INTRODUCCIÓN

Físicamente, el péndulo simple es un mecanismo casi imposible de realizar, debido a que las condiciones en las que este debe funcionar, son en extremo muy difíciles de satisfacer, aunque hace ya algún tiempo se logró experimentar con este tipo de mecanismo y se pudieron obtener resultados bastantes acordes con la realidad.

El péndulo simple es un sistema de sencilla funcionalidad y que consta de una masa colgada a un extremo de un hilo muy fino, el cual esta sujeto a una superficie inmóvil. La fundamentación de este aparato radica principalmente en la capacidad de relacionar sus componentes físicos con los factores de interacción externa, como lo es la gravedad.

Este tipo de mecanismo es de mucha aplicabilidad en la vida del ser humano, entre ellos es importante destacar: un reloj de péndulo, una grúa de demolición, un pendiente, etc. Aunque su estructura y condiciones de ejecución no son exactamente iguales a las de un péndulo simple, son tal vez los ejemplos más ilustrados de este fundamento físico.

OBJETIVOS

General

• Analizar que es un péndulo simple y como es su funcionamiento

Específicos

• Comprobar como actúa un péndulo según las características del movimiento que represente

• Determinar los factores que condicionan el accionar de un péndulo simple y de un sistema masa resorte

• Estudiar las diferencias entre estos dos sistemas pendulares (péndulo simple y el sistema masa resorte)

PÉNDULO SIMPLE

Es un modelo teórico que consiste en la implementación de un objeto de masa m, unido a un hilo de longitud l y cuya masa sea insignificante con respecto al objeto que está colgado de uno de sus extremos. En sistemas esféricos, cuando el radio de la esfera es despreciable con respecto a l y que puede considerarse, por tanto, la esfera como un punto material, se tiene el caso ideal del péndulo simple, cuyo periodo se convierte en:

Un péndulo simple es un punto pesante, suspendido en un punto fijo por un hilo inextensible, rígido y sin peso. Es, por consiguiente, imposible de realizarlo, pero casi se consigue con un cuerpo pesante de pequeñas dimensiones suspendido en un hilo fino.

Algunas condiciones son necesarias que se evalúen, para poder justificar las características del péndulo simple.

Variaciones del periodo con la amplitud: El periodo de un péndulo varía con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco, esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo.

Variaciones del periodo con la masa del péndulo: Utilizando péndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al péndulo.

Variaciones del periodo con la longitud del péndulo: Si se miden los periodos de un mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Variaciones del periodo con la aceleración de la gravedad: El estudio matemático indica que el periodo varía con razón inversa de la raíz cuadrada de la gravedad.

El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros:

Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasando por la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es decir, dos oscilaciones sencillas.

Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa.

Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.

Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio, que depende del ángulo entre la vertical y el hilo.

SISTEMA MASA-RESORTE

Consideremos un sistema Masa-Resorte sobre una mesa horizontal sin fricción. En el Movimiento Armónico Simple la fuerza de restitución del resorte
, donde k es la constante de elasticidad y x la deformación (considerando que el origen de referencia es la posición de equilibrio), es la que mantiene el movimiento oscilatorio de la masa de acuerdo a la ecuación de movimiento que se obtiene a partir de la Segunda Ley de Newton

Consideremos al sistema Masa-Resorte en el que además de la fuerza de restitución del resorte se tiene la presencia de una fuerza Fa(t) que trata de amortiguar el movimiento. El modelo para la fuerza de amortiguamiento, si es debida al movimiento de la masa a través de un medio (por ejemplo el aire), tiene dos características:

1) Siempre se opone al movimiento, lo que significa que está en dirección contraria a la velocidad; y

2) Es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad.

La primera característica es general para las fuerzas de amortiguamiento; mientras que la segunda es la característica propia del modelo propuesto, es decir que otros modelos pueden tener otro tipo de dependencia para la fuerza de amortiguamiento. De acuerdo al modelo propuesto, la fuerza de amortiguamiento se puede escribir en la forma:

Donde b es la constante de amortiguamiento.

