PROLOGO

El presente Informe de laboratorio, que tiene por titulo Péndulo Físico y teorema de Steiner, en la sección a la cual pertenece el grupo de trabajo estuvo a cargo del Ing. Jose Pachas, profesor del curso de Física II, de la Facultad de Ingeniería Mecánica.

El tema nos es útil para entender los diferentes métodos que existen para hallar el momento inercia de un cuerpo, sobre todo si tiene una geometría desconocida.

También es una nueva oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte que sea útil a nuestros compañeros, con los cuales intercambiaremos información sobre el tema desarrollado, resultados, y así sacar conclusiones, con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento realizado.

Por ultimo esperamos que el presente informe sea de su agrado.

INDICE

Prologo i

Indice ii

Objetivos 1

Fundamento Teorico 1

Materiales 3

Cálculos y resultados 4

Observaciones 10

Conclusiones 10

Recomendaciones 10

Bibliografía 11

Apéndice 12

OBJETIVOS

• Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica, midiendo el período de oscilación del mismo, para varias posiciones del centro de oscilación.

• Hallar la variación del T(periodo), respecto a la longitud entre el C.G, y el eje en que oscila.

• Determinar el tipo de movimiento respecto al ángulo de giro de la barra metálica

• Saber el procedimiento del calculo de momento de inercia para cuerpos con geometría desconocida.

FUNDAMENTO TEORICO

PENDULO FISICO

Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rígido y con dirección contraria al desplazamiento angular
, y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio.

En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (desmostradas en el punto 8 de calculos y resultados):

Donde:

T : periodo

Io : momento inercia respecto al eje

IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)

m : masa

! : longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O

En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones:

Donde:

Ti : periodo experimental

Ii : momento inercia para cada # de hueco

IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)

m : masa (constante)

!i : longitud del centro de gravedad a cada # de hueco

b : longitud de la barra (constante)

a : ancho de la barra (constante)

Momento de Inercia

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación:

MATERIALES

• Una barra metalica con agujeros circulares

• Un soporte de madera con cuchilla

• Un cronometro digital

• Una regla milimetrada

CALCULOS Y RESULTADOS

Presentamos la tabla 1

Donde calculamos el periodo T de la siguiente forma :

# de hueco	ði (cm)	t1 (s)	t2 (s)	t3 (s)	# de oscilaciones	periodo T promedio
1	50.8	16.76	16.75	16.76	10	1.676
2	45.8	16.48	16.40	16.50	10	1.646
3	40.8	16.36	16.18	16.21	10	1.625
4	35.7	16.04	16.12	16.02	10	1.606
5	30.8	15.93	15.95	15.96	10	1.595
6	25.8	9.68	9.67	9.65	6	1.611
7	20.9	9.98	9.89	10.06	6	1.663
8	15.9	10.72	10.67	10.68	6	1.782
9	10.8	6.14	6.06	6.10	3	2.033
10	5.8	7.89	8.01	8.04	3	2.660

a) Grafica de T vs !

Calculo de ! a partir del periodo T, cuando T es minimo

Para ello se calculara a partir de las siguientes relaciones:

Primero hacemos a T en función de !, entonces reemplazamos () en ()

Luego hay dos formas de resolverlo:

Aplicando el criterio de la primera derivada, derivamos respecto a !

para T mínimo,

Quedando

Pero IG es igual a:

, reemplazando en
tenemos:

Reemplazando los datos: a = 3.75 cm ; b = 102.6 cm

Obtenemos !=29.63
T=1.544

Como tenemos T en función de !, lo graficamos usando el programa MATLAB 7.0 , y obtenemos que para T mínimo, !=29.63 y T=1.544, dándonos el mismo resultado (Apéndice A), pero de una manera mas rápida que la anterior.

