Medida de potencia

1. Introducción

Este capitulo trata de la medida de la potencia en circuitos eléctricos. En los circuitos eléctricos, tanto los c.c. como los de c.a., la potencia instantánea suministrada a una carga es el producto de la corriente instantánea a través de la carga y la diferencia de potencial en sus terminales. Con los circuitos de a.c., como la corriente y la diferencia de potencial varían con el tiempo, una cantidad más usual es la potencia media que el producto de los valores eficaces de la corriente I y la diferencia de potencial V y el coseno del ángulo de fase f entre la corriente y la diferencia, es decir.

P=IV cosf………………..Potencia Activa

Esta potencia se conoce, a menudo, como potencia verdadera, con el cosf llamado factor de potencia. Cuando la corriente se retrasa con respecto a la tensión, el factor de potencia se dice que es en retardo y cuando la corriente adelanta a la tensión, se conoce como en adelanto. EL producto de los valores eficaces de la corriente y la diferencia de potencial se conoce como potencia aparente o producto voltio-amperio. Por tanto, la ecuación [1] puede escribirse como:

Potencia verdadera=potencia aparente x cosf

Esta relación puede representarse por el triangulo de potencia (fig. 1), con la potencia aparente siendo la hipotenusa del triangulo y la base la potencia verdadera.

El lado vertical del triangulo se conoce como potencia reactiva Q y es:

P=VI senf………………..Potencia Reactiva

Potencia reactiva Q=potencia aparente x senf

La unidad de potencia verdadera es el vatio, la potencia aparente el voltio-amperio (VA) y la potencia reactiva el var.

Los instrumentos diseñados para la medida de la potencia verdadera se conoce como vatimetros, siendo el dinamómetro el tipo más comúnmente utilizado.

El producto de la potencia verdadera y el tiempo es la energía total disipada en una carga en ese tiempo. Los instrumentos diseñados para medir la energía reconocen como medidores de vatios-hora.

2. Vatímetros Monofásicos

Es un instrumento que consiste en una bobina móvil en un campo magnético producido por un par de bobinas fijas. Cuando se utiliza como amperímetro o voltímetro las bobinas fijas y móvil se conectan en serie.

La potencia consumida por cualquiera de las partes de un circuito se mide con un vatímetro, un instrumento parecido al electrodinamómetro. El vatímetro tiene su bobina fija dispuesta de forma que la atraviese toda la intensidad del circuito, mientras que la bobina móvil se conecta en serie con una resistencia grande y sólo deja pasar una parte proporcional del voltaje de la fuente. La inclinación resultante de la bobina móvil depende tanto de la intensidad como del voltaje y se puede calibrar directamente en vatios, ya que la potencia es el producto del voltaje y la intensidad de la corriente.

S=VI ……………Potencia Aparente

Según los usos y el precio que tenga un vatímetro encontramos varios tipos:

Digital: Señalado mediante un cristal líquido.

Analógico: A partir de la flecha.

3. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO.

El desplazamiento de la bobina móvil se debe a la interacción del campo magnético fijo producido por el imán permanente, con la corriente I que circula por dicha bobina. Esta interacción produce un torque que tiende a hacer girar la bobina en un cierto sentido.

La bobina móvil, con una resistencia en serie, se conecta en paralelo con la carga y así, la corriente a través de ella es una medida de la diferencia de potencial en los terminales de la carga. Como la deflexión angular de la bobina móvil es proporcional al producto de corrientes en las bobinas móvil y fija, la deflexión angular es proporcional al producto de corrientes y la diferencia de potencial. Teóricamente, el instrumento responde a la potencia instantánea, pero la inercia del sistema hace que la respuesta del instrumento lo sea al promedio de potencia.

Ahora bien, teniendo presente que el campo magnético producido por el imán es constante, si la corriente I cambia de dirección, varía también el sentido del torque y por lo tanto el de giro de la bobina.

De acuerdo con esto, si hacemos circular una corriente alterna de baja frecuencia (1Hz) por un galvanómetro que tenga el cero en el centro de la escala, veremos oscilar la aguja alrededor de la indicación de cero corriente. En este caso, el instrumento es capaz de presentar los valores instantáneos de la señal aplicada.

Si la frecuencia de la señal es mayor, el sistema mecánico no podrá responder con la suficiente velocidad, por lo que la aguja permanecerá en el centro de la escala, indicando una lectura nula, correspondiente al valor promedio de la corriente.

Las frecuencias de 60Hz ya son lo suficientemente elevadas como para que no podamos observar la respuesta instantánea del galvanómetro, por lo que si se aplican dichas frecuencias, el instrumento indicará el valor promedio, que por lo general es cero.

Si la dirección del campo magnético cambiase al mismo tiempo que la de la corriente, el torque tendría siempre el mismo sentido y por lo tanto podríamos realizar siempre una medición. Este efecto se consigue con los instrumentos electrodinamométricos.

En dichos instrumentos, el imán permanente ha sido sustituido por un electroimán, el cual está constituido por un núcleo de hierro y una bobina arrollada alrededor del mismo.