Entonces la ecuación de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:

Donde m es la masa; a es la aceleración; k es la constante de elasticidad; y, x la posición, considerando que la posición de equilibrio es el origen de referencia.

Sea
la frecuencia natural, con
y
el factor de amortiguamiento, entonces la ecuación de movimiento se puede escribir como:

MATERIALES

Parte I

Juego de pesas Hilo Cronometro

Soporte Universal Regla Transportador

Parte II

Resorte Juego de pesas Cronometro

Soporte Universal Regla

REALIZACION DEL EXPERIMENTO

Parte I

Para la realización de esta parte del experimento, tomamos cierta cantidad de hilo, con una longitud determinada y lo sostuvimos a una varilla, que actuaría como punto fijo del péndulo, luego ubicamos un objeto de masa conocida y lo colgamos del hilo. Ya montado el experimento, procedimos a medir el ángulo con que seria evaluado el sistema, que para nuestro caso fue de aproximadamente 15°. Luego de establecidos estos parámetros, liberamos el sistema y por medio del cronometro, calculamos el tiempo que tardaba el péndulo en dar 10 oscilaciones. Esto se hizo repetidas veces para diferentes longitudes del péndulo

El montaje para este sistema es el siguiente:

Los datos obtenidos en esta parte del laboratorio son:

Tabla #1 Variación del periodo de oscilación del péndulo con la longitud

L(m)	T1(s)	T2(s)	T3(s)	T4(s)	T5(s)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.195	8.77	8.97	8.49	8.82	8.66	8.62	0.862	0.743
0.217	9.10	9.09	9.06	9.2	9.02	9.094	0.9094	0.827
0.268	10.08	10.11	10.05	10.02	9.97	10.046	1.0046	1.0092
0.287	10.75	10.4	10.52	10.54	10.45	10.532	1.0532	1.1092
0.337	11.31	11.45	11.54	11.49	11.39	11.436	1.1426	1.3078
0.377	12.01	12.25	11.94	12.07	12.13	12.08	1.208	1.4592

Tabla #2 Variación del periodo de oscilación del péndulo con la masa para L = 0.377 fijo

Masa(Kg)	T1(s)	T2(s)	T3(s)	T
0	0	0	0	0
0.0243	12.01	12.25	11.94	1.2067
0.1	11.94	11.89	12.05	1.196
0.05	12.19	12.17	11.97	1.211
0.115	12.31	12.22	12.13	1.222
0.15	12.38	12.48	12.41	1.2423

Parte II

Para esta parte del experimento, tomamos dos resortes con diferentes constantes de elasticidad, luego ubicamos en uno de sus extremos un objeto de masa previamente conocida, mientras que el otro extremo del péndulo estaba unido a un soporte universal, que en este caso seria el punto fijo del sistema. Estando armado el montaje del experimento, se procedió a liberar el sistema y por medio de un cronómetro calcular el tiempo que tardaba el mecanismo en realizar 10 oscilaciones. Este mismo procedimiento se llevó a cabo con el segundo resorte, teniendo en cuenta también, la variación de la masa de los objetos.

El montaje de esta experiencia es:

Los datos obtenidos en esta parte del laboratorio son:

Tabla #3 Variación del periodo de oscilación con la masa para un sistema masa resorte (resorte #1)

M(kg)	T1(s)	T2(s)	T3(s)	T4(s)	T5(s)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.5	3.49	3.87	3.94	3.97	3.74	3.802	0.3802	0.1445
0.65	4.24	4.76	4.25	4.23	4.85	4.466	0.4466	0.1994
0.75	4.95	5.01	5	4.86	4.81	4.926	0.4926	0.2426
0.35	2.85	2.99	2.56	2.62	2.56	2.716	0.2716	0.0737
0.95	5.09	5.16	5.16	5.18	5.37	5.192	0.5192	0.2695
1.1	6.48	6.6	6.5	6.52	6.35	6.49	0.649	0.4212

