Matemáticas

Probabilidad

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RESUMEN PROBABILIDAD

OPERACIONES CON SUCESOS:

Unión Intersección Diferencia Diferencia Diferencia simétrica

(A o B) (A y B) (Sólo suceso A) (Sólo suceso B) (Sólo suceso A o B)

PROPIEDADES DE SUCESOS:

Distributiva: A " (B U C) = (A " B) U (A " C) Leyes de Morgan:

A U (B " C) = (A U B) " (A U C)

LEY DE LAPLACE: PROBABILIDAD DEL SUCESO A

Siempre se debe cumplir que: 0 " P(A) " 1

PROBABILIDAD DEL SUCESO CONTRARIO: P() = 1 - P(A)

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A"B)

Si dos sucesos A y B son incompatibles, P(A"B) = 0 P(AUB) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA: ó

Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A) ó p(B/A) = P(B)

PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN: P(A"B) = P(A/B) · P(B) ó P(A"B) = P(A) · P(B/A)

Si dos sucesos A y B son independientes p(A/B) = P(A), luego quedaría: P(A"B) = P(A) · P(B)

AYUDA PARA RESOLVER EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

a) Diagramas de Venn: Por ejemplo

Probabilidad de la diferencia: P(A-B) = P(A) - P(A"B)

Probabilidad de la diferencia simétrica: P(AB) = P(A - B) + P(B - A) ó P(AB) = P(AUB) - P(A"B)

	A		Total
B			P(B)
			P()
Total	P(A)	P()	1

b) Tablas de contingencia:

c) Diagramas de árbol:

SEPTIEMBRE 00/ BLOQUE 1 / EJERCICIO B

En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B. La probabilidad de que no se verifique A es 0,1. La probabilidad de que no se verifique B es 0,4. La probabilidad de que no se verifique A ni B es 0,04. Hallar la probabilidad de que:

1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

2º) Se verifique el suceso A y se verifique el suceso B. ¿Son independientes los sucesos A y B?

Solución:

Se tiene:

P() = 0,1 P(A) = 1 - P() = 1 - 0,1 = 0,9

P() = 0,4 P(B) = 1 - P() = 1 - 0,4 = 0,6

P() = 0,04

1º) P(AUB) = 1 - P() = 1 - 0,04 = 0,96

2º) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A"B) P(A"B) = P(A) + P(B) - P(AUB)

P(A"B) = 0,9 + 0,6 - 0,96 = 0,54

Dos sucesos son independientes si p(A/B) = P(A)

P(A) = 0,9

P(A/B) = P(A"B) / P(B) = 0,54 / 0,6 = 0,9

Luego como son iguales los resultados, los sucesos son independientes.

También lo podríamos haber comprobado de la siguiente manera:

De la definición: P(A/B) = P(A"B) / P(B) , despejando P(A"B) , queda

P(A"B) = P(A/B) · P(B) , y si A y B son independientes quedaría:

P(A"B) = P(A) · P(B)

Como P(A)·P(B) = 0,9 · 0,6 = 0,54, y coincide con el resultado de P(A"B), los sucesos son independientes.

SEPTIEMBRE 00. BLOQUE 4 / EJERCICIO A

A) Una caja contiene 7 tarjetas de la misma forma y tamaño: 4 de color amarillo y 3 de color rojo. Se extrae de ella al azar una tarjeta, se anota su color y sin devolverla a la caja extraemos de ésta una segunda tarjeta. Se pide:

1º) Escribir el espacio muestral.

2º) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral.