La Figura 2 presenta el esquema básico de un instrumento electrodinamométrico. Al variar la dirección de ic, cambia la del campo magnético en el que se encuentra la bobina móvil. Si las direcciones de ip e ic varían simultáneamente, la del torque sobre la bobina móvil es constante.

La inclinación del vatímetro depende tanto de la corriente como del voltaje y puede calibrarse directamente en vatios.

Figura 01.- Vatímetro analógico

Fig. Principio de funcionamiento de un instrumento electro dinamométrico

La energía almacenada en el campo magnético está dada por la relación:

Donde:

ic e ip son las corrientes que circulan por cada una de las bobinas, como se indica en el esquema.

Lp y Lc son las inductancias propias de la bobina fija y la móvil respectivamente.

M es la inductancia mutua entre ambas bobinas.

Debemos tener presente que Lp y Lc son constantes, pero M depende de la posición relativa de las dos bobinas.

El torque instantáneo Ti, ejercido sobre la bobina móvil es igual a la variación de la energía del campo magnético con respecto al ángulo deflectado por la misma.

La única variable que depende del ángulo deflectado, o sea, de la posición relativa de las dos bobinas, es M, como dijimos anteriormente.

Por lo tanto al derivar W con respecto a ð obtenemos la siguiente expresión:

El torque promedio es igual a:

El desplazamiento promedio es proporcional al torque promedio.

Por definición:

Donde S es la constante del resorte. Sustituyendo obtenemos:

Generalmente se realizan los diseños de forma que dM/d" sea constante. Por lo tanto:

……………F

Donde:

Analizando la expresión (") podemos observar que si ic es la corriente que circula por una carga e ip es una corriente proporcional al voltaje existente entre los terminales de la carga, el desplazamiento promedio (ðprom) es proporcional a la potencia promedio disipada por la carga. En efecto, si se cumple:

Entonces:

Y la expresión:

es por definición la potencia promedio. Por lo tanto:

4. MEDICION DE POTENCIA CON EL VATIMETRO.

Del desarrollo anterior podemos deducir que los instrumentos electrodinamométricos pueden utilizarse para medir cualquier tipo de señal: continua, sinusoidal, triangular, cuadrada, etc.

Vamos a analizar en forma detallada la medición de potencia de señales continuas y sinusoidales, que son las que se utilizan con más frecuencia en la práctica.

4.1 Medición de potencia de señales continuas (DC).

Para una señal DC tenemos:

A T le asignamos un valor arbitrario. Con estas condiciones, el desplazamiento promedio está dado por la siguiente relación:

El desplazamiento es proporcional a la potencia, ya que P=E.I.

4.2 Medición de potencia de señales sinusoidales.

Para una señal sinusoidal:

Donde ð es el ángulo de desfasaje entre el voltaje y la corriente.

La frecuencia angular está dada por la relación w = 2ðf, donde f es el inverso del período T. Con estas condiciones, el desplazamiento promedio está dado por la siguiente relación:

Ya que se cumple que:

Donde cos ð es el factor de potencia, E es el valor eficaz del voltaje e I es el valor eficaz de la corriente, dados por las relaciones:

Por lo tanto, la lectura del instrumento es proporcional a la potencia real promedio de la señal aplicada al mismo.

4.3 Consideraciones sobre las resistencias de los arrollados.

Para medir la potencia que disipa una resistencia se hace circular la corriente i (t) que pasa por dicha resistencia a través de la bobina fija (llamada también de corriente o de campo) y se conecta la bobina móvil (llamada también de voltaje o de desplazamiento) entre los extremos de la resistencia, de forma tal que la corriente que circule por ella sea proporcional al voltaje existente en dicha resistencia.

De acuerdo con esto, la bobina de campo se está utilizando como amperímetro, mientras que la de desplazamiento se está utilizando como voltímetro.

Para disminuir en lo posible los errores sistemáticos de medición, es conveniente que la resistencia de la bobina fija sea lo menor posible, mientras que la resistencia de la móvil debe ser lo mayor posible.

Adicionalmente, es posible conectar el vatímetro en diferentes configuraciones, que analizaremos en el próximo punto.

5. FORMAS DE CONEXION DEL VATIMETRO.

El vatímetro puede conectarse de dos formas a un circuito en la bobina móvil da una medida de la diferencia de potencial en los terminales de las bobinas fijas y de la carga, mediendo las bobinas fijas justamente la corriente que atraviesa la carga. En la figura 1, la diferencia de potencial es, justamente, aquella que esta en los terminales de la carga y la corriente es aquella que atraviesa la bobina movil y la carga. Si IL es la corriente de carga, Rm la resistencia de la bobina móvil y Rf la resistencia de las bobinas fijas, entonces con el circuito (a) el vatímetro dará una lectura alta de potencia debido a la caída de potencial en los terminales de las bobinas fijas, es decir, I2/L Rf y con (b) el vatímetro dará una lectura alta de potencia debido a la corriente que atraviesa la bobina movil, es decir, V2/L Rm.