Tabla #4 Variación del periodo de oscilación con la masa para un sistema masa resorte (resorte #2)

M(kg)	T1(s)	T2(s)	T3(s)	T4(s)	T5(s)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.05	5.78	5.87	5.61	5.76	5.91	5.786	0.5786	0.3347
0.15	9.38	9.45	9.38	9.48	9.33	9.404	0.9404	0.8843
0.1	7.69	7.69	7.68	7.63	7.62	7.662	0.7662	0.587
0.2	10.78	10.85	10.75	10.61	10.7	10.738	1.0738	1.153
0.127	8.59	8.57	8.58	8.56	8.69	8.598	0.8598	0.7392
0.2125	11.05	11.2	11.06	11.14	11.24	11.138	1.1138	1.2405

ANÁLISIS DEL EXPERIMENTO

Parte I

1. Anote de que factores cree usted que depende el periodo de oscilación de un péndulo simple

Experimentalmente se puede deducir que el periodo de un péndulo simple depende exclusivamente de dos factores muy importantes que son:

La longitud del péndulo: De aquí se puede inducir que el periodo de un péndulo simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

La aceleración de la gravedad: De este factor se deduce, que el periodo de un péndulo simple varía en razón inversa a la raíz cuadrada de la gravedad. Esto se puede comprobar, tomando un reloj de péndulo y calcular su periodo en distintos lugares de la Tierra, o en un caso extremo, por fuera de ella.

2. Realice una gráfica T vs L. ¿Qué relación funcional sugiere este gráfico?

La relación entre estas dos magnitudes es directamente proporcional, ya que a medida que se aumenta la longitud del péndulo, el valor del periodo aumenta también.

3. Linealice la curva anterior y deduzca la relación matemática entre el periodo de oscilación y la longitud del péndulo

Para determinar la relación entre el periodo de oscilación y la longitud del péndulo, debemos tener en cuenta el sistema de fuerzas que actúa en los componentes del péndulo. Entre estas fuerzas están: La tensión de la cuerda (T) y el peso del objeto. La ecuación que relaciona todas estas variables es:

Donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco y el signo menos indica que Ft actúa hacia la posición de equilibrio. Puesto que s = L y L es constante, esta ecuación se reduce a:

El lado derecho es proporcional a sen en lugar de ; por lo tanto concluimos que el movimiento no es armónico simple, debido a que no es de la forma

Sin embargo, si suponemos que  es pequeño podemos utilizar la aproximación sen "  donde  se mide en radianes. En consecuencia la ecuación del movimiento se vuelve

Como ahora la ecuación representa un movimiento armónico simple,  puede escribirse como
donde 0 es el desplazamiento angular máximo y la frecuencia angular es:

El periodo del movimiento viene dado por:

4. Compare su relación experimental con la aceptada teóricamente y deduzca el valor de la aceleración debida a la gravedad. Calcule el error porcentual

La deducción representa el mismo concepto físico establecido para el periodo de un péndulo simple con respecto de su longitud. Para hallar la aceleración de la gravedad, hacemos un sencillo despeje en la fórmula del inciso anterior, tenemos que la aceleración de la gravedad es:

Teniendo el valor promedio del periodo y de la longitud en el experimento, reemplazamos los valores

Para determinar el error porcentual, aplicamos la siguiente fórmula:

El error porcentual en el cálculo de la aceleración de la gravedad es del 24,16%

Parte II

Anote de que factores cree usted que depende el periodo de oscilación de un sistema masa resorte

El periodo de oscilación en un sistema de masa resorte depende de dos factores, estos son la masa del objeto unido al resorte y el coeficiente de elasticidad del resorte

2. Realice una gráfica T vs M. ¿Qué relación funcional sugiere este gráfico?

El grafico representa una relación de proporcionalidad, en el que el periodo aumenta con respecto al aumento de la masa colgante.

