Practica 1

Osciloscopio

0. PRINCIPIOS TEÓRICOS

El osciloscopio es un instrumento muy útil utilizado para la visualización y medición de señales eléctricas periódicas procedentes de una fuente externa.

La base del osciloscopio es un tubo de rayos catódicos, formado por un cañón de electrones que va a producir un haz que pasará entre 2 pares de placas de desviación, unas de vertical y las otras de horizontal, que a través de campos eléctricos varían la trayectoria del haz para que muestre la onda objeto de estudio al incidir en la pantalla. Si no se aplicara tensión a los pares de placas sólo obtendríamos una mancha puntual en la pantalla. Las placas de desviación horizontal se someten a una tensión en dientes de sierra, lo que va a causar un movimiento horizontal a velocidad constante del haz, se dice que se ha establecido una base de tiempos. Las placas de desviación vertical provocaran las diversas posiciones verticales del punto de incidencia del haz en la pantalla en función del tiempo.

Hay que señalar que el osciloscopio es un instrumento de medida, provisto con una serie de mandos para obtener las condiciones más óptimas para la visualización. Todos estos mandos NO VARÍAN la señal que se este midiendo.

Aquí tenemos lo que seria la vista frontal de un osciloscopio.

II. MEDIDA DE SEÑALES PERIÓDICAS

%PERIODO Y FRECUENCIA DE SEÑALES SENOIDALES

Una señal senoidal es una señal del tipo z(t)=Asen(t). Queremos averiguar la frecuencia temporal f de una señal senoidal de corriente alterna junto con su error correspondiente.

La primera señal senoidal que visualizaremos en el osciloscopio será una señal de frecuencia 1 kHz.

f = 1000 Hz

T = 1/f = 1 ms T = 5 div " 0.2 ms/div = 1 ms ± 0.2 ms/5"2 = 1 ms ± 0.02 ms

ET = 0.02 ms

Ahora que tenemos el error del periodo T, ET, podemos averiguar el error relativo de la frecuencia de esta manera.

f = 1/T ! |df| = | - 1/T2| |dT| ! Ef = 1/T2 " ET

Ef = 20 Hz

Ya que tenemos el error relativo del periodo y de la frecuencia, para que podamos considerar óptima la medición de la señal solicitada comprobaremos también el error de la amplitud.

A = 2 div " 2 V/div = 4 V ± 2 V/5"2 = 4 V ± 0.2 V

EA = 0.2 V

Los errores relativos de la frecuencia y de la amplitud, Ef y EA respectivamente, podemos considerarlos pequeños, por lo cual deduciremos que la medida que hicimos de la señal senoidal es óptima.

Ahora repetimos los cálculos partiendo de otra señal que va a tener una frecuencia y amplitud distinta a la anterior.

f = 1234 Hz

T = 1/f = 0.8 ms T = 4 div " 0.2 ms/div = 0.8 ms ± 0.2/5"2 = 0.8 ms ± 0.02 ms

A = 134 mV

ET = 0.02 ms

f = 1/T ! |df| = | - 1/T2| |dT| ! Ef = 1/T2 " ET

Ef = 31.25 Hz

134 mV/20 mV/div = 6.7 div

A = 6.7 div " 20 mV/div = 134 mV ± 20/5"2 = 134 mV ± 2 mV

EA = 0.2 mV

Como podemos comprobar los valores de Ef y EA en esta última señal también son pequeños por lo cual podemos, al igual que en la anterior, decir que la medición ha sido óptima.

%DESFASE ENTRE DOS SEÑALES SENOIDALES

1.-

El desfase angular entre dos señales armónicas VA(t) y VB(t) es  = "t, donde "t es el desfase temporal. El desfase angular lo medimos en radianes, y el temporal en segundos.

