PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS EN UN FLUIDO

METACENTRO

Antes de pasar a dar cualquier explicación encaminada a despejar las dudas del porque unos y otros cuerpos se comportan de tal o cual manera en presencia de un fluido o liquido, es importante darle los créditos a la persona que se los merece. En este caso la persona a quien nos referimos es Arquímedes, pues de él depende mucho de lo que a continuación hablaremos:

“Arquímedes nace aproximadamente entre los años 290-280 antes de Cristo y muere alrededor del 212-213 antes de Cristo.

Arquímedes ingeniero, físico y matemático griego, fue quizás el científico más grande de la antigüedad. Fue el primero que calculo con precisión la razón de la circunferencia del circulo a su diámetro y también demostró como calcular el volumen y las áreas de las superficies de esferas, cilindros y otras formas geométricas. Es mejor conocido por descubrir la naturaleza de las fuerzas de empuje que actúa sobre los objetos y fue, además un inventor talentoso. Una de sus invenciones practica, aun en uso, es el tornillo de Arquímedes, un tubo de espiral inclinado que gira, usado originalmente para sacar agua de la cala de los barcos. También invento la catapulta y dispositivos de palancas, poleas y pesos para levantar grandes pesos. Dichas invenciones fueron usadas con éxito

por los soldados para defender su ciudad natal, Siracusa, durante un sitio de dos años por parte de los Romanos.

De acuerdo con la leyenda, el rey Hieron le pidió a Arquímedes que determinara si la corona del rey estaba hecha de oro puro o sí tenia alguna aleación de otro material. La prueba debería ser efectuada sin dañar la corona. Se cree que Arquímedes llega a la solución mientras tomaba un baño: al meterse a bañar, observo una perdida parcial de peso de sus piernas y sus brazos despues de sumergirlos en el agua. Según se cuenta, estaba tan excitado de su gran descubrimiento que corrió desnudo por las calles de Siracusa gritando “!Eureka!”, lo que en griego significa “lo he Encontrado.”/

“La lapida de su tumba ostentaba una esfera inscrita en un cilindro, en memoria de la solución dada por el matemático a ese problema de geometría. Se le atribuye la frase: Dadme un punto de apoyo, y moveré la tierra y el cielo”. Sus tratados son eminentemente teóricos. Entre los que sobresalen: “Método de los teoremas mecánicos, sobre la esfera y el cilindro”, “Medición del Circulo”, “Conoides y Esferoides”, “Centros de Gravedad de los Planos”, “Cuadratura de la Parábola”, entre otros.”/

Enunciemos ahora el Principio de Arquímedes:

“Cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.”/

FuerzaEmpuje = W_Fluidodesalojado

Veamos ahora si esto es cierto:

Tomemos ahora un cuerpo sumergido completamente en un fluido:

DONDE:

Pa : Presión ejercida por la atmósfera.

h1 : Distancia desde el nivel hasta la cara superior del cubo.

h2 : Distancia desde el nivel hasta la cara inferior del cubo.

De la figura anteriormente planteada y el significado que adquieren las variables podemos deducir que la presión sobre la cara inferior del cubo será mayor que la que se ejerce sobre la cara superior del mismo objeto.

Llamémosle F1 a la fuerza que siente la cara superior del cubo que va hacia abajo, donde F1 = P1Area

Llamémosle F2 a la fuerza que siente la cara inferior del cubo y que va hacia arriba, donde F2 = P2Area

Lo que hemos mencionado en las líneas anteriores y el planteamiento de las respectivas ecuaciones para las fuerzas que afectan a nuestro objeto nos llevan a plantear nuestra ecuación inicial:

Empuje = F2 - F1

Empuje = P2A - P1A

Empuje = A (P2 - P1)

Empuje = A (Pa + ρgh2 - (Pa + ρgh1))

Empuje = A (Pa + ρgh2 - Pa - ρgh1)

Empuje = A (ρg (h2 - h1))

Empuje = ρgA (h2 - h1))

Pero H=h2-h1 es la altura de nuestro cubo.

Empuje = ρgAreaH

Además AreaH=Volumen de nuestro cubo.

Empuje = ρgV

Y también ρV=masa

Empuje = g masa

Y gmasa = W

Empuje = W

Hemos comprobado la veracidad del planteamiento del Principio de Arquímedes, pero debemos hacer notar que aunque el Principio es cierto hay ciertas variantes que nos ayudan a entender mejor porque unos cuerpos flotan y otros, no. A continuación analizamos dichos casos:

1er. CASO : CUERPOS SUMERGIDOS Y QUE ALCANZAN EL FONDO.