La relación que se obtuvo para el según resorte también representa una proporcionalidad directa, en el que el periodo aumenta con respecto al aumento de la masa

3. Linealice la curva anterior y deduzca la relación matemática entre el periodo de oscilación y la masa del sistema masa-resorte

Para hallar la relación matemática entre el periodo de oscilación de un sistema masa-resorte y la masa del mismo, es necesario entender como primer parámetro la ley de Hooke, que nos dice que:

Esta, representa un mecanismo de restauración lineal en el resorte, puesto que es linealmente proporcional al desplazamiento y siempre estará dirigida hacia la posición de equilibrio, por lo que es opuesta al desplazamiento. Esto significa que cuando la masa se desplaza hacia la derecha, x es positiva y la fuerza restauradora apunta hacia la izquierda de x = 0, entonces x es negativa y F está dirigida hacia la derecha. Si aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento de la masa en la dirección x, obtenemos

Es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa a partir del equilibrio y está en la dirección opuesta. Podemos describir el movimiento de una manera cuantitativa, quedando la ecuación de la siguiente manera:

Si expresamos la razón
como símbolo de 2, esta ecuación se vuelve
, de aquí se necesita una función que satisfaga la ecuación diferencial de segundo orden, pero dicha solución debe ser la de un armónico simple:

Si hallamos la segunda derivada de esta ecuación obtenemos una expresión en la que se pueda relacionar las ecuaciones diferenciales de segundo orden establecidas anteriormente, quedando de la siguiente forma:

Estas deducciones nos permiten deducir que cada vez que una fuerza actúa sobre una partícula es linealmente proporcional al desplazamiento y está en dirección opuesta, la partícula efectúa un movimiento armónico simple. Así se puede establecer que el periodo es

EXTENSION DEL EXPERIMENTO

¿Qué relación tienen las ondas con el movimiento armónico simple?

El movimiento armónico simple es la representación del las oscilaciones que una partícula realiza mientras se mueve entre el punto de equilibrio del sistema y una amplitud determinada del mismo. Los movimientos ondulatorios son representados a través del MAS, porque este permite establecer los parámetros que hacen que una onda pueda hacerse preponderante en un sistema. Existe un tipo de onda conocida como armónica o senoidal, la cual representa su movimiento a través del MAS, formando así en la trayectoria de la partícula, una representación de la función trigonométrica seno.

Algunos elementos que caracterizan estas ondas son: Longitud de onda, amplitud, periodo, frecuencia, frecuencia angular y rapidez de onda

Arme las dos ecuaciones diferenciales del péndulo y del sistema masa-resorte y explique cada término de dichas ecuaciones de manera detallada. Además del significado físico de la solución a estas ecuaciones

En el análisis del experimento se dedujeron las ecuaciones diferenciales que representan el movimiento de un péndulo simple y de un sistema masa-resorte, por lo que se procederá a detallar cada una de las partes que conforman dichas ecuaciones y se explicará el significado físico de la solución a estas ecuaciones.

Para el péndulo simple, tenemos las siguientes componentes:

a) Aceleración de la gravedad: Es la fuerza que actúa sobre el cuerpo del objeto que se encuentra colgado al hilo del sistema, este es uno de los factores que mayor influye en el desarrollo de este mecanismo, puesto que a medida que la gravedad aumente, el periodo pendular disminuye, por tanto estas magnitudes son inversamente proporcionales.

b) Longitud: La longitud es otro de los factores decisivos que intervienen en el movimiento del péndulo simple, en este caso, la longitud del sistema es directamente proporcional al periodo.

Para el caso del sistema masa resorte, los componentes son:

a) Constante de elasticidad: Este valor representa el grado de elasticidad de un resorte, para el caso de este sistema, entre mayor sea el coeficiente de elasticidad, mayor será el periodo del sistema, esto se puede comprobar con los datos en la tabla del resorte #2

b) Masa: Esta magnitud es directamente proporcional al periodo del sistema, debido a que entre mayor sea la fuerza que se realiza hacia abajo con la masa, la fuerza recuperadora también aumentará, haciendo por consiguiente que el periodo del mismo aumente en forma proporcional.