Debido a que el error en el desfase angular lo vamos a hallar de la siguiente manera,

 = "t !  = 2f"t ! |d| = |(d/df) " df| + |(d/dx) " dx| ! E = 2"tEf + 2fE"t

vamos a necesitar los datos del error de la frecuencia temporal y del desfase temporal. Averigüemos primero el valor del error del desfase temporal "t:

"t = 2.2 div " 10 s/div = 22 s ± 10 s/5"2 = 22 s ± 1 s = 2.2 " 10-5 s ± 10-6 s

E"t = 1 s = 10-6 s

Ahora que ya lo tenemos, averigüemos el error en la frecuencia temporal Ef de la siguiente manera:

f = 1/T ! |df| = | - 1/T2| |dT| ! Ef = 1/T2 " ET

Para esto necesitaremos antes el ET que es el error en la medida del periodo:

T = 5 div " 20 s/div = 100 s ± 20 s/5"2 = 100 s ± 2 s = 1 " 10-4 s ± 2 " 10-6 s

ET = 2 " 10-6 s

Por lo tanto, y siendo la f = 10000 Hz el error de la frecuencia será:

Ef = 200 Hz f = 10000 Hz ± 200 Hz

Ahora ya podemos hallar el error en el desfase angular:

E = 2"tEf + 2fE"t

E = 0.0904 rad  = 2f"t = 1.382 rad ± 0.0904 rad

2.-

Debemos comprobar el resultado experimental antes obtenido del desfase angular comparándolo con el siguiente resultado teórico:

2 - 1 =  = arctan(RC)

Sabiendo el valor de la resistencia R = 10000 !, el del condensador C = 10-8 F y que la frecuencia angular  = 2f vamos a ver la exactitud de la medida del desfase:

 = 2f = 62831.85 rad/s

 = arctan(RC) = 1.412 rad

El resultado obtenido de manera teórica es prácticamente igual al obtenido con los resultados experimentales.

Practica 3

Corriente Continua

0. PRINCIPIOS TEÓRICOS

En esta practica trabajaremos con varios circuitos de corriente continua, para los cuales comprobaremos que se cumplen varias leyes y reglas. La primera de ella, la ley de Ohm, nos dice que existe en todo circuito de corriente continua una relación lineal entre la tensión medida en los extremos del conductor y la intensidad que pasa por él. Esta relación lineal nos permitirá definir un parámetro llamado resistencia R, con esto podremos decir que V = IR, la denominada ley de Ohm.

En un circuito de corriente continua también podemos trabajar con varias resistencias, las cuales pueden estar colocadas en serie,

o en paralelo,

según la forma de asociación de las resistencias utilizaremos un método u otro para averiguar la resistencia equivalente.

También comprobaremos que una pila, a efectos de cálculo, esta formada por un generador de fuerza electromotriz constante y una resistencia interna de acuerdo con el siguiente esquema:

Por ultimo, a lo largo de esta parte, también comprobaremos que en un circuito con varios nudos, la ley de Kirchhoff para intensidades se cumple y el sumatorio de intensidades en un nudo es igual a 0.

I. VERIFICACION DE LA LEY DE OHM

De la tabla de valores experimentales obtenida en la práctica representaremos una grafica con los valores de tensión frente a los de intensidad.

I (mA)	T (V)
18,3	1,85
27,8	2,8
37	3,71
47,4	4,75
57,8	5,79
62,5	6,23
67,9	6,78
78	7,79
88,7	8,79
120	11,67

Ahora, para la gráfica obtenida de la tabla de valores anterior, hallaremos la recta de mejor ajuste, utilizando la técnica de mínimos cuadrados. La recta de los mínimos cuadrados, del tipo y = ax + b, va a ser aquella cuyos valores de a y b sean tales que hagan mínima la suma de los cuadrados de los residuos de los puntos, definidos estos últimos como ri = yi - axi - b (i = 1,…,n).