Comparación de ! obtenido en a) y b), y su respectivo periodo

Los resultados obtenidos de a) son: !=30.08 y T=1.595

b) son: !=29.63 y T=1.544

Para deducir dos puntos con el mismo periodo, trazamos una recta horizontal, (en la grafica de T vs !) y afirmamos que son correspondientes al hueco # 4 y hueco # 6

Tabla 2

# de hueco	Eje de oscilación ! (cm)	(periodo)2 T 2(S2)	LONGITUD2 !2 (cm2)	Momento de Inercia (Kg.cm2)
1	50,8	2.81	2580.64	6635.20
2	45,8	2.71	2097.64	5772.19
3	40,8	2.64	1664.64	5011.66
4	35,7	2.58	1274.49	4283.26
5	30,8	2.54	948.64	3643.39
6	25,8	2.60	665.64	3115.20
7	20,9	2.76	436.81	2688.00
8	15,9	3.17	252.81	2347.82
9	10,8	4.13	116.64	2077.09
10	5,8	7.08	33.64	1909.00

Grafico de I1 vs !2

Por comparación obtener IG y M

Del grafico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos:

Y=1.861X + 1873.9 Donde X=!2

Y=I

Reemplazando queda : I =1.861!2 + 1873.9

comparando con la formula I = m.L2 + IG

Tenemos:

m= 1.861 Kg.

IG = 1873.9 Kg.cm2

Obtención del error experimental para IG

Aplicando la formula para una barra homogénea:

Donde: a: ancho de la barra

b: largo de la barra

m: masa

Reemplazando los datos tenemos IG = 1644.36 Kg.cm2

El error experimental es:

Hallando la longitud del péndulo simple equivalente

Como Sabemos el período del péndulo simple es :

Pero para el péndulo físico el período es :

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones obtendremos que:

Para el hueco 8:

Momento inercia = 2347.82 Kg.cm2

Masa = 1.872 Kg ! L = 35.41cm

Demostración de las relaciones utilizadas

Demostración de la relación (13.1)

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución:

El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión  es proporcional a sen, no a  , pero si  es pequeño podemos aproximar sen por  en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S

Quedando:

Pero la ecuación de movimiento es:

Remplazando:

… ecuación diferencial

Pero

Demostración del teorema de steiner (relación 13.2)

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. Quedando:

OBSERVACIONES

• En los diferentes casos las oscilaciones que dio el péndulo simple, el ángulo inicial con el que se soltó no es el mismo, tiene una ligera variación.

• El tiempo medido para cada caso de oscilacion sufre variaciones debido a la precision del cronometro.

• La cuchilla q sostiene a la barra metálica no es un eje fijo (como se indica teóricamente) tiene pequeñas vibraciones, esto provoca una propagación de errores.

• El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación (teórico y experimental) son diferentes debido a que no se consideran los huecos que tiene la barra.

CONCLUSIONES

• El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico.

• En un péndulo físico, cuanto mas se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta.

• En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado).

• En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental.

• En el experimento se pudo poner a prueba las formulas de péndulo físico hechas en clases.

• En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de fricción del aire.

RECOMENDACIONES

• Para que los resultados sean más precisos se recomienda tener en cuenta las masas de los huecos de la barra.

• Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.

• Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.

BIBLIOGRAFIA

• Facultad de Ciencias.(Universidad Nacional de Ingeniería), Manual de laboratorio de física general, 2004, Pág. 81.

• Separata de movimiento oscilatorio(Universidad Nacional de Ingeniería);José Casado Marqués, docente de la UNI, Pág. 8

• Mecánica Racional(Dinámica),editorial Libros Técnicos, Jorge Días Mosto; Pág. 233.

• fisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/pdf/3601056.pdf">www.sociedadcolombianadefisica.org.co/revista/Vol36_1/articulos/pdf/3601056.pdf

• www.fisicarecreativa.com/guias/pendulo2.pdf

APENDICE

Apéndice A

Para la grafica de T vs L, programamos en MatLab 7.0 lo siguiente:

%LvsT

L=4:1/1000:60

T=2*pi*sqrt((1644.36+1.872*L.^2)./(1.872*981*L))

comet(L,T)

plot(L,T)

grid on

ylabel('T (s)')

xlabel('L (cm)')

y la grafica fue

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

FISICA II SECCION C

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