El significado físico de la solución de estas ecuaciones constituye el periodo del sistema. Éste representa el número de oscilaciones que la partícula realiza en un determinado tiempo, para hallar el periodo en un péndulo simple, aplicamos la ecuación

3. En que factor cambiaría el periodo de oscilación de un péndulo simple si por ejemplo este se llevara:

A la Luna

Si se realizase este experimento en la superficie de la Luna, el factor que determinaría el valor del periodo en el sistema es la gravedad, que para este satélite es de:
. Este valor indica, que el periodo de oscilación del péndulo simple en la Luna es mayor que en la Tierra

A Júpiter

La gravedad en Júpiter es de
, por consiguiente indica que el periodo de oscilación del péndulo es su superficie es mucho menor que en la Tierra y aun mas pequeño que en la Luna

A Marte

En el caso de Marte, su gravedad es de
, esto indica que el periodo del péndulo simple en su superficie es aproximadamente una tercera parte menor que el que se podría originar en la Luna

4. En que punto de las oscilación tendrá el péndulo:

Mayor velocidad

El péndulo tendrá mayor velocidad, cuando pase por el punto de equilibrio, es decir, cuando la amplitud de arco del sistema sea igual a cero

Mayor energía cinética

Al igual que la velocidad, la energía cinética se hace máxima cuando la masa pasa por el punto de equilibrio y cuando su velocidad es máxima

Mayor energía potencial

La energía potencial es máxima cuando la amplitud es máxima, es decir, cuando el péndulo se encuentra ubicado en cualquiera de los dos extremos que representan su movimiento, también se puede deducir esto, cuando la aceleración del sistema es máxima.

5. En un sistema masa resorte, podría usted aumentar indefinidamente la masa ¿Si o no? ¿Por qué?

No, porque si la masa se aumenta indefinidamente, llegará al punto en que la masa venza el coeficiente de elasticidad del resorte y este por consiguiente quede en una posición estática, donde la fuerza restauradora se hace nula, por la misma acción de la masa del cuerpo.

6. ¿Por qué en la ecuación para el periodo de oscilación del SMR no aparece la masa del resorte? ¿Cómo cambiaría esta expresión si se tuviera en cuenta dicha masa?

Generalmente cuando se trabaja con un sistema masa resorte se desprecia la masa del resorte, porque representa una unidad de masa muy pequeña con respecto al objeto que cuelga o hace parte del el. Pero si se desease tener en cuenta la masa del resorte en el periodo del sistema, se debe aplicar la siguiente fórmula:

CONCLUSIÓN

Luego de realizada esta experiencia, podemos mostrar que los sistemas pendulares son mecanismos que permiten la Interacción de muchos factores como la gravedad, la masa, la longitud y demás unidades de medidas.

Podemos decir que:

1. El periodo de un péndulo simple no depende de la amplitud del mismo, esto solo en casos en el que el ángulo con que se suelta el sistema es demasiado pequeño.

2. La masa es un factor que no determina ninguna influencia al momento de calcular el periodo pendular, por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema.

3. La gravedad y la longitud en el péndulo simple, representan los factores de apoyo al sistema, con los cuales se puede determinar el lugar, según la fuerza con que actúa la naturaleza sobre el sistema y las dimensiones lineales del mismo

4. En un sistema masa-resorte, el periodo depende del coeficiente de elasticidad del resorte, y de la masa del peso adjunto al mismo, además ambos factores son directamente proporcionales al periodo del mismo.

5. Cuando se trabaja con un sistema de masa-resorte, generalmente se desprecia la masa del resorte, debido a que sus proporciones no son tan preponderantes para el sistema, en el caso de que si lo sea, es necesario adecuar las fórmulas del movimiento.

BIBLIOGRAFÍA

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• iteso.mx/~jorgeaguilar/mov_arm_amort.htm