Para determinar los valores de a y b que hacen mínima esta expresión basta hacer que las derivadas parciales de 1º orden con respecto a los parámetros a y b sean nulas. De eso se obtiene que:

siendo:

A partir de esto haremos los consiguientes cálculos con objeto de obtener nuestra recta de mejor ajuste, en ellos obtenemos que:

C= 4446,207

D= 605,4

E= 60,16 a= 0.0971 V/mA b= 0.1378

F= 44932,68

Con todo esto ya tenemos la ecuación de la recta de mejor ajuste (recta de mínimos cuadrados) para los pares de valores obtenidos:

y = 0.0971x + 0.1378

Cuya representación es la siguiente:

Una vez hecho esto, comprobaremos que la relación entre los valores eficaces de las señales de tensión e intensidad es de tipo lineal. Para ello calcularemos el coeficiente de regresión y comprobaremos que es muy próximo a 1.

El coeficiente de regresión lo obtenemos mediante la siguiente fórmula estadística:

r =

Observamos que aparece un nuevo parámetro en esta ecuación que es G, el cual obtendremos a partir de:

G = = 134,662

Con lo que obtenemos:

r = 0,99979075 " 1

Comprobamos que r efectivamente se acerca a la unidad, por lo que la relación es lineal.

Ahora, con el valor de la pendiente de la recta de mínimos cuadrados y el valor de la resistencia usada en la experiencia comprobaremos la siguiente relación:

R = V/I = a

Para cerciorarnos de que esta relación teórica es cierta pasaremos las unidades de la pendiente de V/mA a V/A multiplicando por 1000:

a = 0.0971 V/mA " 1000 = 97.1 V/A

R = 97.1 ! " 100 !

Comprobamos que el valor teórico de la resistencia usada en la práctica se aproxima mucho al valor experimental de esta que hemos obtenido a partir de los resultados experimentales.

II. Verificación de leyes de asociación de resistencias

Comprobaremos estas leyes en dos casos: asociación en serie y asociación en paralelo.

· Asociación en serie

Para obtener la Requiv teórica en un circuito en el que las resistencias están colocadas en serie nos servimos de la suma algebraica de la totalidad de resistencias colocadas en serie (en nuestro caso, dos). Es decir:

Requiv = Ri

Por tanto la Requiv que obtendremos será:

Requiv = R1 + R2 = 100 + 330 = 430

También podemos calcular esta Requiv experimentalmente a partir de la relación entre la tensión y la intensidad del circuito:

Requiv =

En la practica correspondiente los valores tomados de tensión (V) e intensidad (I) fueron:

V = 9,8 voltios

I = 22,7 mA

y los errores asociados a la sensibilidad de los aparatos respectivos son, según el tratamiento de errores asociados a la sensibilidad de los aparatos digitales:

EV = 0,01

EI = 0,1

Para obtener estos errores sólo hay que observar la unidad mínima que es capaz de percibir el aparato y esa unidad nos dará el error.

Ahora calculamos experimentalmente la Requiv :

Requiv = = = 4,317K = 431,7

Pero todo calculo experimental conlleva un error el cual calcularemos mediante el tratamiento de errores de la medida indirecta de una magnitud física de una función de varias variables. Este error obedece a la siguiente fórmula:

Ey = Ex +Ez + Et

y como resultado escribiremos:

f(x,z,t)(± Ey)

Siguiendo esta fórmula procedemos a calcular el error:

ERequiv = EI +EV =

= V EI +EV =

= 9,8* 0,1 +* 0,01 =

= 1,9018*10-3 + 4,41*10-4 = 1,95*10-3 K = 1,95

Teniendo en cuenta este error obtenemos que la Requiv obtenida experimentalmente es:

Requiv = 431,7 ± 1,95 

Si comparamos el resultado obtenido con el que obtuvimos teóricamente observamos que son valores muy próximos:

Requivexp = 431,7 ± 1,95  " 430 = Requivteor

· Asociación en paralelo

Para obtener la Requiv teórica en un circuito en el que las resistencias están colocadas en paralelo nos serviremos de la siguiente fórmula:

=

(R|| " Requiv)

Por tanto R|| será:

