TEMA 4: PROBABILIDAD BÁSICA.

TEORIA DE PROBABILIDAD

SIGNIFICADO

Es la “posibilidad” u “oportunidad” de que ocurra un hecho o fenómeno.

• Precipitaciones el fin de semana.

• Que gane el equipo XX el próximo partido.

• Que salga un número par al arrojar un dado.

La Estadística, como un método para efectuar generalizaciones o tomar decisiones ante la Incertidumbre, se basa en la Teoría de Probabilidad, porque la Probabilidad es a la vez el Lenguaje y la Medida de la Incertidumbre y los riesgos asociados con ella.

CONCEPTOS BÁSICOS

• Experimento Aleatorio

Un experimento se considera aleatorio o estocástico si sus resultados son inciertos.

• Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Es un conjunto universal y se simboliza con S.

Ejemplo: el experimento consiste en arrojar un dado

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Punto Muestral

Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Suceso, hecho o evento

Es un subconjunto del espacio muestral S. Un suceso E definido en un espacio muestral se dice que es simple o elemental si contiene un solo punto muestral en S; se dice que es compuesto si contiene más de un punto muestral.

Ejemplo: Experimento que consiste en arrojar un dado

Espacio Muestral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos Simples E1 ={1 } E2 ={2} E3= {3} E4 ={4} E5 ={5} E6 ={6}

Eventos compuestos E1 ={1, 3, 5 } E2 ={2, 4, 6 }

TEORIAS DE PROBABILIDAD

OBJETIVAS SUBJETIVAS

Clásica a Priori Clásica Empírica

o Frecuencial

• Teoría Clásica a priori

Teoría de la razón insuficiente

Cuando no hay razones para preferir uno de los posibles resultados o suceso a cualquier otro, todos deben considerarse con la misma probabilidad de ocurrencia. Entonces la probabilidad de ocurrencia de un suceso E, es:

Resultados favorables

Resultados posibles

La Teoría Clásica a priori se basa en el conocimiento anterior o previo del proceso o fenómeno.

• Teoría Clásica frecuencial

Cuando el experimento aleatorio se repite un gran número de veces (n) y el suceso ocurre (m) veces, la frecuencia relativa m/n será prácticamente (casi igual, aproximadamente) igual a P.

1er Enfoque frecuencia relativa n: grande

2do Enfoque P (E): Lim n "

La teoría frecuencial se basa en datos observados como resultado de repetir el experimento un número grande de veces.

LAS FRECUENCIAS RELATIVAS ESTABILIZAN LAS PROBABILIDADES

Ejemplo:

La moneda se arroja 200 veces; el número de caras en cada 20 ocasiones que se arroja se muestra en el cuadro que sigue. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara cuando se arroja la moneda?

• Con la base de este experimento, la mejor respuesta que puede enunciarse es que la probabilidad de que con esta moneda particular caiga cara al arrojarla es 98/200= 0,49.

La gráfica siguiente muestra el número de tiros y la frecuencia relativa acumulativa. Adviértase que la gráfica varía alrededor de la frecuencia relativa de 0.5 calculada si la moneda es ordinaria, normal o legal.

• Las fluctuaciones de las frecuencias relativas varían considerablemente, cuando n es pequeño.

• Cuando n es grande, las fluctuaciones disminuyen y la frecuencia relativa presenta regularidad estadística.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento E en un experimento aleatorio, es el valor numérico P(E) que satisface los siguientes axiomas:

Si E es un evento definitivo del espacio muestral S, entonces:

0 "P (E) " 1

Si S representa el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, entonces:

P (S)= 1

Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A" B = , entonces A y B se dice que son mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de probabilidad de sus probabilidades:

P (A " B) = P (A) + P (B)

Si A y B son dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral y, si A " B " , entonces A y B se dice que son no mutuamente excluyentes y, la probabilidad de que ocurra A ó B es la suma de probabilidad de sus probabilidades menos la probabilidad de ocurrencia de ambos eventos:

P (A " B) = P (A) + P (B) - P (A" B)

Evento imposible, es aquel que no tiene ningún resultado favorable dentro de un conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio:

P () = 0

Evento complementario , de un evento A es el evento que consiste en todos los resultados que no contiene el evento A:

P ( ) = 1 - P (A)

REGLAS PARA CÁLCULO DE PROBABILIDADES

• Probabilidad Conjunta.

• Probabilidad Marginal.

• Probabilidad Condicional.

• Independencia.

Ejemplo: Una Empresa ha relevado y clasificado a su personal según el tipo de puesto que ocupan y el tipo de estudio alcanzado.

	Universitario (A)	No Universitario (A´)	Total
Gerencial B	25	5	30
No gerencial B´	75	195	270
Total	100	200	300

• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad que ocupe un puesto gerencial?

• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que su formación sea universitario?

• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe un puesto gerencial?

• Cual es la probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?

• Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial (B1), y el segundo, también (B2)?

PROBABILIDAD CONDICIONAL

• Si al elegir un empleado al azar resulta que su formación es universitaria, cuál es la probabilidad que ocupe un puesto gerencial?

• Si al elegir un empleado al azar resulta que ocupa un puesto gerencial, cuál es la probabilidad que sea universitario?

La probabilidad de que se presente el evento A, cuando se sabe que el suceso B ya se presentó, es la probabilidad de A, condicionada a la ocurrencia del suceso B. Se denota como P(A/B) y se puede definir como:

P (A / B) = " P (B / A) =

P (A / B) = =25/30 " 0.83 P (B / A) = = 25/100 = 0.25

PROBABILIDAD CONJUNTA

• Cual es la probabilidad de que al elegir un empleado al azar su formación sea universitaria y ocupe un puesto gerencial?

La probabilidad de que se presenten en forma simultanea dos eventos A y B, se conoce como probabilidad conjunta de A y B y se puede definir como:

=

=

PROBABILIDAD MARGINAL

• Cual es la Probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar ocupe un puesto gerencial?

La probabilidad marginal es la probabilidad de un evento simple A, es decir un evento de una sola característica y se puede definir como:

• P(A) = 100/300 " 0,333

• la suma de ocurrencias conjuntas

P (A) = P (A " B) + P (A " B*) = (25/300) + (75/300) " 0,333

P (B) = P (A " B) + P (A* " B) = (25/300) + (5/300) " 0,333

INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA - REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

Al resolver la probabilidad de ocurrencia conjunta de (A y B) se tiene:

La regla general de la multiplicación

Los eventos A y B son independientes sólo si :

P (A / B) = P (A)

P (B / A) = P (B)

Los eventos son estadísticamente independiente sólo sí:

P(A y B) = P (A). P (B)

Veamos:

-Cual es la probabilidad que al seleccionar dos empleados azar, el primero ocupe un puesto gerencial (B1), y, el segundo, también (B2)?

Por lo que, para el ejemplo de clasificación del personal de la empresa tenemos dos posibles situaciones

a) Selección (muestreo) sin reemplazo

P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)

= (29/ 299) * (30/ 300) " 0.0097

Son eventos independientes?

P (B2 / B1)= P (B2)

(29/ 299) " (30/300) Eventos dependientes

b) Selección (muestreo) con reemplazo

P (B1 y B2) = P (B2 / B1) . P (B1)

= (30/ 300) (30/ 300) = 0,01

Son eventos independientes?

P (B2 / B1) = P(B2)

(30/300) = (30/300) Eventos Independientes

Se deduce que si B2 y B1 son independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta es:

P (B2 y B1) = P (B2) P (B1) = (30/ 300) (30/ 300) = 0.01

1 3

2 5

4

6

S

Evento Conjunto

Evento Simple