519
2.518	2.527
2.517	2.519
2.536	2.521
2.523	2.543
2.514	2.532
2.523	2.502
2.51	2.522
2.515	2.522
2.545	2.519
2.527	2.529
2.522	2.532
2.506	2.536
2.523	2.538
2.512	2.526
2.526	2.53
2.542	2.535
2.52	2.542
2.524	2.529
2.511	2.528
2.522	2.543
2.541	2.529
2.523	2.518
2.534	2.523
2.525	2.522
2.524	2.54
2.519	2.54
2.522	2.522
2.519	2.519
2.51	2.525
2.512	2.524
2.519	2.534
2.526	2.52
2.532	2.514
2.53	2.528
2.526	2.528
2.52	2.513
2.531	2.521

EN FORMA DE DATOS AGRUPADOS SE OBTIENE:

-Rango: 2.545-2.502=0.043

-Amplitud de clase: A=

0.005+2.502= 2.507

CLASE	LIMITES	CONTEO	fr	ir	fr.	FR
1	2.502-2.507	i.e.	2	2.504	0.0222	0.0222
2	2.507-2.512	lllll	5	2.509	0.0555	0.0777
3	2.512-2.517	lllllll	7	2.514	0.0777	0.1554
4	2.517-2.522	lllllllllllllllll	17	2.519	0.1888	0.3442
5	2.522-2.527	lllllllllllllllllllllll	23	2.524	0.2555	0.5997
6	2.527-2.532	lllllllllllllllll	17	2.529	0.1888	0.7885
7	2.532-2.537	llllllllll	10	2.534	0.111	0.8995
8	2.537-2.542	llll	4	2.539	0.0444	0.9439
9	2.542-2.547	lllll	5	2.544	0.0555	1
		90	90

-Media Aritmetica:

-Mediana==

k=5

-Moda=

-Varianza=

=12.826-6.3705=6.456

-Desviación estándar= SX=

-Coeficiente de variación=

-Coeficiente de Asimetría:

-Curtosis=

AHORA CON DATOS NO AGRUPADOS:

-Media:

-Moda= 2.522

-Mediana=

-Amplitud o Rango= (DATOS MAYOR-DATOS MENOR)

= 2.545-2.502=0.043

-Varianza=

-Desviación estándar=

-Coeficiente de variabilidad=

-Coeficiente de asimetría=

1.16

4.41

13.26

-Curtosis=

FORMULARIO:

DATOS AGRUPADOS:

-RANGO= DATO MAXIMO-DATO MINIMO

-Amplitud de clase: A=

Media Aritmetica:

-Mediana==

h= valor de cada clase

-Moda=

j=al subíndice que corresponde a la clase modal

Al límite interior del intervalo j

-Varianza=

-Desviación estándar= SX=

-Coeficiente de variación=

-Coeficiente de Asimetría:

-Curtosis=

AHORA CON DATOS NO AGRUPADOS:

-Media:

Moda: el numero que se repite mas veces.

Mediana=

-Amplitud o Rango= (DATOS MAYOR-DATOS MENOR)

-Varianza=

-Desviación estándar=

-Coeficiente de variabilidad=

-Coeficiente de asimetría=

-Curtosis=

k= al subíndice que corresponde al intervalo de clase que contiene a la mediana

= a la frecuencia relativa acumulada hasta el intervalo k-1

F´K= a la frecuencia relativa del intervalo k

h= al tamaño del intervalo de clase.

Li= al limite inferior del intervalo k