R|| = = = 76,74 

Análogamente al caso anterior calcularemos la R|| experimentalmente con los valores de tensión (V) e intensad (I) obtenidos en la practica correspondiente:

V = 9,6 voltios

I = 124,4 mA

y los errores asociados a la sensibilidad de los aparatos respectivos son, según el tratamiento de errores asociados a la sensibilidad de los aparatos digitales:

EV = 0,01

EI = 0,1

Conocido los valores procedemos:

R|| = = = 7,742*10-2 K = 77,42 

Ahora, como en el caso anterior calculamos el error cometido en la medida indirecta de una magnitud física. Para ello procederemos de la misma manera que en el caso anterior, con la siguiente fórmula:

Ey = Ex +Ez + Et

y como resultado escribiremos:

f(x,z,t)(± Ey)

Calculamos:

ER|| = EI +EV =

= V EI +EV =

= 9,6* 0,1 +* 0,01 =

= 6,2435*10-5 + 8,065*10-5 = 1,457*10-4 K = 0,1457 

Por lo que la medida experimental se expresará:

R|| = 77,42 ± 0,1457 

Si comparamos el resultado obtenido con el que obtuvimos teóricamente observamos que son valores muy próximos:

R|| exp = 77,42 ± 0,1457  " 76,74  = R|| teor

III. CARACTERIZACION DE UNA PILA REAL

Representaremos en una grafica la tabla de valores obtenidos de tensión (eje y) e intensidad (eje x):

I (mA)	V (V)
0	7,38
2	7,12
2,4	7,07
3	6,98
3,3	6,95
3,8	6,88
4,3	6,82
4,8	6,75
5,6	6,66
9,7	6,17

Ahora, para la gráfica obtenida de la tabla de valores anterior, hallaremos la recta de mejor ajuste, utilizando la técnica de mínimos cuadrados. La recta de los mínimos cuadrados, del tipo y = ax + b, va a ser aquella cuyos valores de a y b sean tales que hagan mínima la suma de los cuadrados de los residuos de los puntos, definidos estos últimos como ri = yi - axi - b (i = 1,…,n).

Para determinar los valores de a y b que hacen mínima esta expresión basta hacer que las derivadas parciales de 1º orden con respecto a los parámetros a y b sean nulas. De eso se obtiene que:

siendo:

A partir de esto haremos los consiguientes cálculos con objeto de obtener nuestra recta de mejor ajuste, en ellos obtenemos que:

C= 260,098

D= 38,9 a = -0.1248 V/mA b = 7.3634

E= 68,78

F= 211,07

Con todo esto ya tenemos la ecuación de la recta de mejor ajuste (recta de mínimos cuadrados) para los pares de valores obtenidos:

y = -0.1248x + 7.3634

De esta recta de mínimos cuadrados hallaremos su corte con el eje de ordenadas (eje x) sustituyendo la y por 0:

0 = -0.1248x + 7.3634 ! x = 59.0016

La recta corta con el eje y en el punto (59.0016, 0)

Una vez hecho esto, comprobaremos que la relación entre los valores eficaces de las señales de tensión e intensidad es de tipo lineal. Para ello calcularemos el coeficiente de regresión y comprobaremos que su valor absoluto es muy próximo a 1.

El coeficiente de regresión lo obtenemos mediante la siguiente fórmula estadística:

r =

Observamos que aparece un nuevo parámetro en esta ecuación que es G, el cual obtendremos a partir de:

G = = 134,662

Con lo que obtenemos:

|r| = 0,99941718

Al ser muy próximo el coeficiente de correlación a 1 esto significa que nuestra experiencia verifica que V = aI + b. El valor absoluto de la pendiente |a| nos deberá proporcionar el valor de la resistencia y b el valor de la f.e.m. de la pila:

|a| = R = 124.8 ! b = f.e.m. = 7.3634

IV. LEY DE KIRCHHOFF PARA INTENSIDADES

Según la Ley de Kirchhoff la suma de las intensidades en el nudo B debe ser nula, siendo la intensidad entrante I1 negativa debido a que no coincide su sentido con el que toman las dos intensidades derivadas de esta.