Tenemos un fluido X con su respectiva densidad, en el cual depositamos por ejemplo un cubo compuesto de material Y también con su respectiva densidad. Con lo que sabemos hasta este momento podemos concluir que el cubo se desplazara hasta el fondo del recipiente que contiene al fluido X si y solo si la densidad del material del cual esta compuesto nuestro cubo es mayor a la densidad del fluido Y. Claro siempre y cuando el cubo no tenga nada que le impida llegar hasta el fondo. Esto sucede porque nuestra ecuación de Empuje se nos convierte en:

Empuje - W = (ρfluidoX - ρcuboY)gVcubo **Resultado Negativo

La Interpretación de esta ecuación puede ser la siguiente: “Si el peso de cuerpo es mayor que el Empuje, la resultante de las fuerzas estará dirigida hacia abajo y el cuerpo sé hundira”/

2do. CASO : CUERPOS QUE SUMERGIDOS QUE NO ALCANZAN EL FONDO.

Este segundo caso es posible analizarlo principalmente cuando observamos lo que les sucede a los globos que contienen un fluido de densidad X que son utilizados para la observación de nuestra atmósfera. En un inicio el

globo estando en tierra experimenta un proceso con el cual se logra la disminución de la densidad de dicho fluido (por ejemplo el calentamiento), con lo cual conseguimos su elevación. Pero alguien puede hacerse la pregunta ¿Si el globo inicia su ascenso, cuando se detiene?, la respuesta es sencilla si consideramos que el aire a medida se alcanza una mayor altura se vuelve menos denso, el globo dejara de subir hasta que ambas fluidos: el que compone el globo y el aire externo desplazado, pesen lo mismo.

La conclusión de este caso es la siguiente: “Si el pero del cuerpo es igual al Empuje, la resulktante será nula y el cuerpo sé mantendra en equilibrio dentro del fluido.” /

3er. CASO : CUERPOS QUE FLOTAN.

Ahora analicemos el caso en el que tenemos un fluido de densidad X, y un cubo compuesto de un material de densidad Y. Si la densidad del fluido X es mayor que la densidad del material Y, el cubo sentirá que es empujado hacia la superficie del fluido, y nuestra ecuación se convierte en:

Empuje - W = (ρfluidoX - ρcuboY)gVcubo **Resultado Positivo

A medida que el cubo vaya saliendo a la superficie, la fuerza que siente sé ira haciendo cada vez menor hasta detenerse, puesto que ya no estará totalmente sumergido dado que una parte del cubo estará por encima de la superficie y otra parte quedara por debajo de la superficie siendo menor la cantidad de fluido que este desplazando. En este preciso momento la fuerza que siente el cubo será igual al peso del fluido que la

parte baja del cubo ha desplazado y los dos elementos quedaran en equilibrio.

(ρfluido)(Volumenfluido)(g)=(ρcubo)(Volumencubo)(g)

Estabilidad Lineal y Estabilidad Rotacional:

Es importante destacar otros elementos importantes en lo referente a la estabilidad de los cuerpos flotantes o sumergidos en un fluido:

Resulta que si por ejemplo tenemos el Caso 3 (Cuerpos que Flotan), y el cuerpo en cuestión se encuentra como nuestro cubo en la figura (en equilibrio), y aplicamos una pequeña fuerza en la cara inferior del cubo dirigida hacia arriba. Por acción y reacción el cubo ejercerá una fuerza igual a la que siente intentando recuperar su estado anterior. Igual sucedería si la fuerza aplicada estuviera en la cara superior del cubo, en este caso quien intentaría regresar a su posición anterior seria el fluido. A este resultado se le conoce como “Estabilidad lineal”.

Pero sucede de manera diferente, cuando el desequilibrio se intenta con un ángulo distinto de 90º con respecto a la superficie del cubo. En este caso se generaran pares de fuerzas que al igual que en la “Estabilidad Lineal” intentaran regresar al cuerpo a su estado anterior. Esto se conoce como “Estabilidad Rotacional”

El par de fuerzas estará constituido por:

• La fuerza ejercida por el Peso del Cuerpo (W) que actúa hacia abajo y que tiene su línea de acción vertical por el Centro de Gravedad del Objeto (G). Y

• La fuerza del Empuje, ejercida por el fluido (E) y que actúa también en forma vertical pero hacia arriba y que tiene su línea de acción a través del Centroide del la parte sumergida del cuerpo (B´), o sea la que se encuentra por debajo de la superficie del liquido.

“Cuando la vertical que pasa a través de B´se intercepta con la línea central original por encima de G, como se presenta en el punto M, se produce una par restaurador; el cuerpo se encuentra en equilibro Estable.” Dicho punto M se conoce como Metacentro. “Cuando se encuentra por encima de G el cuerpo es estable. Cuando se encuentra por debajo de G es Inestable y cuando se encuentra en G, esta en equilibrio Neutral. La distancia de M a G se conoce como Altura Metacentrica y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo.”/

/ Fisica, Tomo I, Serway, tercera Edición.

/ http://.www.TareasYa.com/

/ Fisica, Tomo I, Serway, tercera Edición.

/ http://www.TareasYa.com/

/ http://www.TareasYa.com

/ Mecanica de Fluidos, L. Streeter, B. Wylie, W, Bedford, Novena Edicion.

NIVEL

P1 = Pa + ρgh1

P2 = Pa + ρgh2

B´

G

M