Solución:

1º) Si A designa el suceso sacar tarjeta amarilla y R el suceso sacar tarjeta roja, se tiene:

E = {AA, AR, RA, RR}

2º) Podríamos hacer un diagrama de árbol de los sucesos posibles:

1ª Extracción 2ª Extracción

JUNIO 04. BLOQUE 2 / EJERCICIO B

En una determinada asignatura hay matriculados 2500 alumnos. En Junio se presentaron 1800 de los que aprobaron 1015, mientras que en Septiembre, de los 700 que se presentaron, suspendieron 270. Elegido al azar un alumno matriculado en esa asignatura, 1) calcula la probabilidad de que la haya aprobado. 2) Si ha suspendido la asignatura, cuál es la probabilidad de haberse presentado en Septiembre.

Solución:

Toda la dificultad del ejercicio está en saber organizar los datos. Lo podríamos hacer directamente, o bien, ayudándonos con una tabla de contingencia o con un diagrama de árbol.

a) Intentamos resolver el ejercicio directamente:

1) Si A designa el suceso aprobar la asignatura, nos piden la probabilidad de elegido un alumno al azar de los que se han matriculado que haya aprobado la asignatura, que designaremos p(A).

Aplicando directamente la ley de Laplace de las probabilidades, tendremos:

En nuestro caso, el número total de alumnos que se han matriculado es 2500, de ellos han aprobado, 1015 en junio y 700 - 270 = 430 en Septiembre, en total 1015 + 430 = 1 445 han aprobado, luego

2) La segunda pregunta es el cálculo de la probabilidad de que el alumno se hubiera presentado en Septiembre condicionada a que hubiera suspendido la asignatura, es decir, necesitamos saber de todos los alumnos que han suspendido cuantos los han hecho en Septiembre.

Calculamos el número de alumnos suspensos: en Junio suspendieron 1800 - 1015 = 785 y en Septiembre 270, luego suspendieron 785 + 270 = 1055.

En resumen de 1055 alumnos suspendidos, 270 lo hicieron en Septiembre, luego,usando de nuevo la ley de Laplace, quedaría:

P(Si ha suspendido la asignatura, haberse presentado en Septiembre)=

b) Podríamos haber resuelto el ejercicio construyendo una tabla de contingencia, de la siguiente manera:

	A=APROBADOS	S=SUSPENSOS	TOTALES
J=JUNIO	1015	1800 - 1015 = 785	1800
E=SEPTIEMBRE	700-270 = 430	270	700
TOTALES	1445	1055	2500

c) Se podría haber resuelto, también, haciendo un diagrama de árbol, pero, quizás, en este caso no sería la forma más aconsejada.

JUNIO 04. BLOQUE 4 / EJERCICIO A

En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5 alumnos, las Matemáticas las aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, Calcula la probabilidad de que: 1) suspenda esas tres asignaturas. 2) suspenda sólo una de ellas.

Solución:

Si definimos los siguientes sucesos:

B = {aprobar Biología}; M = {aprobar Matemáticas}; L = {aprobar Lengua}

={suspender Biología}; = {suspender Matemáticas} ; = {suspender Lengua}.

Tenemos las siguientes probabilidades:

P(B) = 4/5 ; P() = 1 - P(B) = 1 - 4/5 = 1/5

P(M) = 2/3 ; P() = 1 - P(M) = 1 - 2/3 = 1/3

P(L) = 3/5 ; P() = 1 - P(L) = 1 - 3/5 = 2/5

1) P(suspender las tres asignaturas) = P("")= P()·P()·P() , ya que los tres sucesos son independientes =

2) P(suspender sólo una de ellas):

P(suspender sólo Biología y aprobar las otras dos) = P("M"L) =

P(suspender sólo Matemáticas y aprobar las otras dos) = P(B""L) =

P(suspender sólo Lengua y aprobar las otras dos) = P(B"M") =

La probabilidad de suspender sólo una de ellas es igual a la suma de las tres anteriores:

P(suspender sólo una de ellas)= P(suspender sólo Biología o suspender sólo Matemáticas o suspender sólo Lengua)= P[("M"L) U (B""L) U (B"M") ] = P("M"L) + P(B""L) + P(B"M") =

JUNIO 01. BLOQUE 4 / EJERCICIO A

Un estuche contiene 5 lápices de igual forma y tamaño: 2 de color azul y 3 de color verde. Se extrae un lápiz del estuche ya a continuación, sin reemplazamiento, se extrae otro lápiz. Se pide:

a) Escribir los sucesos elementales que definen los sucesos M = “Sólo ha salido un lápiz de color verde” y N = “El segundo lápiz extraído es de color azul”

b) Calcula las probabilidades de los sucesos M, N y M"N.

c) Estudia la independencia de los sucesos M y N. Razona la respuesta.