Aplicando esto con los datos experimentales vemos que:

I1 = 65.2 mA ± 0.1

I2 = 16.5 mA ± 0.1

I3 = 48.9 mA ± 0.1

-I1 + I2 + I3 " 0

Por lo que podemos afirmar que las reglas de Kirchhoff se cumplen.

También a partir de I1 y el valor de tensión ( V = 9.8 V ± 0.01) medida podemos averiguar la resistencia equivalente junto con su error correspondiente. Para obtener el error en la medida de la resistencia utilizaremos esto:

!
!

Según esto obtenemos el valor de la resistencia y su error:

R = 150.306 ! ± 0.38 ! ER = 0.38 !

Podemos comparar este resultado con el que obtendríamos utilizando la regla de asociaciones serie/paralelo que usamos en el apartado II:

Requiv1 = 100 ! + 500 ! = 600 !

R||,1 = = 198,795181 !

R total = = = 149,321267 !

Rexp = 150.306 ! " Rteor = 149,321267 !

Así, queda comprobado que se verifica la ley de Kirchhoff.

Practica 5

Corriente Alterna

0. PRINCIPIOS TEÓRICOS

Hemos de saber que las tensiones e intensidades alternas quedan determinadas por dos parámetros, amplitud (que será la elongación máxima que alcance la oscilación) y fase (siempre que sean señales alternas armónicas). Esto nos permite establecer una relación entre estas magnitudes con los números complejos. Es el concepto de fasor.

% CONCEPTO de FASOR

A cada magnitud armónica se le puede asociar un número complejo que la represente. Dicho numero complejo se denomina fasor asociado a la magnitud. Estos podrán ser representados en el plano complejo.

Es decir, una señal alterna del tipo:

A(t) = A0 cos(t + )

De amplitud A0, frecuencia angular  y fase , puede expresarse mediante la identidad de Euler:

ej = cos + jsen

(donde j es la unidad imaginaria = ) como:

A(t) = Re{A0 ej ejt} = Re{}

Con esto podemos asociar a una señal armónica, A(t), de frecuencia angular  un número complejo denominado fasor, , definido por:

= A0 ej

Si observamos el siguiente dibujo

observamos que la amplitud (equivalente al módulo) del fasor es:

A0 =

y la fase  es:

 = arctg (b/a)

% VALOR EFICAZ

Los polímetros para medir señales alternas proporcionan el valor eficaz de la magnitud medida. Este valor se define como la amplitud dividida por . Es decir, en una señal alterna de intensidad I(t) = I0 cos (t + ) mediríamos el valor eficaz

Ie = I0 / (mA)

% IMPEDANCIA

La ley de Ohm permite relacionar la tensión y la intensidad en una resistencia, también existen las correspondientes relaciones que ligan la tensión e intensidad en una bobina y un condensador:

v(t) = Ri(t) ley de Ohm

v(t) = Li(t) Bobina

i(t) = Cv(t) Condensador

Como las derivadas de funciones armónicas son también funciones armónicas, a partir de las ecuaciones anteriores podemos obtener las siguientes relaciones en notación fasorial:

Resistencia

Bobina

Condensador

De donde podemos deducir una forma general:

Donde Z es, normalmente, un número complejo al cual denominaremos impedancia, que mediremos en , y relaciona los fasores de intensidad, , y tensión, , en un elemento R, L o C, o en una asociación de los mismos.

La similitud que existe entre la ley de Ohm (sólo válida para resistencias) y la ecuación (valida para resistencias (R), bobinas (L), condensadores (C) y sus asociaciones) en el dominio fasorial para circuitos de alterna, reducirá el análisis de estos últimos a términos muy similares a los correspondientes al análisis de circuitos con sólo resistencias y fuentes de continua.