En ambos casos el vatímetro dará una lectura alta. El error se minimiza si el circuito (a) se utiliza para cargas con bajas corrientes y altas tensiones y el (b) para cargas con altas corrientes y bajas tensiones.

Con el vatímetro electrónico los procesos correspondientes a la multiplicación de la corriente de carga y la diferencia de potencial y los promedios se realizan electrónicamente. Como se muestra en la figura se resume el proceso.

Este proceso debe ser continuo o mediante muestreos. Hay varios métodos utilizados para dar la multiplicación con una visualización continua de la potencia. En un método, la corriente determina la anchura de un impulso y la tensión la altura. El área media del impulso sobre un periodo de tiempo proporciona, por tanto, una medida de la potencia media. Con el método de muestreo, se toman muestras de la tensión y la corriente simultáneamente. Estas muestras se convierten entonces en forma digital y se multiplican y promedia mediante circuitos digitales. El vatímetro electrónico puede utilizarse sobre un margen alrededor de 0.1 W hasta 100 Kw. con frecuencias hasta 100 kHz. Su precisión tiende a decrecer con la frecuencia, desde alrededor de +-0.5% a bajas frecuencias, hasta +- 1% a altas frecuencias.

Cuando hay una carga equilibrada con un sistema trifásico, es posible medir la potencia total consumida con la utilización de un vatímetro simple. Con una carga equilibrada, la potencia total es la suma de la potencia consumida por cada elemento de carga. En la figura muestra como utilizar un vatímetro para hacer tales medidas con una carga equilibrada conectada en estrella. La potencia total consumida por la carga es, por tanto, tres veces la lectura del instrumento.

La potencia en cualquier otro sistema trifásico, ya sea con una carga equilibrada o no equilibrada, puede medirse utilizando dos o tres vatímetros. Para un sistema estrella equilibrado, o desequilibrado, se debe conectar un vatímetro a cada elemento del sistema y la potencia total será, por tanto, la suma de las lecturas de los tres vatímetros.

En la figura 01 se muestra como pueden utilizarse dos vatímetros para determinar la potencia en un sistema estrella equilibrado, o desequilibrado, de un circuito de tres hilos. Para ese circuito cuando esta equilibrado, la lectura indicada por el vatímetro 1 es.

P1=VRB IB cos (ángulo entre los fasores de IR y VRB)

La tensión VRB es VRS - VBS y esta indicada por el diagrama fasorial de la figura. Para un sistema equilibrado, los módulos de VRS y VBS son los mismos y así, el ángulo de fase entre VRS y VRS es de 300. si la carga tiene un retraso de fase de ángulo , es decir, el ángulo de fase entre IR y VRS es , entonces el ángulo de fase entre IR y VRB es de ( 300 - ).

P1=VL IL cos (300 - )

= VL IL (0.87 cos + 0.5 sen )

Donde VL es el modulo de la tensión de línea e IL es el de la corriente de línea. La lectura de potencia indicada por el vatímetro 2 es.

P2=VYB IY cos (angulo entre IY y VYB )

La tensión VYB es VYs - VBS y se indica en la figura siguiente, para un sistema equilibrado tenemos, por tanto, un ángulo de fase de 300 entre VYB y VYS y como el ángulo de fase entre VYS y IY es , entonces.

P2=VL IL cos (300 + )

=VL IL (0.87 cos  - 0.5 sen )

Por tanto, la suma de las lecturas de los vatímetros es, utilizando las ecuaciones:

P1=VL IL (0.87 cos + 0.5 sen )

P2 =VL IL (0.87 cos  - 0.5 sen )

Entonces:

P1+ P2= VL IL (0.87 cos + 0.5 sen  + 0.87 cos  - 0.5 sen )

P1+ P2=(3 VL IL cos )1/2

Esta es la potencia total que debería ser consumida por una carga equilibrada. Por tanto:

Potencia total= P1+ P2

es decir, la suma de las lecturas de los medidores es la potencia total consumida.

La diferencia entre las dos lecturas de los vatímetros es, utilizando las ecuaciones:

P1- P2= VL IL(0.87 cos + 0.5 sen  - 0.87 cos  + 0.5 sen )

= VL IL sen 

para un sistema trifásico, la potencia reactiva:

Q=(3 VL IL sen)1/2

Por tanto

Q=(3 (P1 - P2))1/2

El valor del factor de potencia cos puede obtenerse como sigue. Dividiendo las ecuaciones siguientes:

P1+ P2= VL IL(0.87 cos + 0.5 sen  + 0.87 cos  - 0.5 sen )

P1- P2= VL IL(0.87 cos + 0.5 sen  - 0.87 cos  + 0.5 sen )

De donde el resultado es

1 + tg  = P1- P2

---------- ----------

(3)1/2 cos2 

Así pues

1+3(P1- P2 / P1+ P2 )2 = 1/ cos2 

Entonces

Cos =1/(1+3[(P1- P2 )/ (P1+ P2 )]2 )1/2

El factor de potencia cos puede, por tanto, obtenerse con las dos lecturas de los vatímetros.