Solución:

a) Llamamos: a = lápiz azul; v = lápiz verde

el espacio muestral sería, E = {(a,a),(a,v),(v,a),(v,v)}

M = {(a, v), (v, a)}

N = {(a, a), (v, a)}

b) La probabilidad de cada suceso elemental es:

P(a,a) = ; P(a,v) = ; P(v,a) = ; P(v,v) =

Con esto:

p(M) = p(a, v) + p(v, a) =

P(N) = p(a, a) + p(v, a) =

p(M"N) = p(v, a) =

c) Como hemos visto en ejercicios anteriores si se cumple que P(A"B) = P(A) · P(B) , A y B son independientes.

p(M) · p(N) = ; y p(M"N) = ,

luego como son distintos, los sucesos M y N no son independientes.

SEPTIEMBRE 01. BLOQUE 4 / EJERCICIO A

Los atletas veteranos de un club de atletismo tienen la siguiente preferencia referente a su participación en distintos tipos de carreras.

El 70% suele participar en carreras de maratón (42 km 195 m)

El 75% suele participar en carreras de media maratón (21 km 97,5 m)

El 13% no suele participar en estos tipos de carreras.

Se elige al azar uno de estos atletas. Calcula la probabilidad de que:

(a) Suela participar en carreras de maratón o de media maratón.

(b) Suela participar en carreras de maratón y de media maratón.

Solución:

a) Llamamos M a participar en la maratón y N a participar en la media maratón. Se tienen las siguientes probabilidades:

P(M) = 0,7 ; P(N) = 0,75 ; P() = 0,13

(a) Es la probabilidad del suceso MUN.

P(MUN) = 1 - P() = 1 - 0,13 = 0,87

(b) Es la probabilidad del suceso M"N:

P(MUN) = P(M) + P(N ) - P(M"N) P(M"N) = P(M) + P(N ) - P(MUN) = 0,7 + 0,75 - 0,87 = 0,58

P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M)

P(M - N) = P(M) - P(M"N) = 0,7 - 0,58 = 0,12

P (N - M) = P(N) - P(M"N) = 0,75 - 0,58 = 0,17

Luego P[(M - N) U (N - M)] = P(M - N) + P (N - M) = 0,12 + 0,17 = 0,29

Si hacemos un diagrama de Venn:

Del diagrama de Venn podemos observar que:

P[(M - N) U (N - M)] = P(MUN) - P(M"N) = 0,87 - 0,58 = 0,29

JUNIO 01. BLOQUE 2 / EJERCICIO A

Se dispone de un dado trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3, 4, de modo que p(4) = 4p(1), p(3) = 3 p(1), p(2) = 2p(1), en donde p(4) indica la probabilidad de obtener la puntuación 4 y así sucesivamente. Se dispone también de dos urnas con las siguientes composiciones: Urna U1: 1 bola roja y 2 bolas verdes. Urna U2: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.

Se lanza el dado. Si sale número par extraemos una bola de la urna U1. Si sale impar extraemos una bola de la urna U2. Se pide:

a) Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras.

b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea de color verde.

