P.S. Laplace (1749 - 1827), Uno de los mas grandes matemáticos franceses, es famoso principalmente por su trabajo en astronomía, probabilidad y mecánica. Estudio la relación:

- -st

£{  ( t )} = F (s) = " e
(t) dt

0

en 1782, pero las técnicas descritas en este capitulo no se desarrollaron hasta mucho después principalmente por Oliver Heaveside (1850 - 1925).

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición de la transformada de Laplace.

Entre los conceptos de gran utilidad en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales están las transformadas integrales. Una transformada integral es una relación de la forma.



F(s)= "  k(s,t)
(t) dt

En donde una función dada
se transforma en una función F, por medio de una integral. Se dice que la función F es la transformada de la
y la función k se llama kernel de la transformación. La idea original es usar la relación (1). Para transformar un problema para la en un problema más sencillo para F. Haciendo una selección apropiada del kernel k, y de los limites de integración  y , a menudo es posible simplificar radicalmente un problema que implique una ecuación diferencial lineal. Se usan varias transformaciones integrales, siendo cada una apropiada para ciertos tipos de problemas.

Sea
(t) dada para t " 0, y supongamos que
satisface ciertas condiciones que van a enunciarse un poco después. Entonces la transformada de Laplace de
, la cual denotamos por £{
( t )} o por F (s) se define por medio de la ecuación.

- -st

£{  ( t )} = F (s) = "e
(t) dt

0

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Esta transformación hace uso de Kernel K(s, t) = e-st y está asociada particularmente con las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Es especialmente útil en la resolución de problemas con términos no homogéneos de naturaleza discontinua o impulsiva. Tales problemas son relativamente difíciles de resolver por medio de los métodos que se estudiaron con anterioridad, los cuales comprenden la reunión de soluciones válidas en intervalos diferentes. La transformada de Laplace es particularmente valiosa en el análisis de circuitos, donde son comunes los términos de fuerza discontinuos o impulsivos, pero también es importante en otras aplicaciones.

En virtud de que la transformada de Laplace se define por una integral sobre el intervalo desde cero al infinito, en conveniente mencionar primero algunos hechos básicos acerca de tales integrales. En primer lugar, una integral sobre un intervalo no acotado se conoce como

Integral impropia, definiéndose como un límite de integrales sobre intervalos finitos, de la siguiente forma

" "
(t) dt = lim "A
(t) dt,

a A ! " a

donde A es un número real positivo. Si la integral desde a hasta A existe para cada A > a, y si el límite cuando A ! " existe, entonces se dice que la integral impropia es convergente a ese valor límite. En caso contrario, se dice que la integral diverge o que no existe. Los siguientes ejemplos ilustran ambas posibilidades.

EJEMPLO 1

Sea
(t) = ect " 0, donde c es una constante real deferente de cero. Entonces,

"" ect dt = lím "A ect dt = lím ectøA = lím 1 (ecA - 1 ).

0 A ! " 0 A ! " c A ! " c

Se deduce que la integral impropia converge si c < 0, y diverge si c > 0. Si c = 0 el integrado es la unidad y la integral otra vez diverge.

EJEMPLO 2

Sea
(t) = 1/ t, t " 1.Entonces,

"" dt = lím "A dt = lím 1n. A.

1 t A ! " 1 t A ! "

Dado que lím 1n. A = " , la integral impropia diverge.

A ! "

Una segunda integración por partes conduce entonces a

- -st

F(s) = 1/a - s²/a²" e sen at dt

0

= 1/a - s²/a² F(s)

Por lo tanto despejando F(s), tenemos

A ,

F(s) = s² + a²

S>0

Ahora suponga que
1 y
2 son dos funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s > a1 y s > a2, respectivamente. Entonces para s mayor que el máximo de a1 y a2.

Empleo de la transformada de Laplace para resolver problemas con valores iniciales. Consideremos primero la ecuación diferencial

y° + y' - 2y = 0

y las condiciones iniciales son

y(0) = 1, y'(0) =0

La ecuación característica es

r² - r - 2 =(r - 2)(r + 1) = 0

y por consiguiente la solución general de la ecuación es

y = c1e¹ + c2e²†

Las condiciones iniciales, requieren que c1 + c2 = 1, -c1 +2c2 = 0; por lo tanto

C1= ! y C2 = !, por lo que la solución del problema con valores iniciales es:

Y = "(t) = ! e¹ + ! e²†

Por medio de la transformada de Laplace, se resuelve el problema dado. Para hacer esto hay que suponer que el problema dado tiene una solución Y = "(t), la cual, con sus dos primeras derivadas, satisface las condiciones del corolario, tomando entonces la transformada de Laplace de la ecuación diferencial obtenemos:

{y''} - {y'} - 2{y} = 0

donde, para escribir la transformada de una suma como la suma de las transformadas, se uso la linealidad de la transformada. Usando el corolario que acabamos de enunciar podemos expresar {y''} y {y'} en términos de {y}.

El presente caso lo podemos hacerlo mas fácilmente, desarrollando en fracciones parciales el segundo miembro de la ecuación. Así encontramos que

Y(s) = ! , + ! ,

S - 2 S + 1

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si F (s) = £{  ( t )} y a > 0, entonces



£{  ( t - a)  ( t - a)} = e­ª F(s)

Función expresada en términos de las funciones escalón unitario

F (t)

2

1

-1 t

Con ayuda de la función escalón unitario se puede escribir

F (t) = 2 - 3  (t - 2) +  (t - 3)

Aplicamos la linealidad y el resultado en la ecuación

£{  (t) = £{2}-3£{ ( t - 2)} +  ( t - 3)

2 e -2s e -3s

= - 3 +

S S S

FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO TOREMA DE TRASLACION

Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto de una g por una función escalón unitario  (t - a), cuando la función g carece de la forma f (t - a), desplazada que se requiere en el teorema. Para hallar la transformada de Laplace de g(t )  (t - a) es posible `'arreglar'' a g(t) con manipulaciones algebraicas, para forzarla a adquirir la forma deseada f (t - a), pero estas maniobras a veces son tediosas y a veces no son obvias, es mas sencillo contar con una versión alternativa del teorema.

UNIVERSIDAD AUTONOMA ESPAÑA

DE DURANGO

INGENIERIA MECANICA AUTOMOTRIZ

MATEMATICAS V

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

QUINTO SEMESTRE

Durango, Dgo, México Septiembre 2002

INTRODUCCION

En este trabajo se pueden apreciar los teoremas de Laplace, así como algunos problemas y ejemplos de los mismos con sus demostraciones y una breve explicación de los mismos.

CONCLUSIONES

Este trabajo me sirvió para reforzar los conocimientos vistos en clase así como una mejor comprensión del tema visto en la unidad.