Solución:

a) Si p = p(1), se tendrá que:

p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1 p + 2p + 3p + 4p = 1 10 p = 1 p = 1/10

Luego: p(1) = 1/10 ; p(2) = 2/10 ; p(3) = 3/10 ; p(4) = 4 /10

Además: p(par) = 6/10 = 3/5 = p(U1) ; p(impar) = 4/10 = 2/5 = p(U2)

b) p(verde) = p(v) = p(U1) · p(v/U1) + p(U2) · p(v/U2) =

JUNIO 00. BLOQUE 4 / EJERCICIO A

Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 0,4. La 2ª moneda tiene dos cruces y la 3ª también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0,6. Se pide:

1º) Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, sucesivamente, y en el orden indicado.

2º) Probabilidad de que se obtengan exactamente dos cruces.

3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)”

4º) Probabilidad de obtener, al menos, una cara.

Solución:

Si C={suceso salga cara} X = {suceso salga cruz}, tendremos :

Moneda 1: P(C) = 0,4 ; P(X) = 0,6

Moneda 2: P(C) = 0 ; P(X) = 1

Moneda 3: P(C) = 0,6 ; P(X) = 0,4

1º) E = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C), (X, X, X)}

2º) “exactamente dos cruces” = {(C, X, X), (X, X, C)}

P((C, X, X), (X, X, C)) = 0,4 · 1 · 0,4 + 0,6 · 1 · 0,6 = 0,52

3º) Probabilidad del suceso A = “(cara, cruz, cara)” = {(C, X, C)}

P(A) = 0,4 · 1 · 0,6 = 0,24

4º) “obtener, al menos, una cara” = {(C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)}

P((C, X, C), (C, X, X), (X, X, C)) = 1 - P(X, X, X) = 1 - 0,6 · 1 · 0,4 = 0,76

JUNIO 00. BLOQUE 3 / EJERCICIO B

En un experimento aleatorio, la probabilidad de un suceso A es dos veces la probabilidad de otro suceso B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del suceso contrario de B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcular la probabilidad de que:

1º) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B.

2º) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B.

3º) ¿Son independientes los sucesos A y B?

Solución:

Tenemos:

P(A) = 2P(B) ; P(A) + P() = 1,3 ; P(A"B) = 0,18

De: P(A) + P() = 1,3 y como P() = 1 - P(B) , resulta P(A) + 1 - P(B) = 1,3.

Como, también, P(A) = 2P(B) 2P(B) + 1 - P(B) = 1,3 P(B)=1,3 -1 = 0,3 P(A) = 2P(B) = 0,6

1º) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A"B) = 0,6 + 0,3 - 0,18 = 0,72

2º) Por una de las leyes de Morgan:

= 1 - P(A"B) = 1 - 0,18 = 0,82

3º) Como P(A"B) = 0,18 y P(A) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18, los sucesos A y B son independientes

SEPTIEMBRE 01. BLOQUE 1 / EJERCICIO A

Se dispone de dos urnas iguales con el siguiente contenido,

Urna P: 4 bolas amarillas y 6 bolas granates

Urna Q: 5 bolas amarillas y 7 bolas granates.

Se dispone de un dado cúbico con las siguientes puntuaciones: 1, 1, 2, 2, 2, 3. Se lanza el dado. Si sale el número 1 se extrae una bola de la urna P. En los demás casos la bola se extrae de la urna Q. Se pide la probabilidad de que:

a) Al lanzar el dado se obtenga una puntuación mayor de 1.

b) Al tomar una bola de la urna P sea de color granate.

c) Al extraer una bola, después de lanzar el dado, se obtenga de color amarillo

Solución:

a) Para el dado se tiene: P(1) = 2/6 = 1/3 ; P(2) = 3/6=1/2 ; P(3) = 1/6

P(>1) = P(2) + P(3) = 3/6 + 1/6 = 4/6= 2/3

b) P(Granate/Urna P ) = 6/10 = 3/5

c) P(amarilla) = P(1) · P(amarilla/Urna P) + P(>1) · P(amarilla/Urna Q) =

A P(AA)=

(Observa que la suma de todos los resultados posibles sale 1)

R P(AR)=

R P(RR)=